专题13 三角形（解析版）-2021年中考数学真题分项汇编

专题13三角形

一、求角度

1．（2021·江苏盐城市）将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．

【详解】

解：如图所示：

由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°

则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°．

故选：C．

此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．

2．（2021·江苏宿迁市）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（  ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】B

【分析】

由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．

【详解】

解：∵∠A+∠C=100°

∴∠ABC=80°，

∵BD平分∠BAC，

∴∠ABD=40°，

∵DE∥AB，

∴∠BDE=∠ABD=40°，

故答案为B．

本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

3．（2021·江苏扬州市）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．

【详解】

解：连接BD，∵∠BCD=100°，

∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，

∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，

故选D．

本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．

4．（2021·江苏常州市）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．

【答案】100

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．

【详解】

解：∵，

∴∠A=180°-40°-60°=80°，

∵，

∴180°-80°=100°．

故答案是100．

本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．

5．（2021·江苏泰州市）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．

【答案】20

【分析】

根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．

【详解】

解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，

∴MN//CD，

∵∠EGB＝100°，

∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，

∴至少要旋转20°．

本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．

二、等腰三角形

6．（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．

故共有3个点，

故选：B．

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

7．（2021·江苏苏州市）如图．在中，，．若，则______．

【答案】54°

【分析】

首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．

【详解】

∵ AF=EF，

∴ ∠A=∠AEF，

∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，

∴ ∠A=36°，

∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．

故答案为：54°．

本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．

8．（2021·江苏南京市）如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．

【答案】

【分析】

由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．

【详解】

解：在△ABD中，AB=BD

∴∠A=∠ADB=

在△BCD中，BC=BD

∴∠C=∠BDC=

∵

∴

=

=

=

=

故答案为：．

此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．

三、全等三角形

9．（2021·江苏无锡市）已知：如图，，相交于点O，，．

求证：（1）；

（2）．

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】

（1）根据AAS，即可证明；

（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．

【详解】

证明：（1）在与中，

∵，

∴（AAS）；

（2）∵，

∴OB=OC，

∴．

本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．

10．（2021·江苏盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据全等三角形的判定条件判断即可．

【详解】

解：由题意可知

在中

∴(SSS)

∴

∴就是的平分线

故选：D

本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．

11．（2021·江苏常州市）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．

（1）求证：；

（2）将沿直线l翻折得到．

①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接，则直线与l的位置关系是__________．

【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行

【分析】

（1）根据“SAS”即可证明；

（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于，连接B，C，即可；

②过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，证明四边形MND是平行四边形，即可得到结论．

【详解】

（1）证明：∵，

∴BC=EF，

∵，

∴∠ABC=∠DEF，

又∵，

∴；

（2）①如图所示，即为所求；

②∥l，理由如下：

∵，与关于直线l对称，

∴，

过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，

∴四边形MND是平行四边形，

∴∥l，

故答案是：平行．

本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．

12．（2021·江苏徐州市）如图，为的直径，点在上，与交于点，，连接．求证：

（1）；

（2）四边形是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；

（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．

【详解】

解：（1）在和中，

∵，

∴；

（2）∵为的直径，

∴，

∵，

∴，，

∴∥，，

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是菱形．

本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识，掌握全等三角形的判定和特殊平行四边形的判定是解题的关键．

四、直角三角形

13．（2021·江苏盐城市）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________．

【答案】4

【分析】

根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；

【详解】

解：如图，

∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，

∴CDAB，

∵CD＝2，

∴AB＝4，

故答案为4．

本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14．（2021·江苏南通市）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．

【答案】．

【分析】

先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．

【详解】

解：如图，作PC⊥AB于点C，

在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，

∴海里，海里，

在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，

∴PC=BC=海里，

∴海里，

故答案为：．

此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．

15．（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．

【答案】12

【分析】

依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．

【详解】

解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，

因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，

在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，

解之得x=13，

即水深12尺，芦苇长13尺．

故答案为：12．

．

此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．

16．（2021·江苏南通市）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．

【答案】．

【分析】

连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．

【详解】

解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，

设AC=BC=a，

∵

∴，

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

设CE=x，则FE=

在Rt△AFE中，

∴

解得，，（不符合题意，舍去）

∴

∵

∴

∴

∴

在Rt△BGE中，

∴

∴

故答案为：．

此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．