专题20 压轴题（解析版）-2021年中考数学真题分项汇编

专题20压轴题

一、函数压轴

1．（2021·江苏南通市）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

2．（2021·江苏常州市）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数和二次函数的图像都经过点和点B，过点A作的垂线交x轴于点C．D是线段上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线上一点，且，连接，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以、为邻边作．

（1）填空：________，________；

（2）设点D的横坐标是，连接．若，求t的值；

（3）过点F作的垂线交线段于点P．若，求的长．

3．（2021·江苏盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题． 

（初步感知）

如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．

（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；

（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．

（深入感悟）

（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．

（灵活运用）

（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

4．（2021·江苏宿迁市）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；

(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

5．（2021·江苏扬州市）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

说明：①汽车数量为整数；

②月利润=月租车费-月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．

二、几何压轴

6．（2021·江苏泰州市）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．

（1）若m＝3．

①求证：∠OAD＝60°；

②求的值；

（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；

（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

7．（2021·江苏徐州市）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．

（1）求证：

①的面积；

②；

（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．

8．（2021·江苏苏州市）如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与交于点．已知．设，．

（1）四边形的面积______四边形的面积（填“”、“”或“”）；

（2）求证：；

（3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值．

9．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．

10．（2021·江苏无锡市）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．

（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，

①当时，求线段的长；

②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；

（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．

11．（2021·江苏南京市）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．

②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．