2023年广东省广州市天河外国语学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省广州市天河外国语学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，经过旋转或轴对称得到，其中绕点逆时针旋转的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  某次比赛中，五位同学答对题目的个数分别为，，，，，则关于这组数据的说法正确的是(    )

A. 方差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定

6.  根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  计算的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，是直径，是弦，，垂足为点，连接，，下列说法正确的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

10.  如图：等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，四边形中，，，则           ．
 

12.  分解因式：______．

13.  二次函数的最大值为______ ．

14.  如图，中，，，，则          ．
 

15.  若圆锥的侧面积为，底面圆半径为，则该圆锥母线长是          ．

16.  如图，矩形中，，，点、分别是线段，上的动点，且，过作的垂线，垂足为．
当时， ______
当在上运动时，的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，点，在上，，，求证：≌．

 

19.  本小题分
我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：

请将条形统计图补全；
获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．

20.  本小题分
已知一个等腰三角形的底边长，底边上的高长．
求作等腰三角形，底边上的高为请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
若，则的长为______ ．

21.  本小题分
某工程队接到了修建米道路的施工任务，修到一半的时候，由于采用新的施工技术，修建效率提高为原来的倍，结果提前天完成了施工任务，问原来每天修多少米道路？

22.  本小题分
将直线向下平移个单位长度，得到直线，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是．
求和的值；
结合图象求不等式的解集．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，点是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．

请你求出点、、的坐标；
若二次函数与线段恰有一个公共点，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，正方形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
求证：四边形是正方形；
连接，若．
求的值；
以为直径作，点为上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值．

25.  本小题分
经过点、、的抛物线：与轴只有一个公共点，其中且．
求抛物线的解析式；
连接，作，交抛物线于点．
若，求的长；
求证直线过定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，选项B，可以通过轴对称得到．
选项A，其中绕点逆时针旋转可以得到，
选项D，其中绕点逆时针旋转可以得到．
故选：．
根据轴对称，旋转的概念判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握相关定义是解题的关键．
【解答】
解：平均数为；
方差为；
数据中出现次，所以众数为；
数据重新排列为、、、、，则中位数为；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、无法化简，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
先计算根的判别式，再确定根的判别式与的关系，最后得出结论．
本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与的关系是解决本题的关键．
【解答】
解：

，
．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
本题考查了作图基本作图：作已知角的角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【解答】
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线即可找到三角形的内心．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方与幂的乘方计算．
本题考查积的乘方与幂的乘方的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，关键是解题技巧的掌握．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．先根据垂径定理得到，，再利用圆周角定理得到，则根据互余可计算出的度数，于是可对各选项进行判断．
【解答】
解：，且，
，故A项错误；
，
，，故B项错误；
，故D项正确；
，故C项错误．
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，取、的中点、，连接、，
，，，，
的最小值转化为求的最小值，
在等边三角形中，，
，，
，，
，
，
；
过作，且，连接、，
则，
≌，
，
，
当点在线段上时，取得最小值，
且最小值为线段的长，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故选：．
取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明≌，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值．
本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．
根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】
解：，
，
又，
，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在二次函数中顶点坐标为，
且，
抛物线开口向下，
二次函数的最大值为．
故答案为．
根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，即可求出最大值．
本题考查二次函数的最值．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．
根据的正切求出，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：中，，，，

，解得，
根据勾股定理得，．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
设圆锥的母线长为，根据圆锥侧面积计算公式计算即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．  

16.【答案】   

【解析】解：过点作于，如图，

则，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
连接交于点，如图，

由矩形性质知：，，
，，
，
，
≌，
，
由勾股定理得，
，，
，设的中点为，
，
即点在以点为圆心，为半径的圆上运动，由于点在边上运动，
当点与点重合时，即与重合时，的值最小，
，，
即的最小值为．
故答案为：．
过点作于，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决；
连接交于点，可证明≌，易得，，由知，，即点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当点与点重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，确定出点的运动路径是解题的关键与难点．
 

17.【答案】解：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
在与中，

≌． 

【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求得，本题属于基础题型．
根据全等三角形的判定即可求证：≌．
 

19.【答案】解：调查的总人数为人，
所以获一等奖的人数为人，
条形统计图为：

获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率． 

【解析】先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；
根据题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着截取，
则为所作；

，，
平分，
，
为等边三角形，
．
先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在垂直平分线上截取，则满足条件；
根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，则，所以为等边三角形，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

21.【答案】解：设原来每天修建米道路，则采用新的施工技术后每天修建米道路，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天修米道路． 

【解析】设原来每天修建米道路，则采用新的施工技术后每天修建米道路，利用工作时间工作总量工作效率，结合结果提前天完成了施工任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：由平移得：，
，
当时，，，
，
；
画出直线和反比例函数的图象，如图所示，

由图象得：不等式的解集为：或． 

【解析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则．
根据平移的原则得出的值，并计算出点的坐标，因为在反比例函数的图象上，代入可以求的值；
画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．
 

23.【答案】解：，
抛物线顶点坐标为，
对于，令，得到；，得到，
直线与轴、轴交点坐标分别为和；
把代入抛物线解析式得：，
当时，，说明抛物线的对称轴左侧总与线段有交点，
只需要抛物线右侧与线段无交点即可，
如图所示，

只需要当时，抛物线的函数值，即，
则当时，抛物线与线段只有一个交点；
当时，如图所示，

只需即可，
解得：，
综上，当或时，抛物线与线段只有一个交点． 

【解析】此题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
抛物线解析式配方后，确定出顶点坐标，对于一次函数解析式，分别令与为求出对应与的值，确定出与坐标；
分与两种情况求出的范围即可．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
关于的对称图形为，
，，，，
，，
四边形是正方形；
解：如图，连接，并延长交于点，

四边形是正方形，，
，，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
在中，，
；
如图，过点作于点，连接，，

四边形是正方形，，
，，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，，则，，，
，
在中，，
为的直径，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得：，
设，则，
，
，
，
这个关于的一元二次方程有实数根，
方程根的判别式，即，
解方程，得：或，
关于的不等式的解集为，
，即，
的最小值为． 

【解析】由四边形是正方形易得，，，由轴对称图形的性质得，，，，于是，，以此即可证明四边形是正方形；
连接，并延长交于点，由正方形的性质得，，于是可得，则，由等腰直角三角形斜边上的中线性质得，依此求得，由平行线的性质得，利用勾股定理求得，再根据正弦函数的定义即可求解；
过点作于点，连接，，易得，，，易得，则四边形是矩形，得到，，设，，则，，，于是，利用勾股定理得，由圆周角定理可得，利用双勾股定理得，得到，设，则，于是，，整理得，利用根的判别式得到，解得，则，以此即可得的最小值．
本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题关键是：熟练掌握正方形和轴对称的性质；正确作出辅助线，利用平行线的性质将转化为；将几何问题转化为代数问题．
 

25.【答案】解：、在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴只有一个公共点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
解：当时，，
与轴的夹角为，
，
与轴的夹角为，
点与点关于轴对称，
，
；
证明：设直线的解析式为，
当时，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
直线的解析式为，
直线经过定点． 

【解析】根据、点坐标的特点，可知对称轴为轴，则，再由抛物线与轴只有一个公共点，求出；
根据题意可到点与点关于轴对称，求出点坐标即可求的长；
设直线的解析式为，当时，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明∽，可得，求出，从而得到直线的解析式为，所以直线经过定点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．