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2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为4、x、7，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
3．（3分）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，则边DE的对应边为（ ）
A．BE B．AB C．CA D．BC
4．（3分）小明作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
6．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM C．∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
8．（3分）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．32
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 °．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
13．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
14．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝ cm．
15．（3分）一个n边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则n的值为 ．
16．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与∠BAC外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E，D，过点F作FH⊥AD交于AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°；②FE＝FG；③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（8分）一个正n边形的一个外角等于36°．
（1）求它的边数n；
（2）求它的内角和．
18．（8分）如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1的坐标．
20．（8分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
21．（8分）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D、E．点F是线段DE的中点，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：AG⊥BC．
23．（12分）如图，在∠BAC中
（1）尺规作图：求作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点D作线段DE⊥AB于点E．求证：AB+AC＝2AE．
24．（12分）如图1，在△PAB中（0°＜∠APB＜60°），PA＝PB，以AB为边作等边△ABM，连接PM．
（1）求∠PMA的度数．
（2）如图2，以PA为边作等边△PAC，连接BC、CM，若∠BCM＝45°，求∠ABC和∠APB的度数．
2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形呈左右对称，属于轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为4、x、7，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围，然后确定可能值即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为4，7，x，
∴7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
∴8符合题意，
故选：C．
3．（3分）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，则边DE的对应边为（ ）
A．BE B．AB C．CA D．BC
【分析】根据全等三角形的概念解答．
【解答】解：∵三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，
∴边DE的对应边为CA，
故选：C．
4．（3分）小明作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的定义进行判断．
【解答】解：作△ABC中AC边上的高线，即过B点作AC的垂线，垂线段为AC边上的高．
故选：D．
5．（3分）等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
6．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴．
【解答】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴．
故选：C．
7．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM C．∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
8．（3分）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
【分析】作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出EF+FB＝BM，根据垂线段最短得出BF+EF≥BN，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•BN，
∴BN＝＝＝4.8，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴EF+FB＝BF+FM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即EF+FB的最小值是4.8，
故选：B．
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．32
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝，
∴A2B1＝，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝2，
A4B4＝8B1A2＝4，
A5B5＝16B1A2＝8，
…
∴△AnBnAn+1的边长为×2n﹣1，
∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 52 °．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ 2 CE．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，CD＝2CE，进而得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AE是△ADC的中线，
∴CD＝2CE，
∴BD＝2CE，
故答案为：2．
13．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件 ∠ABC＝∠DEF ，使△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DFE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠ABC＝∠DEF，
理由如下：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠ABC＝∠DEF．
14．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝ 1.5 cm．
【分析】证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE＝AD，从而求解．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E＝∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠DCA＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠BCE+∠DCA＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）
DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），
故答案为1.5
15．（3分）一个n边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则n的值为 7 ．
【分析】一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为n﹣2，从而可得出答案．
【解答】解：依题意有n﹣2＝5，
解得n＝7．
故答案为：7．
16．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与∠BAC外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E，D，过点F作FH⊥AD交于AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°；②FE＝FG；③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 ①②③ ．
【分析】利用等腰直角三角形内外角平分线的性质得到∠AFB＝45°，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定．
【解答】解：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，故①正确；
∵FH⊥AD，
∴∠AFB＝∠BFG＝45°，
又∵FB＝FB，∠ABF＝∠FBG，
∴△FAB≌△FGB，
∴FG＝FA．
又可利用角的计算知∠FAE＝∠FEA＝67.5°，
∴FA＝FE，
∴FE＝FG，故②正确；
∵∠DFG＝∠HFA＝90°，FG＝FA，易证∠FGD＝∠FAH，
∴△DFG≌△HFA，
∴DF＝FH，
∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确；
由△DFG≌△HFA可得DG＝AH，由△FAB≌△FGB可得BG＝AB，
∵BD＝DG+GB，
BD＝AH+AB，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（8分）一个正n边形的一个外角等于36°．
（1）求它的边数n；
（2）求它的内角和．
【分析】（1）利用多边形的外角和定理求边数n即可；
（2）根据单项式的内角和公式求内角和即可．
【解答】解：（1）n＝360°÷36°＝10，
所以它的边数n是10；
（2）（10﹣2）•180°＝1440°．
所以它的内角和是1440°．
18．（8分）如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】由已知条件AD＝CE，CD＝BE，和AC＝CB，根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB．
在△ACD和△CBE中，，（5分）
∴△ACD≌△CBE（SSS）．（6分）
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
20．（8分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【分析】先根据∠A＝65°，∠ACB＝72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD＝30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBD即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝65°，∠ACB＝72°
∴∠ABC＝43°
∵∠ABD＝30°
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB＝36°
∴在△BCE中，∠BEC＝180°﹣13°﹣36°＝131°．
故答案为：131°
21．（8分）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
【分析】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；
（2）先证△ACM≌△ABN（SAS），得∠M＝∠N，再证△ADN≌△AEM（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，
即∠BAN＝∠CAM；
（2）在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（SAS），
∴∠M＝∠N，
在△ADN和△AEM中，
，
∴△ADN≌△AEM（ASA），
∴∠NDA＝∠MEA，
即∠ODA＝∠OEA．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D、E．点F是线段DE的中点，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：AG⊥BC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求∠ADE的度数；
（2）根据等边三角形的性质可得AG⊥BC．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠BAC＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE的度数为60°；
（2）证明：∵点F是线段DE的中点，
由（1）知：△ADE是等边三角形，
∴AG⊥DE于点F，
∵DE∥BC，
∴AG⊥BC．
23．（12分）如图，在∠BAC中
（1）尺规作图：求作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点D作线段DE⊥AB于点E．求证：AB+AC＝2AE．
【分析】（1）分别作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，它们的交点即为D点；
（2）过D点作DF⊥AC于F，连接DB、DC，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE＝AF，接着根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，则可判断Rt△BDE≌Rt△CDF，所以BE＝CF，然后利用等线段代换得到结论．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：过D点作DF⊥AC于F，连接DB、DC，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝AE+AF＝2AE．
24．（12分）如图1，在△PAB中（0°＜∠APB＜60°），PA＝PB，以AB为边作等边△ABM，连接PM．
（1）求∠PMA的度数．
（2）如图2，以PA为边作等边△PAC，连接BC、CM，若∠BCM＝45°，求∠ABC和∠APB的度数．
【分析】（1）延长PM交AB于D，先由等边三角形的性质得MA＝MB，∠AMB＝60°，再证PD垂直平分AB，则MD平分∠AMB，得∠AMD＝∠AMB＝30°，即可得出答案；
（2）先证△PAM≌△CAB（SAS），得∠PMA＝∠ABC＝150°，则∠MBC＝90°，再证△BCM是等腰直角三角形，得∠BMC＝45°，BC＝BM＝AB，然后由等腰三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝15°，由全等三角形的性质得∠MPA＝∠BCA＝15°，进而得出∠APB＝2∠MPA＝30°．
【解答】解：（1）延长PM交AB于D，如图1所示：
∵△ABM是等边三角形，
∴MA＝MB，∠AMB＝60°，
又∵PA＝PB，
∴PD垂直平分AB，
∴MD平分∠AMB，
∴∠AMD＝∠AMB＝30°，
∴∠PMA＝180°﹣∠AMD＝150°；
（2）∵△PAC和△ABM是等边三角形，
∴AP＝AC，AM＝AB，∠PAC＝∠MAB＝∠MBA＝60°，
∴∠PAM＝∠CAB，
∴△PAM≌△CAB（SAS），
∴∠PMA＝∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝∠ABC﹣∠MBA＝150°﹣60°＝90°，
∵∠BCM＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC＝45°，BC＝BM＝AB，
又∵∠ABC＝150°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∵△PAM≌△CAB，
∴∠MPA＝∠BCA＝15°，
∵PA＝PB，PM垂直平分AB，
∴PM平分∠APB，
∴∠APB＝2∠MPA＝30°．
2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为4、x、7，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
3．（3分）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，则边DE的对应边为（ ）
A．BE B．AB C．CA D．BC
4．（3分）小明作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
6．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM C．∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
8．（3分）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．32
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 °．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
13．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
14．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝ cm．
15．（3分）一个n边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则n的值为 ．
16．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与∠BAC外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E，D，过点F作FH⊥AD交于AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°；②FE＝FG；③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（8分）一个正n边形的一个外角等于36°．
（1）求它的边数n；
（2）求它的内角和．
18．（8分）如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1的坐标．
20．（8分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
21．（8分）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D、E．点F是线段DE的中点，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：AG⊥BC．
23．（12分）如图，在∠BAC中
（1）尺规作图：求作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点D作线段DE⊥AB于点E．求证：AB+AC＝2AE．
24．（12分）如图1，在△PAB中（0°＜∠APB＜60°），PA＝PB，以AB为边作等边△ABM，连接PM．
（1）求∠PMA的度数．
（2）如图2，以PA为边作等边△PAC，连接BC、CM，若∠BCM＝45°，求∠ABC和∠APB的度数．
2020-2021学年广东省广州市协作组八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形呈左右对称，属于轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为4、x、7，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围，然后确定可能值即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为4，7，x，
∴7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
∴8符合题意，
故选：C．
3．（3分）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，则边DE的对应边为（ ）
A．BE B．AB C．CA D．BC
【分析】根据全等三角形的概念解答．
【解答】解：∵三角形△ABC与△BDE全等，∠A与∠E，∠C与∠BDE是对应角，
∴边DE的对应边为CA，
故选：C．
4．（3分）小明作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的定义进行判断．
【解答】解：作△ABC中AC边上的高线，即过B点作AC的垂线，垂线段为AC边上的高．
故选：D．
5．（3分）等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
6．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴．
【解答】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴．
故选：C．
7．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM C．∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
8．（3分）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
【分析】作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出EF+FB＝BM，根据垂线段最短得出BF+EF≥BN，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•BN，
∴BN＝＝＝4.8，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴EF+FB＝BF+FM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即EF+FB的最小值是4.8，
故选：B．
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．32
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝，
∴A2B1＝，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝2，
A4B4＝8B1A2＝4，
A5B5＝16B1A2＝8，
…
∴△AnBnAn+1的边长为×2n﹣1，
∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 52 °．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ 2 CE．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，CD＝2CE，进而得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AE是△ADC的中线，
∴CD＝2CE，
∴BD＝2CE，
故答案为：2．
13．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件 ∠ABC＝∠DEF ，使△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DFE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠ABC＝∠DEF，
理由如下：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠ABC＝∠DEF．
14．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝ 1.5 cm．
【分析】证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE＝AD，从而求解．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E＝∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠DCA＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠BCE+∠DCA＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）
DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），
故答案为1.5
15．（3分）一个n边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则n的值为 7 ．
【分析】一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为n﹣2，从而可得出答案．
【解答】解：依题意有n﹣2＝5，
解得n＝7．
故答案为：7．
16．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与∠BAC外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E，D，过点F作FH⊥AD交于AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°；②FE＝FG；③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 ①②③ ．
【分析】利用等腰直角三角形内外角平分线的性质得到∠AFB＝45°，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定．
【解答】解：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，故①正确；
∵FH⊥AD，
∴∠AFB＝∠BFG＝45°，
又∵FB＝FB，∠ABF＝∠FBG，
∴△FAB≌△FGB，
∴FG＝FA．
又可利用角的计算知∠FAE＝∠FEA＝67.5°，
∴FA＝FE，
∴FE＝FG，故②正确；
∵∠DFG＝∠HFA＝90°，FG＝FA，易证∠FGD＝∠FAH，
∴△DFG≌△HFA，
∴DF＝FH，
∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确；
由△DFG≌△HFA可得DG＝AH，由△FAB≌△FGB可得BG＝AB，
∵BD＝DG+GB，
BD＝AH+AB，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（8分）一个正n边形的一个外角等于36°．
（1）求它的边数n；
（2）求它的内角和．
【分析】（1）利用多边形的外角和定理求边数n即可；
（2）根据单项式的内角和公式求内角和即可．
【解答】解：（1）n＝360°÷36°＝10，
所以它的边数n是10；
（2）（10﹣2）•180°＝1440°．
所以它的内角和是1440°．
18．（8分）如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】由已知条件AD＝CE，CD＝BE，和AC＝CB，根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB．
在△ACD和△CBE中，，（5分）
∴△ACD≌△CBE（SSS）．（6分）
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
20．（8分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【分析】先根据∠A＝65°，∠ACB＝72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD＝30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBD即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝65°，∠ACB＝72°
∴∠ABC＝43°
∵∠ABD＝30°
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB＝36°
∴在△BCE中，∠BEC＝180°﹣13°﹣36°＝131°．
故答案为：131°
21．（8分）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
【分析】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；
（2）先证△ACM≌△ABN（SAS），得∠M＝∠N，再证△ADN≌△AEM（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，
即∠BAN＝∠CAM；
（2）在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（SAS），
∴∠M＝∠N，
在△ADN和△AEM中，
，
∴△ADN≌△AEM（ASA），
∴∠NDA＝∠MEA，
即∠ODA＝∠OEA．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D、E．点F是线段DE的中点，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：AG⊥BC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求∠ADE的度数；
（2）根据等边三角形的性质可得AG⊥BC．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠BAC＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE的度数为60°；
（2）证明：∵点F是线段DE的中点，
由（1）知：△ADE是等边三角形，
∴AG⊥DE于点F，
∵DE∥BC，
∴AG⊥BC．
23．（12分）如图，在∠BAC中
（1）尺规作图：求作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点D作线段DE⊥AB于点E．求证：AB+AC＝2AE．
【分析】（1）分别作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，它们的交点即为D点；
（2）过D点作DF⊥AC于F，连接DB、DC，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE＝AF，接着根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，则可判断Rt△BDE≌Rt△CDF，所以BE＝CF，然后利用等线段代换得到结论．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：过D点作DF⊥AC于F，连接DB、DC，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝AE+AF＝2AE．
24．（12分）如图1，在△PAB中（0°＜∠APB＜60°），PA＝PB，以AB为边作等边△ABM，连接PM．
（1）求∠PMA的度数．
（2）如图2，以PA为边作等边△PAC，连接BC、CM，若∠BCM＝45°，求∠ABC和∠APB的度数．
【分析】（1）延长PM交AB于D，先由等边三角形的性质得MA＝MB，∠AMB＝60°，再证PD垂直平分AB，则MD平分∠AMB，得∠AMD＝∠AMB＝30°，即可得出答案；
（2）先证△PAM≌△CAB（SAS），得∠PMA＝∠ABC＝150°，则∠MBC＝90°，再证△BCM是等腰直角三角形，得∠BMC＝45°，BC＝BM＝AB，然后由等腰三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝15°，由全等三角形的性质得∠MPA＝∠BCA＝15°，进而得出∠APB＝2∠MPA＝30°．
【解答】解：（1）延长PM交AB于D，如图1所示：
∵△ABM是等边三角形，
∴MA＝MB，∠AMB＝60°，
又∵PA＝PB，
∴PD垂直平分AB，
∴MD平分∠AMB，
∴∠AMD＝∠AMB＝30°，
∴∠PMA＝180°﹣∠AMD＝150°；
（2）∵△PAC和△ABM是等边三角形，
∴AP＝AC，AM＝AB，∠PAC＝∠MAB＝∠MBA＝60°，
∴∠PAM＝∠CAB，
∴△PAM≌△CAB（SAS），
∴∠PMA＝∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝∠ABC﹣∠MBA＝150°﹣60°＝90°，
∵∠BCM＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC＝45°，BC＝BM＝AB，
又∵∠ABC＝150°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∵△PAM≌△CAB，
∴∠MPA＝∠BCA＝15°，
∵PA＝PB，PM垂直平分AB，
∴PM平分∠APB，
∴∠APB＝2∠MPA＝30°．
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