高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案设计

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题型探究
题型一 不等式的恒成立问题
例1 已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
[分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析] 对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝4－4mm－2<0，))解得m<1－eq \r(2).
综上可知，m的取值范围是{m|m<1－eq \r(2)}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．
通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或(1)若y在定义域内存在最大值m，则ym(或a≥m)；
(2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] 若a＝0时，原不等式为－2x－2≤0不恒成立，所以a≠0.
当a≠0时，则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a－22－4a－2≤0，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a＋22≤0，))解得a＝－2.
所以实数a的值为－2.
题型二 一元二次方程根的分布
例2 已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝eq \f(m－1,8)，x1x2＝eq \f(m－7,8).
因为两根均大于1，所以x1－1>0，x2－1>0，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－12－32m－7≥0，,x1－1＋x2－1>0，,x1－1x2－1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－12－32m－7≥0，,\f(m－1,8)－2>0，,\f(m－7,8)－\f(m－1,8)＋1>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥25或m≤9，,m>17，,m∈R，))
所以m≥25.
故实数m的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升] 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
(1)x1，x2一正一负⇔x1x2<0.
(2)x1>0，x2>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x1＋x2>0，,x1x2>0.))
(3)x1<0，x2<0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x1＋x2<0，,x1x2>0.))
【对点练习】❷ (2019·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__{a|－2[解析] 设两根为x1>1，x2<1，则x1－1>0，x2－1<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－1x2－1<0，,Δ>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1x2－x1＋x2＋1<0，,Δ＝a2－12－4a－2>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＋a2－1＋1<0，,a2－12－4a－2>0，))解得－2题型三 一元二次不等式的应用
例3 恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3 000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%[解析] 设食品消费额的年平均增长率为x(x>0)，则2005年，食品消费额为0.6(1＋x)2万元，消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题意得40%即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15x2＋30x－1>0，,3x2＋6x－1≤0，))
又x>0，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(4\r(15),15)－1，,0因此eq \f(4\r(15),15)－1因为eq \f(4\r(15),15)－1≈0.033＝3.3%，eq \f(2\r(3),3)－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居民的生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，不包括3.3%但包括15.5%，也就是说，平均每年的食品消费额至多是15.5%.
[归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
【对点练习】❸ 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
[解析] 设桶的容积为x升，显然x>8.
依题意，得(x－8)－eq \f(4x－8,x)≤28%·x.
由于x>8，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
因此eq \f(10,3)≤x≤eq \f(40,3)，从而8故桶的容积最大为eq \f(40,3)升．
误区警示
不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
例4 要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围．
[错解] 二次函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公共点．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,m2－4mm－1<0))⇒m<0，所求范围为m<0.
[错因分析] 只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值．解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理．
[正解] 函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立，于是
①当m＝0时，－1<0恒成立；
②当m≠0时，要使其恒成立，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2－4mm－1<0，))解得m<0.
综上，m的取值范围为{m|m≤0}．
[方法点拨] 忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论．
课堂检测·固双基
1．若x∈{x|1[解析] 设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，因为当x∈{x|1即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋m≤0，,8＋2m≤0，))解得m≤－5.
2．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解析] 设税率调低后，税收总收入为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0所以x的范围为0