2020-2021学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷

A.  B.  C.  D.

2. 设集合，，则

A.  B.
C. R D.

3. 三个数的大小关系是

A.  B.
C.  D.

4. 已知向量，，若，则

A. 1或4 B. 1或 C. 或4 D. 或

5. 函数在区间的图象大致是

A.  B.
C.  D.

6. 函数的零点所在的区间为

A.  B.  C.  D.

7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，函数有三个零点，，，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法正确的有

A. 终边在y轴上的角的集合为
B. 已知，则
C. 已知x，，且，则的最小值为8
D. 已知幂函数的图象过点，则

10. 已知角的终边经过点，则

A.  B.
C.  D.

11. 在中，，，，则

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则

A.  B.  C. m的值可能是4 D. m的值可能是6

13. 在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，，则__________用，表示
14. 若，则__________
15. 若，是方程的两个根，则__________.
16. 已知，且，则__________.
17. 已知，，且，
    求的值；
    求
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数的部分图象如图所示.
    
    求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
    将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数是奇函数，是偶函数
    求的值；
    设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；
    ②向量，，，；
    ③函数
    这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
    已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为
    求；
    求函数在上的单调递减区间.
    
    
    
    
    
    
     
21. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的已知米，米，线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度．
    
    求关于x的函数解析式；
    记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为
    若函数有一个零点为，求m的值；
    若存在，使得成立，求m的取值范围.
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．

【解答】

解：
故选：

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】

解：或，，

故选：

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、正弦函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性直接求解．

【解答】

解：，
，
，

故选：

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，是基础题．
利用向量的坐标运算以及向量的垂直条件，转化求解即可．

【解答】

解：向量，，，
由，可得，
解得或，
故选：

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

求出函数奇偶性和零点，由此即可得解．
本题考查由函数解析式确定函数图象，同时也涉及了辅助角公式的运用及三角函数的性质，属于中档题．

【解答】

解：，，
，所以为非奇非偶函数，排除A，B；
令，解得或或或，
由图观察可知，只有选项C符合题意，D不符合题意；
故选：

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

将选项中各区间两端点值代入，满足的区间为零点所在的一个区间．
本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于基础题．

【解答】

解：函数是R上的连续函数，且单调递增，
，，

的零点所在的一个区间为，
故选：

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解
本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．

【解答】

解：由图可知，，且

则
故选：

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及三角函数的图象和性质，是中档题．
根据题意画出函数的图象，函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，利用数形结合法即可求出的取值范围．

【解答】

解：根据题意画出函数的图象，如图所示：

函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线l位于直线与直线之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：

9.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

根据终边在y轴上的角的集合为可判定选项A，根据指数式与对数式互化可求出a、b，从而可判定选项B，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C，利用幂函数的定义和性质可判定选项
本题主要考查了命题的真假判断与应用，以及基本不等式的应用和幂函数的定义，同时考查了学生分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．

【解答】

解：终边在y轴上的角的集合为，故选项A不正确；
因为，所以，，则，故选项B正确；
因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，故选项C不正确；
因为幂函数的图象过点，所以，，即，所以，故选项D正确．
故选：

10.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的三角函数的值，可得结论．

【解答】

解：角的终边经过点，
，
，，，

故选：

11.【答案】BCD
 

【解析】

【分析】

由已知得P点是BC的中点，根据平面向量的数量积运算、向量的加减与数乘混合运算，结合图象分别计算，从而判断正误．
本题考查了向量数量积的运算性质，向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．

【解答】

解：如图示：
，
由，，，
显然P点是BC的中点，
对于A：，故A错误；
对于B：由P点是BC的中点，得，
故，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：

12.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
由偶函数的定义域关于原点对称，可求得a值，根据函数解析式可求得函数单调性，由函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，再求出m的取值范围，即可得解.

【解答】

解：由题意可得，则，故A正确，B错误；
因为是偶函数，所以，
当时，单调递增，
因为是偶函数，
所以当时，单调递减，
因为，所以，
所以，
解得或，
故C错误，D正确．
故选：

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

在矩形ABCD中，，，，由向量加法公式可得答案．
本题主要考查相等的向量，以及向量加法的平行四边形法则的应用，属于基础题．

【解答】

解：画出图形，如图所示；
矩形ABCD中，O是对角线的交点，
，，
所以
故答案为：

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

【解答】

解：，则，
故答案为：

15.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质，属于中档题．
由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果．

【解答】

解：，是方程的两个根，
，，
，
故答案为

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

利用二倍角公式化简已知等式可得，解得的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解，进而可求的值，
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．

【解答】

解：因为，
整理可得，
解得，或舍去，
由于，
可得，
所以，
故答案为：

17.【答案】解：由，，可得，
，则；
由，，且，
得，
可得，


 

【解析】由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解；
由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案．
本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．
 

18.【答案】解：，，解得，
根据图象可得函数过，可得，
结合，解得，
所以函数；
单调递增区间满足，，解得：，，
所以单调递增区间为：，；
由可得：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，可得，又向左平移个单位长度可得：，
由题意可得：，，，解得：，
所以，
，，令，
，，
当时，最小，且为：，当时，最大，且为2，所以，
所以在的值域为：
 

【解析】由函数图象可求出A，，即可得函数的解析式，进而求出函数的单调递增区间；
由题意根据图象的平移变换求出函数的解析式，再换元，即可求出函数在所给区间的值域．
本题考查由函数图象求三角函数的解析式及三角函数的图象和性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：由于为奇函数，且定义域为R，
，即，解之得，经验证符合题意，
由于，
，
是偶函数，
，得到，由此可得：的值为；
，
，
又在区间上是增函数，
当时，，
由题意得到，解之得，
得a的取值范围是：
 

【解析】本题给出含有指数和对数的函数，讨论函数的奇偶性、单调性并解决关于x的不等式恒成立的问题，属于拔高题.
根据定义在R上奇函数满足，解出，再根据，化简整理得到，由此可得的值；
由得，从而，根据在区间上是增函数，得，可建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
 

20.【答案】解：方案一：选条件①
由题意可知，，，
，
，
又函数图象关于原点对称，
，
，
，
，
；
由，得，
令，得，令，得，
所以函数在上的单调递减区间为
方案二：选条件②，
，
又，
，
，
；
由，得，
令，得，令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，
方案三：选条件③




，
又，
所以，
所以，
；
由，得，，
令，得，令，得
所以函数在上的单调递减区间为，
 

【解析】选条件①，利用周期公式公式可求，利用三角函数的平移变换可得，利用正弦函数的性质，结合范围，可求，可得函数解析式，
利用特殊角的三角函数值即可求解；利用正弦函数的单调性即可求解．
选条件②，利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，利用正弦函数的周期公式可求，可求函数解析式为，
利用特殊角的三角函数值即可求解利用正弦函数的单调性即可求解在上的单调递减区间．
选条件③，利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，利用周期公式可求，可得函数解析式，
利用特殊角的三角函数值即可得解；利用正弦函数的单调性即可求解在上的单调递减区间．
本题主要考查了三角函数的平移变换，正弦函数的单调性，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的周期公式等知识的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意，可算得弧，弧
，

依据题意，可知，
化简得：
当，
答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．
 

【解析】本题考查了实际问题中函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．
根据弧长公式和周长列方程得出关于x的函数解析式；
根据扇形面积公式求出y关于x的函数，从而得出y的最大值．
 

22.【答案】解：
，
的图象上相邻两个最低点的距离为，
的最小正周期为：，故
是的一个零点，
，，
，
若，则，
，
故在上的最大值为，最小值为m，
若存在，使得成立，
则，
，
所以m的取值范围为
 

【解析】本题考查了三角恒等变换与化简，考查三角函数的性质，属于中档题．
化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算m；
求出在上的最值，解不等式得出m的范围．