2020-2021学年河北省衡水市高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合{x∈N∗|12x∈Z}中含有的元素个数为( )
A.4B.6C.8D.12

2. 设全集U={x∈N∗|x≤4}，集合A={1, 4}，B={2, 4}，则∁U(A∩B)=( )
A.{1, 2, 3}B.{1, 2, 4}C.{1, 3, 4}D.{2, 3, 4}

3. 已知集合A={x|x2≤4, x∈R}，B={x|x≤4, x∈Z}，则A∩B=( )
A.(0, 2)B.[0, 2]C.{0, 1, 2}D.{0, 2}

4. 命题“∃x0∈R，1A.∀x∈R，1C.∃x∈R，fx≤1或fx>2D.∀x∈R，fx≤1或fx>2

5. 命题“若x2+3x−4=0，则x=−4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x=−4，则x2+3x−4=0”，为真命题
B.“若x≠−4，则x2+3x−4≠0”，为真命题
C.“若x≠−4，则x2+3x−4≠0”，为假命题
D.“若x=−4，则x2+3x−4=0”，为假命题

6. 设全集U={x∈R|x>0}，函数f(x)=11−lnx的定义域为A，则∁UA为( )
A.[e, +∞)B.(e, +∞)C.(0, e)D.(0, e]

7. a<0，b<0的一个必要条件为（ ）
A.a+b<0B.a−b>0C.ab>1D.ab<−1

8. 已知集合A={1,2,3}，B={x,y|x∈A,y∈A,x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为( )
A.4B.7C.8D.6

9. 命题p:∃x0∈(0, +∞)，x0+1x0>3；命题q:∀x∈(2, +∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )
A.p∧(¬q)B.(¬p)∧qC.p∧qD.(¬p)∨q

10. 已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2−6x+8≤0}，则A∩(∁RB)=( )
A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x|x<2或x>4}

11. 已知a→，b→为平面内任意两个向量，p：a→=0→或b→=0→，q：|a→+b→|=|a→−b→|，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件

12. 下列四个结论：
①若x>0，则x>sinx恒成立；
②命题“若x−sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x−sinx≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x−lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0−lnx0<0”．
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

设集合A=5,a+1，集合B=a,b．若A∩B=2，则A∪B=________.

设集合S={x|(x−1)(x−4)≤0}，T={m≤x≤m+2}，若T⊆S，则实数m的取值范围是________．

若命题“∃x∈(1, 2)，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是________．

记不等式x2+x−6<0的解集为集合A，函数y=lg(x−a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
三、解答题

已知集合A={x|x<0或x≥2}，集合B={x|−1(1)求A∪B；

(2)求(∁RA)∩B．

已知集合A={x|a−1(1)若a=1，求A∪B；

(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．

已知p：∀x>0，x+1x>a；q：x2−2ax+1≤0的解集非空．若p不正确，正确，求a的取值范围．

已知集合A={x∈R|y=lg(−x2−x+2)}，B={y∈R|y=2x+3x−4,1(1)求A∪B；

(2)若(A∪B)∩C为空集，(A∪B)∪C=R，求b，c的值．

已知命题p:x−1x+1<0，命题q：(x−m)(x−m+3)<0(m∈R)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

已知命题p:a∈{y|y=−x2+2x+8, x∈R}，命题q：关于x的方程x2+x−a=0的一根大于1，另一根小于1．如果命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
根据题意，集合中的元素满足x是正整数，且12x是整数．由此列出x与12x对应值的表格，根据该表格即可得到题中集合元素的个数．
【解答】
解：由题意，集合{x∈N∗|12x∈Z}中的元素满足x是正整数，且12x是整数，由此列出下表
根据表格，可得符合条件的x共有6个，即集合{x∈N∗|12x∈Z}中有6个元素.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
利用交、并、补集的混合运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
【解答】
解：∵ 全集U={x∈N∗|x≤4}={1, 2, 3, 4}，A={1, 4}，B={2, 4}，
∴ A∩B={4}，
∴ ∁U(A∩B)={1, 2, 3}.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．
【解答】
解：由题得，集合A中不等式可解得：−2≤x≤2，即A=[−2, 2]，
集合B中不等式可解得：0≤x≤16，x∈Z，
即B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}，
则A∩B={0, 1, 2}.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R，fx≤1或fx>2”．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
四种命题间的逆否关系
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：逆否命题为“若x≠−4，则x2+3x−4≠0"，
由x2+3x−4=0，
得x=−4或1，
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出f(x)的定义域确定出A，根据全集U求出A的补集即可．
【解答】
解：由f(x)=11−lnx，得到1−lnx>0，
解得：0∵ 全集U=(0, +∞)，
∴ ∁UA=[e, +∞)．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先确定由哪个关系可以推导哪个关系，再依次验证每个选项即可．
【解答】
解：由题意知，可由a<0，推导出选项：
对于A：当a<0，b<0时，由同向不等式的性质，a+b<0显然成立，
∴ 正确，
对于B：当a<0，b<0时，推不出a>b即a−b>0，∴ 错误，
对于C：当a<0，b<0时，ab>1不恒成立，如：a=−1，b=−2，∴ 不正确，
对于D：当a<0，b<0时，ab>0，∴ ab<−1不成立，∴ 不正确.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为集合A=1,2,3，B={x,y|x∈A,y∈A,x+y∈A}，
所以集合B={1,1,1,2,2,1}，
故集合B的子集的个数为8，真子集的个数为7，
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】
解：命题p:∃x0∈(0, +∞)，x0+1x0>3，是真命题，例如取x0=4；
命题q:∀x∈(2, +∞)，x2>2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．
则下列命题为真的是p∧(¬q)．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
化简集合A、B，再根据补集与交集的定义进行计算即可．
【解答】
解：全集为R，集合A=x|2x≥1=x|x≥0，
B=x|x2−6x+8≤0=x|2≤x≤4，
∁RB={x|x<2或x>4}，
∴A∩∁RB={x|0≤x<2或x>4}.
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a→=0→或b→=0→，
则|a→+b→|=|a→−b→|，
所以p是q的充分条件；
若|a→+b→|=|a→−b→|，
则|a→+b→|2=|a→−b→|2，
即a→⋅b→=0，
所以a→⊥b→或a→=0→或b→=0→，
所以p不是q的必要条件，
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
由函数y=x−sinx的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；
由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．
【解答】
解：①由y=x−sinx的导数为y′=1−csx≥0，函数y为递增函数，若x>0，则x>sinx恒成立，故①正确；
②命题“若x−sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x−sinx≠0”，故②正确；
③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，
则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
④命题“∀x∈R，x−lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0−lnx0≤0”，故④不正确．
综上可得，正确的个数为3．
故选C．
二、填空题
【答案】
5,2,1
【考点】
交集及其运算
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得a+1=2，
解得a=1，
则b=2，
∴ A∪B=5,2,1．
故答案为：5,2,1．
【答案】
[1, 2]
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
讨论集合T为空集和非空集合时，利用T⊆S，确定m的取值范围即可．
【解答】
解：S={x|1≤x≤4}．
若T=⌀，则m>m+2，此时不等式无解．
若T≠⌀，T⊆S时，则m+2≤4,m≥1,
解得：1≤m≤2，
所以实数m的取值范围是[1, 2]．
故答案是：[1, 2]．
【答案】
(−∞, −5]
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出−m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．
【解答】
解：∵ 命题“∃x∈(1, 2)时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，
∴ 命题“∀x∈(1, 2)时，满足不等式x2+mx+4<0”是真命题，
∴ −m>x+4x在(1, 2)上恒成立，
令f(x)=x+4x，x∈(1, 2)，
则f(x)在(1,2)上单调递减，
∴ f(x)∴ −m≥5，
∴ m≤−5．
故答案为：(−∞, −5]
【答案】
(−∞, −3]
【考点】
集合的包含关系判断及应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【解答】
解：由x2+x−6<0，得−3所以A={x|−3由x−a>0，得x>a，
所以B={x|x>a}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
则A⊆B，
所以a≤−3.
故答案为：(−∞, −3].
三、解答题
【答案】
解：(1)因为A={x|x<0或x≥2}，
集合B={x|−1所以A∪B={x|x≥2或x<1}．
(2)因为A={x|x<0或x≥2}，
所以∁RA={x|0≤x<2}，
又B={x|−1所以(∁RA)∩B={x|0≤x<1}．
【考点】
并集及其运算
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）根据并集的运算即可求A∪B；
（2）根据补集和交集的定义进行运算即可求(∁RA)∩B．
【解答】
解：(1)因为A={x|x<0或x≥2}，
集合B={x|−1所以A∪B={x|x≥2或x<1}．
(2)因为A={x|x<0或x≥2}，
所以∁RA={x|0≤x<2}，
又B={x|−1所以(∁RA)∩B={x|0≤x<1}．
【答案】
解：(1)由x+1>0,2−x>0,
得−1∴ B={x|−1当a=1时，集合A={x|0∴ A∪B={x|−1(2)当A∩B=⌀时，
可得a+2≤−1或a−1≥2，
解得：a≤−3或a≥3．
∴ 实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}．
【考点】
并集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
求函数定义域化简集合B．（1）把a=1代入集合A，然后直接利用并集运算得答案；
（2）由A∩B=⌀，得到关于a的不等式组，求解a的范围得答案．
【解答】
解：(1)由x+1>0,2−x>0,
得−1∴ B={x|−1当a=1时，集合A={x|0∴ A∪B={x|−1(2)当A∩B=⌀时，
可得a+2≤−1或a−1≥2，
解得：a≤−3或a≥3．
∴ 实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}．
【答案】
解：由p不正确可知∃x0>0，
使得x0+1x0≤a，
设fx=x+1x，x>0，
则a≥fxmin，
又fx=x+1x≥2，
当且仅当x=1时等号成立，
故a≥2．
由q正确可知关于x的方程x2−2ax+1=0的根的判别式Δ=4a2−4≥0，
解得a≥1或a≤−1．
故实数a的取值范围为[2,+∞)．
【考点】
命题的真假判断与应用
一元二次不等式的解法
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由p不正确可知∃x0>0，
使得x0+1x0≤a，
设fx=x+1x，x>0，
则a≥fxmin，
又fx=x+1x≥2，
当且仅当x=1时等号成立，
故a≥2．
由q正确可知关于x的方程x2−2ax+1=0的根的判别式Δ=4a2−4≥0，
解得a≥1或a≤−1．
故实数a的取值范围为[2,+∞)．
【答案】
解：(1)∵ A=(−2, 1)，B=[26−4, 3)，
∵ 26−1<1，
∴ A∪B=(−2, 3).
(2)由题意知，方程x2+bx+c=0必有两个不等实根，
记为x1，x2(x1由(A∪B)∩C为空集，得到x1≤−2，x2≥3，
由(A∪B)∪C=R，得到x1≥−2，x2≤3，
∴ x1=−2，x2=3，
解得：b=−1，c=−6．
【考点】
并集及其运算
集合关系中的参数取值问题
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
（1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的并集即可；
（2）由题意得到x2+bx+c=0必有两个不等实根，记为x1，x2(x1【解答】
解：(1)∵ A=(−2, 1)，B=[26−4, 3)，
∵ 26−1<1，
∴ A∪B=(−2, 3).
(2)由题意知，方程x2+bx+c=0必有两个不等实根，
记为x1，x2(x1由(A∪B)∩C为空集，得到x1≤−2，x2≥3，
由(A∪B)∪C=R，得到x1≥−2，x2≤3，
∴ x1=−2，x2=3，
解得：b=−1，c=−6．
【答案】
解：∵ p:x−1x+1<0，即p:{x|−1q：(x−m)(x−m+3)<0(m∈R)，
即q:{x|m−3∵ p是q的充分不必要条件，
∴ 集合p，q有p⊊q，
∴ m−3≤−1且m≥1，
∴ 1≤m≤2，
故实数m的取值范围：[1, 2].
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
求解命题得出集合：p:{x|−1【解答】
解：∵ p:x−1x+1<0，即p:{x|−1q：(x−m)(x−m+3)<0(m∈R)，
即q:{x|m−3∵ p是q的充分不必要条件，
∴ 集合p，q有p⊊q，
∴ m−3≤−1且m≥1，
∴ 1≤m≤2，
故实数m的取值范围：[1, 2].
【答案】
解：{y|y=−x2+2x+8, x∈R}={y|0≤y≤3}，
∴ 命题p:a∈{y|y=−x2+2x+8, x∈R}，
即a∈[0, 3]，
命题q：关于x的方程x2+x−a=0的一根大于1，另一根小于1．
即12+1−a<0，a>2．
命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
说明p，q中恰有一个为真，
若p真q假，则a∈[0, 2]；
若p假q真，则a∈(3, +∞)．
综合得a的范围是[0, 2]∪(3, +∞)．
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
【解析】
求出函数y|y=−x2+2x+8，x∈R的值域得到命题p为真命题或假命题的a的范围，再由方程x2+x−a=0的一根大于1，另一根小于1列式求得a的范围，即命题q为真命题的a的范围，进一步得到命题q为假命题的a的范围，由命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，说明p，q中恰有一个为真，然后由交集概念得答案．
【解答】
解：{y|y=−x2+2x+8, x∈R}={y|0≤y≤3}，
∴ 命题p:a∈{y|y=−x2+2x+8, x∈R}，
即a∈[0, 3]，
命题q：关于x的方程x2+x−a=0的一根大于1，另一根小于1．
即12+1−a<0，a>2．
命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
说明p，q中恰有一个为真，
若p真q假，则a∈[0, 2]；
若p假q真，则a∈(3, +∞)．
综合得a的范围是[0, 2]∪(3, +∞)．x
1
2
3
4
6
12
12x
12
6
4
3
2
1