2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了【答案】B，【答案】C，【答案】A，【答案】AC，【答案】BD等内容，欢迎下载使用。

已知集合A={x|3x<13}，B={−3,−2,−1,0,1,2}，则(∁RA)⋂B=( )
A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}
已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−x12B. f(x)=3−xC. f(x)=lg2|x|D. f(x)=1x4
用二分法求方程lg2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
已知a=212，b=313，c=ln52，则( )
A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c
函数f(x)=x1−x2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
已知实数x>3，则4x+9x−3的最小值是( )
A. 24B. 12C. 6D. 3
我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)=( )
A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010
下列命题是真命题的有( )
A. lg2−lg14+3lg5=3
B. 命题“∀x>0，2x>1”的否定为“∃x≤0，2x≤1”
C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件
D. 若幂函数f(x)=xα(α∈R)经过点(18,2)，则α=−3
若角α为钝角，且sinα+csα=−15，则下列选项中正确的有( )
A. sinα=45B. csα=−45
C. tanα=−43D. sinαcsα=−1225
设a>b>0，c≠0，则下列不等式成立的是( )
A. a−c>b−cB. c2a>c2bC. abb−1b
三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，a+b+c3≥3abc，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( )
A. 若x>0，则x2+2x≥3B. 若0C. 若x>0，则2x+1x2≥3D. 若0函数f(x)=(12)1−x2的值域为__________.
已知函数f(x)=x2−3x,x≤0lg2x,x>0，若f(a)=4，则实数a=__________.
若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=__________，cs(5π6−α)=__________.
已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)，g(x)=x2−4x+1.若对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是__________.
已知角α终边上一点P(1,2).
(1)求sinα+2csαsinα−csα的值；
(2)求cs(11π2−α)+sin(9π2+α)的值.
已知集合A={x|(x−a)(x+1)>0}(a∈R)，B={x|−1(1)当a=1时，求A⋂B；
(2)是否存在实数a，使得_____成立？
请在①A⋂B=B，②A⋂B=⌀，③B⊆(∁RA)这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间.
某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)=5(x2+3),0≤x≤250x1+x+53,2(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
已知一元二次函数f(x)=ax2−x+1(a≠0).
(1)若0(2)若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为−2，求实数a的值.
函数f(x)的定义域为D，若x0∈D，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点.
已知函数f(x)=3−3x,0≤x≤1lg3x,1(1)试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；
(2)若“∃x∈[0,23),g(x)−1>lg3(1+x)+lg3(x+k)”是真命题，求实数k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合A，根据补集与交集的定义，运算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题．
【解答】
解：集合A={x|3x<13}={x|x<−1}，
所以∁RA={x|x≥−1}；
又集合B={−3,−2,−1,0,1,2}，
所以(∁RA)⋂B={−1,0,1,2}.
故选D.

2.【答案】B
【解析】
【分析】
设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．
【解答】
解：设扇形的半径为R，
所以2R+2R=8，
所以R=2，扇形的弧长为4，半径为2，
扇形的面积为S=12×4×2=4.
故选B.

3.【答案】C
【解析】
【分析】
可看出选项A，B的函数都是非奇非偶函数，选项D的函数在(0,+∞)上是减函数，从而只能选C.
本题考查了函数奇偶性，幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
【解答】
解：f(x)=−x12和f(x)=3−x都是非奇非偶函数；
f(x)=lg2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增；
f(x)=1x4是偶函数，在(0,+∞)上单调递减．
故选C.

4.【答案】B
【解析】
【分析】
令f(x)=lg2x+x−2，分别求出f(1)，f(2)，然后利用零点的存在性定理即可判断得到答案．
本题考查了二分法，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：令f(x)=lg2x+x−2，
则f(1)=lg21+1−2=−1<0，f(2)=lg22+2−2=1>0，
故f(1)f(2)<0，
由零点的存在性定理可得，在区间(1,2)内存在函数的零点，
故方程lg2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2).
故选B.

5.【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：∵a=212>20=1，b=313>30=1，
a6=23=8，b6=32=9，∴ac=ln52∴b>a>c.
故选C.

6.【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是中档题．
【解答】
解：函数的定义域为{x|x≠±1}，
f(−x)=−x1−x2=−f(x)，为奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
当x>1时，f(x)<0，排除B，
故选A.

7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
4x+9x−3=4(x−3)+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．
【解答】
解：∵x>3，∴x−3>0，
4x+9x−3=4(x−3)+9x−3+12≥12+24(x−3)×9x−3=24，
当且仅当4(x−3)=9x−3，即x=92时，取得最小值24.
故选A.

8.【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．
【解答】
解：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(m,n)，则y=f(x+m)−n为奇函数，
即y=(x+m)3+3(x+m)2−n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x+m3+3m2−n为奇函数，
必有3m+3=0且m3+3m2−n=0，解得m=−1，n=2，
则f(x)的对称中心为(−1,2)，所以f(−2+x)+f(−x)=4，
设S=f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)
+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)，
则S=f(−2021)+f(−2019)+f(−2017)+…+f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019)，
由−2021=2019−2(n−1)，得n=2021，去掉f(−1)项，共2020项，
则两式相加得2S=[f(2019)+f(−2021)]+[f(2017)+f(−2019)]
+…+[f(−2021)+f(2019)]=4+4+…+4=4×2020，
所以S=2×2020=4040，
故选B.

9.【答案】AC
【解析】
【分析】
A根据对数运算判断；B根据全称量词命题的否定定义判断；C根据充分条件和必要条件概念判断；D根据幂函数函数值运算判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数与对数的基本运算，考查了全称量词命题的否定概念，属中档题．
【解答】
解：对于A，lg2−lg14+3lg5=lg2+lg4+lg53=lg(2×4×53)=lg103=3，所以A正确；
对于B，命题“∀x>0，2x>1”的否定为“∃x>0，2x≤1”，所以B错误；
对于C，α=β⇒sinα=sinβ，反之未必成立，如sin0=sinπ，0≠π，
即“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，所以C正确；
对于D，幂函数f(x)=xα(α∈R)经过点(18,2)，则(18)α=2，α=−13，所以D错误．
故选AC.

10.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．
根据sinα+csα=−15，sin2α+cs2α=1，角α为钝角，求得α的三角函数值．
【解答】
解：∵角α为钝角，
∴sinα>0，csα<0，
联立方程组sinα+csα=−15sin2α+cs2α=1，解得sinα=35csα=−45，
∴tanα=sinαcsα=−34，sinα⋅csα=−1225.
观察选项，选项BD符合题意．
故选BD.

11.【答案】AD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对选项中的命题判断正误即可．
本题主要考查了不等式的性质和应用问题，熟练掌握不等式成立的性质是解题的关键，是中档题．
【解答】
解：对于A，因为a>b>0，c≠0，所以a−c>b−c，所以A正确；
对于B，因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，1a<1b，所以c2a对于C，因为a>b>0，当b+c<0且a+c>0时，ab>0>a+cb+c，所以C错误；
对于D，因为a>b>0，所以1a<1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，所以D正确．
故选AD.

12.【答案】AC
【解析】
【分析】
根据已知将原式变形为，a+b+c3≥3abc，即可判断．
本题考查了新定义三元均值不等式的应用，属于拔高题．
【解答】
解：对于A：x>0，x2+2x=x2+1x+1x≥33x2⋅1x⋅1x=3，当且仅当x=1时取等号，故A正确，
对于B：∵00，x2(1−x)=12x⋅x⋅(2−2x)≤12(x+x+2−2x3)3=427，当且仅当x=23时取等号，故B错误，
对于C：x>0，2x+1x2=x+x+1x2≥33x⋅x⋅1x2=3，当且仅当x=1时取等号，故C正确，
对于D：∵00，x(1−x)2=12×2x(1−x)(1−x)
≤12(2x+1−x+1−x3)3=427，当且仅当x=13时取等号，故D错误．
故选AC.

13.【答案】[12,+∞)
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．
利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．
【解答】
解：设t=1−x2，则t≤1，
所以y=(12)t≥(12)1=12，
所以函数f(x)=(12)1−x2的值域为[12,+∞),
故答案为[12,+∞).

14.【答案】−1或16
【解析】
【分析】
本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用.
直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可得到答案．
【解答】
解：当a≤0时，则有a2−3a=4，解得a=−1或a=4(舍)；
当a>0时，则有lg2a=4，解得a=16.
故a=−1或16.
故答案为：−1或16.

15.【答案】15
−15
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=sin[π−(π3−α)]=sin(π3−α)=15；
cs(5π6−α)=cs(π2+π3−α)=−sin(π3−α)=−15，
故空1答案为：15；空2答案为：−15.

16.【答案】(0,12]
【解析】
【分析】
本题考查了恒成立问题，涉及了二次函数求最值、函数单调性的应用，对于此类问题一般会转化为两个函数值域的包含关系进行研究，属于较难题．
先求出g(x)在[−1,2]上的值域，设函数f(x)的值域为A，然后将问题转化为A⊆[−3,6]，进而研究函数f(x)的取值情况，得到f(x)>0恒成立，又f(x)的最大值为f(2)，则f(2)≤6，求解即可．
【解答】
解：函数g(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，
因为x2∈[−1,2]，所以g(x2)∈[−3,6]，
因为对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，
设函数f(x)的值域为A，
所以A⊆[−3,6]，
又2x>0，ax2≥0，
故f(x)>0在[−1,2]上恒成立，
又f(x)在[0,2]上单调递增，
所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a≤6，
解得a≤12，又a>0，
所以实数a的取值范围是(0,12].
故答案为(0,12].

17.【答案】解：(1)因为α终边上一点P(1,2)，所以tanα=yx=2，
所以sinα+2csαsinα−csα=tanα+2tanα−1=4.
(2)角α终边上一点P(1,2)，则r=|OP|=12+22=5，
所以sinα=yr=25=255，csα=xr=15=55，
所以cs(11π2−α)+sin(9π2+α)=−sinα+csα=−55.
【解析】(1)由α终边上一点P(1,2)，得tanα=yx=2，由此能求出sinα+2csαsinα−csα的值．
(2)由角α终边上一点P(1,2)，求出sinα=yr=25=255，csα=xr=15=55，由此能求出cs(11π2−α)+sin(9π2+α)的值．
本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)若a=1，则A={x|(x−1)(x+1)>0}=(−∞,−1)⋃(1,+∞)，
解不等式−1所以A⋂B=(1,2].
(2)由于B=(12,2],
若选①A⋂B=B，则B⊆A，
当a≥−1时，集合A=(−∞,−1)⋃(a,+∞)，
要使B⊆A，则需a≤12，所以−1≤a≤12；
当a<−1时，集合A=(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时满足B⊆A，
所以若选①，则实数a的取值范围为{a|a≤12}；
若选②A⋂B=⌀，
当a≥−1时，集合A=(−∞,−1)⋃(a,+∞)，
要使A⋂B=⌀，则需a≥2，所以a≥2；
当a<−1时，集合A=(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时不满足A⋂B=⌀，
所以若选②，则实数a的取值范围为{a|a≥2}；
若选③B⊆(∁RA)，B=(12,2],
当a>−1时，集合A=(−∞,−1)⋃(a,+∞)，∁RA=[−1,a]，
要使B⊆(∁RA)，则需a≥2，所以a≥2；
当a=−1时，集合A=(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，此时(CRA)={−1}，不满足条件B⊆(∁RA)；
当a<−1时，集合A=(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时∁RA=[a,−1]，B⋂(∁RA)=⌀，不满足条件B⊆(∁RA)；
所以若选③，则实数a的取值范围为{a|a≥2}.
【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．
(1)求出a=1时集合A，化简集合B，根据交集的定义写出A⋂B；
(2)由集合知识可以解出集合B，
若选①A⋂B=B，则B⊆A，对集合A进行分类求解，再利用集合的子集解出；
若选②A⋂B=⌀，对集合A进行分类求解，再利用集合的交集解出；
若选③B⊆(∁RA)，对集合A进行分类求解，再利用集合的子集，补集解出．
19.【答案】解：(1)由题意知，若x∈[0,π2]，则π6≤2x+π6≤7π6，
所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，
又因为a>0，所以a+b=3−12a+b=0，得a=2，b=1；
所以g(x)=2sin(2x+π6)+1；
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
得到kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
当k=0时，−π3≤x≤π6；
当k=1时，2π3≤x≤7π6，
所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π).
【解析】本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)+b的图象及性质，属于中档题．
(1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x+π6)∈[−12,1]，又a>0，可得a+b=3−12a+b=0，解得a，b的值，即可求g(x)的函数解析式；
(2)根据正弦函数的单调性即可求解．
20.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x，
则函数f(x)的解析式为：f(x)=75x2−30x+225,0≤x≤2750x1+x−30x+25,2(2)由(1)得f(x)=75x2−30x+225,0≤x≤2750x1+x−30x+25,2(i)当0≤x≤2时，f(x)=75(x−15)2+222，
当x=2时，f(2)=465；
(ii)当2因为465<505，所以当x=4时，f(x)max=505，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型，涉及到分段函数求最大值的问题，考查了学生的运算能力．
(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x，然后即可求解；
(2)根据(1)，分段求出函数的最大值，比较即可求解．
21.【答案】(1)证明：根据题意，设x1因为x1因为x1<12,x2≤12，得x1+x2<1，
且0所以f(x1)−f(x2)>0成立，即f(x1)>f(x2)；
函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；
(2)解：根据题意，f(x)=ax2−x+1，其对称轴为x=12a，
分4种情况讨论：
①当a<0时，此时f(x)的对称轴12a<0，
函数f(x)=ax2−x+1在区间[1,4]上单调递减，
此时f(x)min=f(4)=16a−3=−2，得a=116，不符合题意；
②当0函数f(x)=ax2−x+1在区间[1,4]上单调递减，
此时f(x)min=f(4)=16a−3=−2，得a=116，符合题意；
③当18此时函数f(x)=ax2−x+1的最小值为f(x)min=f(12a)=4a−14a=−2，
解得a=112，不符合题意；
④当a>12时，此时f(x)的对称轴满足0<12a<1，
函数在区间[1,4]上单调递增，f(x)min=f(1)=a=−2，不符合题意．
综合可得：a=116.
【解析】(1)根据题意，作差分析可得结论．
(2)根据题意，结合二次函数的对称轴和单调性，按a的取值范围分4种情况讨论，求出a的值，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性证明．
22.【答案】解：g(x)=f(f(x))=lg3(3−3x),(0≤x<23)3−3(3−3x),(23≤x≤1)3−3lg3x,(1=lg3(3−3x),(0≤x<23)9x−6,(23≤x≤1)3−3lg3x,(1(1)下面分区间讨论g(x)的不动点个数．
①当0≤x<23时，g(x)=x⇒lg3(3−3x)=x⇒x−lg3(1−x)−1=0，
因为函数h(x)=x−lg3(1−x)−1在[0,23)上单调递增，h(0)=−1<0，h(23)=23>0，
所以h(x)在[0,23)内存在唯一零点，即g(x)在[0,23)内存在唯一不动点；
②当23≤x≤1时，g(x)=x⇒9x−6=x，解得x=34，
即g(x)在[23,1]内存在唯一不动点；
③当1φ(x)=x+3lg3x−3在(1,3]上单调递增，φ(1)=−2<0，φ(3)=3>0，
所以φ(x)=x+3lg3x−3在(1,3]内有唯一零点，即g(x)在(1,3]内存在唯一不动点；
综上所述，g(x)有3个不动点．
(2)因为“∃x∈[0,23),g(x)−1>lg3(1+x)+lg3(x+k)”是真命题，
所以lg3(3−3x)−1>lg3(x+1)+lg3(x+k)0≤x<23x+1>0x+k>0有解，
即lg3(1−x)−lg3(x+1)>lg3(x+k)0≤x<23x>−k有解，
所以1−x1+x>x+k0≤x<23−x即−x令p(x)=−x，q(x)=2x+1−(x+1)，函数p(x)与q(x)在[0,23)上都是减函数，值域分别为(−23,0]和(−715,1]；
所以k的取值范围是(−23,1).
【解析】本题主要考查命题的真假应用，考查了不等式性质，考查了复合函数，理解新定义是是解决本题的关键，属于难题．
(1)用函数复合运算求出函数解析式，理解新定义，分段讨论，解方程确定不动点个数；
(2)对命题等价变换，用函数值域确定取值范围．