第7讲 主元法巧解双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第7讲 主元法巧解双变量问题

一．选择题（共5小题）

1．（2021•浙江模拟）已知任意，，若存在实数使不等式对任意的，恒成立，则　　

A．的最小值为4 B．的最小值为6 

C．的最小值为8 D．的最小值为10

2．（2021秋•杭州期中）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是　　

A．，， B．， 

C．，， D．，

3．（2021春•金华期末）若存在正实数，使得，则　　

A．实数的最大值为 B．实数的最小值为 

C．实数的最大值为 D．实数的最小值为

4．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

5．（2021•浦江县模拟）已知实数，，满足，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题）

6．（2021秋•西陵区校级月考）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为　　．

7．（2021春•金东区校级期中）若正数，，满足，则的最大值是　　．

8．（2021•杭州二模）若，，设，则的最小值为　　．

9．（2021春•台州期末）若，，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．

10．（2021秋•上海月考）设函数，，若当时，恒成立，则的取值范围是　　．

三．解答题（共22小题）

11．（2021秋•包河区校级期中）（1）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

（2）已知，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

12．（2021•新课标Ⅰ）已知函数．

（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

13．（2017春•福州期末）已知函数，

（1）当为何值时，曲线在处的切线与轴垂直；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，试证明．

14．（2021•巴中模拟）已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，，．

15．（2021秋•衢州期末）已知函数，为的导函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）当时，求证：对任意的，，，且，有．

16．（2021•重庆模拟）已知函数，，其中，，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，，任意，，不等式恒成立时最大的记为，当，时，的取值范围．

17．（2021•浙江模拟）已知函数，函数，，．

（Ⅰ）求函数的单调区间．

（Ⅱ）若，对恒成立，求的取值范围．为自然对数的底数）

18．（2016秋•阜宁县期中）已知二次函数．

（1）当时，用作差法证明：；

（2）已知当，时，恒成立，试求实数的取值范围．

19．（2021•漳州一模）已知函数，，其中，．

（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）记，求证：．

20．（2021•嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若为的一个“子函数”，求的最小值．

21．（2021•浙江）已知实数，设函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．

注：为自然对数的底数．

22．（2021秋•上城区校级期中）已知实数，设函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．

23．（2021•商丘二模）已知函数．

（1）如图，设直线将坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；

（2）当时，求证：，且，有．

24．（2021•荔湾区校级模拟）已知函数的导函数为．

（1）若函数存在极值，求的取值范围；

（2）设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合．

25．（2016春•哈密市校级月考）已知函数．

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；

（3）若，求证：（b）．

26．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．

（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．

27．（2015•微山县校级二模）设函数．

（Ⅰ） 求的极值；

（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，证明：．

28．（2021•泉州二模）已知函数，．

（1）若，，求实数的值．

（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．

29．（2021•江苏）设函数，，，，为的导函数．

（1）若，（4），求的值；

（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；

（3）若，，，且的极大值为，求证：．

30．（2021春•湖南期中）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）函数，证明：当时，恒成立．

31．（2021•天津）已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（ⅱ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．

32．（2016•新课标Ⅲ）设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明当时，；

（3）设，证明当时，．