第9讲 函数中的整数问题与零点相同问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第9讲 函数中的整数问题与零点相同问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．（2021春•河南期中）当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，函数在下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，．
所以，函数的最小值为．又，（1）．
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，
故选：．

2．（2021春•龙岩期末）已知函数与函数的图象相交于不同的两点，，，，若存在唯一的整数，，则实数的最小值是　　
A．0 B． C． D．1
【解答】解：由得，
设，
求导，
令，解得，
时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且，
又时，；
当时，，，故；
作出函数大致图像，如图所示：
又，
因为存在唯一的整数，，使得与的图象有两个交点，
由图可知：（2）（1），
即，
所以的最小值为．
故选：．

3．（2021春•鄂州期末）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为　　
A．7 B．8 C．5 D．11
【解答】解：，，
令，，则，
令，解得：，
当时，，当时，，，
故在上递增，在，上递减，
则的最大值是，
令，，则，
当时，此题无解，故，
则时，，当，，当，解得：，
故在递减，在，递增，
则的最小值是，
若成立，只需，
即，即，
两边取对数可得：，，
故的最大正整数为5，
故选：．
4．（2021春•珠海期末）英国数学家布鲁克泰勒，以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）．
若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项．此时称该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式．
于是，我们可得（此处介于0和1之间）．若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的虽小值是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由条件有，即
因为7！，8！！，
所以的最小值为7．
故选：．
5．（2021春•自贡期末）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
则，
，，单调递增，
，，，单调递减，
时，取得最大值为，
，
（1）（1），
直线恒过定点且斜率为，
，
，
又，
的取值范围，．
故选：．
6．（2021•南平模拟）设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是　　
A．， B．
C． D．
【解答】解：，
，令，得，
易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
则函数在处取得极小值，且极小值为，如图所示：

当时，无解；
当时，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则，解得；
当时，由于直线与轴的负半轴交于点，
当时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：．
7．（2021春•宿州期中）设为整数，对于任意的正整数，，则的最小值是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：令，，则，
，，函数在上是减函数，
，．
，
，

，
累加得：，
，
，
又，
对于任意的正整数，，则整数的最小值是3．
故选：．
8．（2021•乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，，
因为仅存在一个整数，使得，
所以仅有一个整数，使得，
，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以（1），
所以满足条件的整数为1，
由，可得为减函数，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，．
故选：．
9．（2021•中卫二模）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：因为函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，
所以的解集中恰有两个正整数，
由可得，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
作出函数与的大致图象如图所示：

当恰有两个正整数解时，即为1和2，
所以，解得，
故实数的取值范围为，．
故选：．
10．（2021•乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，，
因为仅存在一个整数，使得，
所以仅有一个整数，使得，
因为，所以为偶函数，
当时，，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以（1），当，，当，，
由偶函数的性质可得当时，在上单调递减，在上单调递增，
，当，，当，，
，恒过定点，且，
作出图象，由图象可得满足条件的整数为，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，．
故选：．

11．（2021•安庆二模）对任意，，使得不等式成立的最大整数为　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：由题意知，有，，
令，则，令，
易知其单调递增，因为（2），，
所以存在，使得，
因此在单调递减，在单调递增，
，
所以最大整数为，
故选：．
12．（2021•咸阳模拟）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数，其中，
设，，
存在唯一的整数，使得，
存在唯一的整数，使得在直线的下方，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，．
当时，，当时，，
直线恒过，斜率为，
故，且，
解得，
的取值范围是，．
故选：．

13．（2021•襄城区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，，
则，
令，得 或；，得，
在和， 上单调递增，在上单调递减，
，且（2），
当 时， 至多有一个整数解．
当 时， 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，
只需，即，
解得：，
故选：．
14．（2021•鼓楼区校级开学）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数存在唯一的正整数，使得，
所以存在唯一的正整数，使得，
令，，
所以存在唯一的正整数，使得，
，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以（3），，
恒过点，
当时，有无穷多个的值使得，
当时，函数单调递增，
作出图像：

记上，，
，，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
15．（2021•香坊区校级四模）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数，
因为存在唯一的正整数，使得，
即存在唯一的正整数，使得，
令，，
问题即转化为存在唯一的正整数，使得，
，令，解得，
所以在上为单调递增函数，在区间上为单调递减函数，
所以，
过定点，
当时，有无穷多个的值使得，
当时，函数单调递增，
由图象可以分析得到只有正整数使得，
令，
则，，
由图可知，实数的取值范围为．
故选：．

16．（2021•江苏期末）已知函数，若存在，使不等式成立，则整数的最小值为　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：，则，
所以为上的增函数，
因为存在，使不等式成立，
所以存在，使得成立，
即存在，使得成立，
即，
令，
，
当，时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
又，，
所以，
所以，
解得，
所以的最小值为．
故选：．
17．（2021•阜阳期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则满足条件的整数的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当时，单调递增，此时函数的值域为，．
当时，，由，得，则．
因为，且函数恰有3个零点，所以，
即，故整数的个数为3．
故选：．
18．（2021•舒城县校级期末）已知函数，若恒成立，则整数的最大值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，
可化为，即，
令，则
令，则，
当时，，在单调递增．
又，
使，则．
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
，，
正整数的最大值为3．
故选：．
19．（2021•浙江期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
，所以或者时函数递增，时递减，
并且（1），（2），（3），（4），
图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，
即有唯一正整数解，
所以只要并且，即，解得：；
故选：．

20．（2021春•肥东县校级期中）已知函数，，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
得，
令，，则过定点
由题意知，存在3个正整数，使在直线的下方，
，
当时，，此时为增函数，
当时，，此时为减函数，
即当时，取得极小值，同时也是最小值（1），
且，（2），（3），
直线恒过点，且斜率为，
由题意可知当时，不满足条件．有很多整数解，
则，
此时，满足条件，由图象知，此时只能时，满足条件，
则满足，即得，即，
故实数的取值范围是，，
故选：．

21．（2021•攀枝花模拟）在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，
化简得，
设，，则原不等式即为．
若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，．
（2），（2），（2）（2）．
当（3）（3），即时，设，
则．
设，则，
在，上为减函数，
（4），
当时，，在，上为减函数，
即，
当时，不等式恒成立，
原不等式的解集中没有大于2的整数．
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
则，即，
解得．
则实数的取值范围为，．
故选：．
22．（2021•嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：当或时，；
当时，，
当或时；
当时，，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
且的图象关于直线对称，
，
，即，
又，故．
．
故选：．
23．（2021•崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：当或时，，
当时，，
当或时，，当时，，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
且的图象关于直线对称，
，
，即，又，故．
．
故选：．
24．（2021春•温州期末）若不等式对任意的恒成立，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由选项可知，故原不等式等价于，
当时，显然不满足题意，故，
由二次函数的性质可知，此时必有，即．
故选：．
25．（2016秋•杭州期末）若不等式对任意的，恒成立，则　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：对任意，恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则，上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意，恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，
故选：．

26．（2021•上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由在上成立，
可得：△，解得：．
经过验证只有时成立．
下面给出证明：在上始终成立，
，
或时，，，此时成立．
时，，，此时成立．
因此只有时成立．
故选：．
27．（2016秋•宁波期末）已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
则在上为增函数，且（1），
若当时，则满足当时，，
当时，，
即必需过点点，
则（1），即，
此时函数与满足如图所示：
此时，
则满足函数的另外一个零点，
即，
故选：．

28．（2021春•杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：不等式对任意实数恒成立，
由于的解集为，，可得在，恒成立，
可得，且，
即且，
解得，
又的解集为，，，可得在，，恒成立，
可得，或，
即或，
解得，
综上可得，
故选：．

二．填空题（共16小题）
29．（2021春•沈阳期中）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，，
当时，．
所以，函数的最小值为．
又，（1），
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得．
故答案为：，．

30．（2021春•南岗区校级期末）已知函数为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是 　5　（参考数据：，，
【解答】解：函数为大于1的整数），
那么，
令，可得，
当，，
当，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为（a），
即的值域为，
的值域为，
，，
设（a），（a），
当时，（a），函数（a）单调递减，
当时，（a），函数（a）单调递增，
（2），
（3），
（4），
（5），
的最小值为5，
故答案为：5．
31．（2021春•和平区校级期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围 　，　．
【解答】解：由，可得，即为，
设，
当时，，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；
当时，由于，所以，
，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，
所以作出函数和的大致图象，如图，
过点的直线介于，之间时满足条件，
直线过点时，的值为2，直线过点时，的值为，
由图可知，的取值范围是，．
故答案为：，．

32．（2021春•顺德区期末）已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为 　　；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 　　．
【解答】解：由题意，，设，
因为函数的图像经过点，
则，即，
故；
对任意一个负数，不等式恒成立，
即对恒成立，
令，则，
，
令，解得，
当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
又，，
故存在，使得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为中，，，
故，
所以的最大值，
当时，，
又整数，
所以的最小值为2．
故答案为：；2．
33．（2021春•长沙期末）设，若时，均有，则　　．
【解答】解：当时，均有，
（1）时，代入题中不等式，明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数：令，得，，．
考查函数，时均有，
故的图象经过，
代入得，，
解之得：，或（舍去）．
故答案为：．

34．设，若时均有，则　　．
【解答】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数，令，得，，因为，不等式成立；
；
考查函数，因为时均有，显然此函数过点，，代入得：，
解之得：，或（舍去）．
故答案为：．
35．（2021•义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为　0　．
【解答】解：令，解得或，
依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．
即，解得．
经检验，符合题意．
故答案为：0．
36．（2021•天河区校级模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为　　．
【解答】解：当时，不等式，不恒成立，不符合题意；
当时，，令，则，
由，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有最大值，
要使命题成立，则，解得；
当时，函数是增函数，存在唯一的零点，
，，即为增函数，
又，但当时，，
所以有唯一的，要使不等式恒成立，
只有，，解得；
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
37．（2021•德阳模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为　　．
【解答】解：（1）根据题意，恒成立，
恒成立，，
由得，恒成立，设，则，
时，；时，，
时，取最小值，
，
实数的取值范围为；
（2）令，得是函数和的零点，并得出，
时，，，满足，同理时，也满足题意，
的取值范围为．
故答案为：．
38．（2015秋•泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为　　．
【解答】解：当时，时，
有，
，
，
欲使，恒成立，则，
；
当时，时，
有，
，
，
欲使，恒成立，则，
；
故．
故答案为：．
39．（2021•河南模拟）已知函数，若恒成立，则的值为　0　．
【解答】解：令，解得或，
依题意，函数的零点也为或，
（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．
即，解得．
经检验，符合题意．
故答案为：0．
40．（2021春•迎泽区校级月考）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
【解答】解：不等式在上恒成立，等价于或在上恒成立，
令，，
（1）当时，，而在上不恒成立，故，
（2）当时，为增函数，且经过点，令可得，
，故在上单调递增，
令，解得．
（3）当时，为减函数，故在恒成立，
故只需在上恒成立即可．
令可得，当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
故在处取得最大值，
令，解得．
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
41．（2015•厦门一模）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　或　．
【解答】解：，则，令，则，
时，，时，
时，函数取得最大值，
，
，；
时，则，在上不恒成立，不合题意；
时，或，，
综上，或．
42．（2021春•丽水期末）设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为　　．
【解答】解：对任意的恒成立，
，或，，
①若在上恒成立，则，即，
当时，不成立，
②若在上恒成立，则，即，
若在上恒成立，则，即，
的最大值为．
故答案为：．
43．（2021•鄞州区校级期中）不等式对任意恒成立，则　1　．
【解答】解：由题意不等式，等价于
①或②
解①，，即，由绝对值的几何意义可知，
，对任意恒成立，由二次函数图象可知，，故只能取1，
解②，由①知无解，
故答案为：1．
44．（2017秋•石家庄期末）【示范高中】设，，若对任意，都有，则　　．
【解答】解：根据题意，设，，
当时，，而不可能在，上恒成立，
必有，
对于，，
在，，在，，；
若，
则对于，在，，在，，；
而为一次函数，则必有，且，
变形可得：，
又由，，则，；
故；
故答案为：