第15讲 max函数与min函数问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第15讲 max函数与min函数问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共24小题）
1．（2021春•东莞市期末）已知函数，．
（1）证明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：由题得的定义域为，
则在上恒成立等价于在上恒成立，．（1分）
记，则，．（2分）
当时，；时，，
故在上单调递减，上单调递增，．（3分）
所以（1），即恒成立．（4分）
（2）解：由题得，
①当时，，此时无零点．（5分）
②当时，（e），（e）
．当（e），即时，是的一个零点；
．当（e），即时，不是的一个零点；．（6分）
③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况．
由
．当时，，在上单调递增，且（e），
当时，（e），则在上无零点，故在上无零点；
当时，（e），则在上无零点，故在上有1个零点；
当时，由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（9分）
．当时，由得，
由时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（11分）
综上所述，时，在上恰有两个零点．（12分）
2．（2021•南平模拟）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用，表示，中的最大值，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），（1分）
当时，，，，
当时，，，，
当时，，（2分）
所以当时，，即在上是增函数；（3分）
又（3），所以的解集为．（4分）
（2）．（5分）
由，得，，，（6分）
则，即在上为增函数．（7分）
故，即．（8分）
（3）由（1）知，
当时，恒成立，故恒成立；
当时，，因为，，要使得恒成立，
只要在上恒成立即可．（9分）
由，得．
设函数，，，
则．（10分）
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：






0


单调递增
极大值
单调递减
所以在上单调递增，在，上单调递减．（11分）
在上唯一的一个极大值，即极大值，故．

综上所述，所求实数的取值范围为，．（12分）
3．（2021•衡水模拟）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1），
当时，，，则，
当时，，，则，
当时，（1），
所以当时，，在上是增函数，
又（1），所以的解集为．
（2）函数的定义域为，
由（1）得函数在上单调递增，（1），
当时，，又，，
所以当时，恒成立，即时，无零点，
当时，恒成立，
所以的零点即为函数的零点，
下面讨论函数在的零点个数：
，
所以，
①当时，因为，，
又函数在区间单调递减，
所以，
即当时，，，
所以单调递减，由得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
所以，
当时，，
有（1），（1），
当（1）时，函数有1个零点，
当（1）时，函数有2个零点，
当（1）时，函数有3个零点，
②当时，，
由①得当，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，（1），
所以当时，函数有两个零点，
③当时，，
，，即成立，由（1），
所以当时，函数有1个零点，
综上所述：当或时，函数（1）有1个零点，
当或时，函数有2个零点，
当时，函数有3个零点．
4．（2021•临沂一模）已知函数，．
（1）判断的单调性，并求的最值；
（2）用，表示，的最大值，记函数，，讨论的零点个数．
【解答】解：（1），
①当时，，在上是增函数，
②当时，，在上是减函数，
所以最小值为；
（2）函数的定义域为，其中（1），
①当时，（1），则函数，无零点；
②当时，，下面讨论的零点情况，（当时取等号），，
当时，，
此时在，上无零点，因为的零点为，故有一个零点；
当时，，，（1）（1），
所以在，上有一个零点，故有两零点；
当时，，
所以，
因为，所以，所以在，上单调递减，
又，所以在上恒成立，在上恒成立，
所以在取得极大值，此时，
又因为当时，，所以在上有一个零点，又（1），
当（1），即时，在，上有一个零点，故有一个零点；
当（1），即时，在，上有两个零点，故有两个零点；
当（1），即时，在，上有两个零点，故有三个零点；
综上所述，当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点．
5．（2021•信阳模拟）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）用，表示，中的最大值，若函数，只有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，且．
当时，对恒成立，所以在上单调递增．
当时，令，得，
当，时，．当，时，．
所以在，上单调递减，在，上单调递增．
（2）①当时，，
从而，，
所以在上无零点．
②当时，（1），
若，（1）（1），（1）（1），所以是的零点，
若，（1）（1），（1）（1），所以不是的零点，
③当时，，
所以在上零点个数只需要考虑在上的零点个数．
在上的零点个数在上实根的个数在上实根的个数，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，（1），，
当或时，在上无零点，
当或 时，在上有两个零点，
当时，在上有两个零点，
综上可得时，在上有1个零点，
当时，在上有两个零点，
当时，在上有1个零点，
则在上有唯一零点，所以的取值范围为，．
6．（2020秋•新华区校级期中）已知函数．
（1）求证：；
（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．
【解答】证明：（1）：设，定义域为，
则，
当时，；当时，，
故在内是递减函数，在内递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），
所以．
解：（2）函数的定义域为，，
当时，；当时，，
所以在内是递减函数，在内是递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），
若，则，
当时，；当时，；当时，，
所以，于是只有一个零点．
当时，则，
当时，，此时；
当时，，，此时．
所以没有零点．
当时，根据（1）知：，而，所以，
又因为（1），所以在上有一个零点，
从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，
当时，，
所以，从而，
于是有两个零点和1．当时，有两个零点．
综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．
7．（2020•衡阳三模）已知函数，．
（1）当，且时，证明：；
（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．
【解答】（1）证明：当时，，
要证，需证，即，
即证：当时，；当时，．
令，则，
在上单调递增，在上单调递增，
当时，（1），此时；
当时，（1），此时．
故，且时，．
（2）解：当时，，，在上无零点；
当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；
当时，，在上无零点，
在上的零点个数等价于在上的零点个数．
，
①若时，，在上单调递增，（1），此时无零点；
②若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，
，
令（a），则（a），（a）在上单调递增，
（a）（1），即，即，
两边取指数，有，即，
，
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，且．
综上所述：
当时，仅有一个零点；
当时，有两个零点．
8．（2020春•广陵区校级期中）已知函数，，其中．
（1）若，证明：；
（2）用，表示和中的较大值，设函数，，讨论函数在上的零点的个数．
【解答】解：（1），
令，则或（舍，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
（1）．
（2）在区间上，，，，
在区间上不可能有零点．
下面只考虑区间上和处的情况．
由题意的定义域为，．
令可得（负值舍去）．
在上为增函数，在，上，为减函数，
．
①当时，，（1）．
在区间上，，且（1），
此时存在唯一的零点．
②当时，．
，．
，
于是恒成立，结合函数的性质，
可知此时存在唯一的零点．
③当时，，在上递增．
又（1），，
在区间上存在唯一的零点．
结合函数的性质，可知是唯一的零点．
综上，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上也有1个零点．
9．（2020•白云区模拟）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）当存在两个正极值点，时，符号，分别表示，中较大的，令，，求证：，且．
【解答】解：，．
当时，．
解得，或2．
的极值点为，或2．
证明：当存在两个正极值点，时，．
△，，，
解得．
不妨设，
，，．
．
．
令，
，
函数在上单调递减．
（1）．
．
10．（2019秋•辽阳期末）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）用，表示，中的最大值，已知，求函数，的零点的个数．
【解答】解：（1）定义域为，因为，当时，恒成立，所以单调递增，
当，令，即，解得，，，单调递增；，，单调递减；
综上所述：，函数在上单调递增；
，函数在单调递减，在单调递增；
（2）时，，
当，，从而函数，，
所以函数无零点，
时，（1），（1），所以是函数的一个零点；
，，所以函数的零点个数就考虑的零点个数，
由（1）得：在上单调递减，
所以，从而函数在无零点，
综上所述函数的零点只有一个．
11．（2020秋•历下区校级期中）已知函数，，其中．
（1）求函数在的值域；
（2）用，表示实数，的最大值，记函数，，讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1），
，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递增，
即在上单调递增，
，（2）
故函数在上的值域为，．
（2）的定义域，
由（1）可知，在上单调递增，且（1），
故当时，，当时，，
，，
故当时，恒成立，没有零点，
当时，恒成立，没有零点，因此的零点即为的零点，
下面讨论时，的零点个数，
，
，，，
①当时，因为，，
又在单调递减，故，
故当时，，，单调递减，且由可得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又时，，，
当时，，
又（1），（1），
当（1）即时，有1个零点，
当（1）即时，有2个零点，
当（1）即时，有3个零点，
②当时，由可得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最大值，（1），
此时函数有2个零点，
③当时，，
，，即，
又（1），
故有1个零点，
综上，或时，有1个零点，或时，有2个零点，时，有3个零点，
12．（2020•兴庆区校级二模）已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，在上单调递增，
当时，，
当，，，，单调递增，
当，，单调递减；
（2）当时，，，在无零点，
当时，（e），（e），
若（e），即，则是的一个零点，
若（e），即，则不是的零点，
当时，，所以此时只需考虑函数的零点的情况．因为，
①当时，，在上单调递增．
所以：（ⅰ）当时，（e），在上无零点；
（ⅱ）当时，（e），又，所以此时在上恰有一个零点；
②当时，由（1）知，在递减，，递增，
又因为（e），，所以此时恰有一个零点．
综上，．
13．（2021•肥城市模拟）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，，用，表示，的最小值，记函数，，，，讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1）由已知可得函数的定义域为，，
当时，，故，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增；
综上所述，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
（2）由（1）可知当时，，
所以，所以，
所以，时，函数的零点个数即为函数在区间，内的零点个数，
，
任取，，因，
所以是偶函数．，
因为，
当时，在，上恒成立，所以，时，，
所以在，上单调递增，
又因为，所以在，上有0个零点，
又因为是偶函数，所以在，上有0个零点，
当时，令，得，
由可知存在唯一使得，
所以当，时，，单调递增；
当，时，，单调递减，
因为，，
所以当，即时，在，上有0个零点，
由是偶函数，知在，上有0个零点，
所以当，即时，在，上有1个零点，
由是偶函数，知在，上有2个零点，
综上，当时，有2个零点，当时，有0个零点；
即当时，有2个零点，当时，有0个零点．
14．（2021•日照二模）已知，其中且．
（1）若，，曲线在点，处的切线为，求直线斜率的取值范围：
（2）若在区间有唯一极值点，
①求的取值范围；
②用，，表示，，的最小值．证明：，．
【解答】解：（1）当时，，
，令，，，，
当时，，当时，，
直线斜率的取值范围为；
（2）①设，则，
若，令，则在区间内，且使，
在内至少有两个变号零点，
在区间内至少有两个极值点，不符合题意；
若，令，得，
令，解得，故只能取1；
令，解得，此时无解；
故仅当时，，
，，
当时，，当，时，，
在有唯一极大值点；
综上，实数的取值范围为；
②证明：由①知，，
此时，
当，即，由不等式时，知，，故；
当，即时，；
综上，，，即得证．
15．（2021•成都模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数为自然对数的底数）在区间内的零点为，记，（其中，表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
当时，恒成立，在递增，
当时，令，解得：，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
综上：当时，在递增，
当时，在单调递增，在，单调递减；
（2）证明：，定义域是，
，而，故，在单调递增，
又（1），（2），且在内的图像连续不断，
故根据零点存在性定理，有在上有且只有1个零点，
故存在，使得，即，
且当时，，
当时，，
故，
当时，，
由得单调递增，
当时，，由得单调递减，
若在区间内有2个不相等的实数根，，
要证，即证，
又，而在区间，内单调递减，
故可证，又由，
即证，即，
记，，其中，
记，则，
当时，，当时，，
故的最大值是，而，故，
而，故，
故，
即单调递增，故当时，，
即，故．
16．（2021•湖北模拟）已知函数在时取到极大值．
（1）求实数、的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，若函数为增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
在时取得极大值，
，
解得，．
（2）设，
当时，恒成立．
，
在上恒成立，
故在上单调递减．
不间断，
故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的，使得，
当时，，当，时，．
，
，
故；
由于函数为增函数，且曲线在上连续不间断，
在和，上恒成立．
①时，在，上恒成立，即在，上恒成立，
令，，，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以（3），
故，
即，
②当．
综合①、②知，的范围，．
17．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知函数．为自然对数的底数）
（1）当时，设，求函数在上的最值；
（2）当时，证明：，其中，，表示，中较小的数．
【解答】解：（1）当时，，，所以，
令，得，
当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在上的最小值为（1）．
因为，，
所以，
所以，
故在上的最大值为．
综上，函数在上的最小值为0，最大值为．
（2）①当，即时，，
因为，所以，
设，则．
令，则，
因为，所以，
因为，所以，当且仅当且时，等号成立，
所以在，上单调递增．
由于（1），所以，即在，上单调递增，
又因为（1），所以，即原不等式成立．
②当，即时，．
因为，所以，
由（1）知，，
因为，，所以．
设，，则，
所以在，上单调递增，
因为（1），所以，即原不等式成立．
综上所述，当时，，，．
18．（2020•厦门一模）已知函数，．
（1）若直线与曲线相切，求实数的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，
又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：
①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；
（2）①当时，，所以，无零点；
②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；
③当时，，则的零点即为的零点．
又，
所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；
②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），
在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，
即对恒成立，则，
所以，故存在，
进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；
综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．
19．（2020•南充模拟）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求证：方程在内存在唯一的实根；
（2）设函数，，表示，中的较小者），求的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，曲线在点，（1）处的切线斜率为2，
所以（1），又，所以．
设，
当，时，，又（2），
所以存在，使．
因为，
当时，，
，所以，所以，
所以，
所以当时，单调递增，
所以方程在内存在唯一的实根．
（2）由（1）知，方程在内存在唯一的实根，且时，，
又当，时，，当时，，
所以当，时，，
所以当，时，，
所以，
当时，若，，则；
若，，由，可知，
故当，时，．
当，时，由，
可得当，时，，单调递增；
时，，单调递减．
可知（2），且（2）．
综上可得，函数的最大值为．
20．（2019秋•信阳期末）已知函数，函数．
（Ⅰ）讨论函数的极值；
（Ⅱ）已知函数，，若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，，
当时，在恒成立，在单调递减，故无极值，
当时，由得．
当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，
在处取得极小值，无极大值．
综上，当时，无极值，
当时，有极小值，，无极大值．
（Ⅱ）若是的零点，则必有或，
的零点必为或的零点，
而有且仅有一个零点，且，时．
①当时，由（Ⅰ）知在单调递减，至多只有一个零点，此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；
②当时，由（Ⅰ）知在单调递减，在单调递增，则．
当即时，至多只有一个零点，此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；
当即时，，（1），
由零点存在性定理知使得，
令，，则在单调递增，在单调递减，
（1），，，
当时，，
，又，
由零点存在性定理知使得，
（1），（1）；，；，，
当时，有三个零点，满足题意，
综上，实数的取值范围为．
21．（2019•沙坪坝区校级模拟）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
令，得．
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，，
综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；
当时，的单减区间为，无增区间；
当时，的单减区间为和，单增区间为．
（2）的唯一一个零点是，
，，
由（1）可得：
当时，，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅲ）当时，
若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；
若（2），即，此时，
即，
此时恰好有三个零点，符合题意；
若（2），即，此时，，
记，
所以，
所以（a）在上单调递增，所以，
此时恰好有四个零点，符合题意，
综上，．
22．（2019•南通模拟）已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若函数存在极值点，且，其中，求证：；
（3）用，表示，中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，，
，
令得，，
函数的单调递减区间为；
（2），，
函数存在极值点，，
令得，，
不妨设，，
，其中，
，即，又，
，即，
分解因式得：，又，
；
（3）①当时，，
，，
故函数在时无零点，
②当时，（1），（1），
若，则（1），（1），故是函数的一个零点，
若，则（1），，故不是函数的一个零点，
③当时，，因此只需考虑在内的零点个数即可，
，令得，
当时，，在上单调递增，而，
在上恒成立，
函数在内无零点，
当时，，在上单调递减，而，（1），
函数在上有1个零点，
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
，
若，即时，在内无零点，
若，即时，在内有唯一零点，
若，即时，由，（1），
当时，在内有2个零点，
当时，在内有1个零点，
综上所述，当时，函数有3个零点．
23．（2019秋•南京期中）已知函数在处的切线方程为，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设，，表示，中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
因为在处的切线方程为，
所以，
解得，
所以．
（2）的定义域为，，
①若时，则在上恒成立，
所以在上单调递增，无极值．
②若时，则当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，有极小值，无极大值．
（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，所以在上有仅两个不等于1的零点．
①当时，由（2）知，在上单调递增，在上至多一个零点，不合题意，舍去，
②当时，，在无零点，
③当时，，当且仅当等号成立，在仅一个零点，
④当时，，（e），所以（e），
又图象不间断，在上单调递减，
故存在，使，
又，
下面证明，当时，，在，上单调递增，
所以，，
又图象在上不间断，在上单调递增，
故存在，使，
综上可知，满足题意的的范围是，．
24．（2019•延吉市校级开学）已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是．
（1）求函数在点，（1）处的切线方程；
（2）判断函数零点个数
（3）用，表示，的最小值，设，，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
切线的斜率，．
函数在点处的切线方程为；
（2），，
，，（1）（2），
存在零点，且．
，当时，；
当时，由，
得，
在上是减函数．
若，，，则，
函数只有一个零点，且；
（3），故，
函数只有一个零点，，
，，
在为增函数在，，恒成立．
当时，在区间，上恒成立．
设，则只需，
，在，单调减，在单调增，
，．
当时，，
由上述得，则在恒成立．
综上，实数的取值范围是