2020-2021学年贵州省某校高一（上）第一次月考数学试卷

展开

这是一份2020-2021学年贵州省某校高一（上）第一次月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集U={0, 1, 2, 3}，且∁UA={0, 2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个

2. 若A={x|0A.{x|x≤0}B.{x|x≥2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0
3. 使根式x−1x−2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x−1+x−2有意义的x的允许值集合可表示为（）
A.M∪FB.M∩FC.∁MFD.∁FM

4. 下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是( )
A.f(x)=x,g(x)=(x)2
B.f(x)=x2，g(x)=(x+1)2
C.f(x)=1，g(x)=x0
D.f(x)=|x|,g(x)=x,−x,(x≥0),(x<0)

5. 函数f(x)=12−x+x+1的定义域为（）
A.[−1, 2]B.[−1, 2)∪(2, +∞)
C.[−1, +∞)D.(−∞, 2)∪(2, +∞)

6. f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，则不等式f(x)>f[8(x−2)]的解集是（）
A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(2, +∞)D.(2, 167)

7. 设函数f(x)定义在整数集上，且f(x)=x−3x≥1000f(f(x+5)),x<1000，则f(999)=( )
A.996B.997C.998D.999

8. 当−1≤x≤1时，函数y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是（）
A.a≥−13B.a≤−1C.−1
9. 设集合A={2, 3, a2−3a, a+2a+7}，B={|a−2|, 0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为（）
A.{−1, −2}B.{−1, 2}C.{−2, 4}D.{4}

10. 已知函数f(x)的定义域为(−1, 0)，则函数f(2x+1)的定义域为（）
A.(−1, 1)B.(−1,−12)C.(−1, 0)D.(12，1)

11. 函数f(x)=2x−1+x的值域是（）
A.[12, +∞)B.(−∞, 12]C.(0, +∞)D.[1, +∞)

12. 已知b>a，若函数f(x)在定义域内的一个区间[a, b]上函数值的取值范围恰好是[a2, b2]，则称区间[a．b]是函数f(x)的一个减半压缩区间，若函数f(x)=x−2+m存在一个减半压缩区间[a, b]，(b>a≥2)，则实数m的取值范围是（）
A.(0.5, 1)B.(0.5, 1]C.(0, 0.5]D.(0, 0.5)
二、填空题（每小题5分，共20分）

设集合A中有n个元素，定义|A|=n，若集合P={x∈Z|6x−3∈Z}，则|P|=________．

函数f(x)=2x−x2(0≤x≤3)x2+6x(−2≤x≤0)的值域是________．

已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a,x<1−x−2a,x≥1，若f(1−a)=f(1+a)，则a的值为________．
三、解答题（17题10分，18～22题每小题10分，共70分）

设集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；

(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=11+x2
（1）判断函数f(x)在(−∞, 0)上的单调性，并证明你的结论．

（2）求出函数f(x)在[−3, −1]上的最大值与最小值．

已知f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x．
（1）求f(x)的表达式；

（2）若任意x∈[1, +∞)，g(x)=f(x)−a>0恒成立，试求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=−4x2+4ax−4a−a2，求f(x)在区间[0, 1]上的最小值．

f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1成立，当x>0时，f(x)>1．
（1）证明：f(x)在R上是增函数；

（2）若f(4)=5，解不等式f(3m2−m−2)<3

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；

（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价-成本）
参考答案与试题解析
2020-2021学年贵州省某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.
【答案】
A
【考点】
子集与真子集的个数问题
补集及其运算
【解析】
由补集概念求得A，然后直接写出其真子集得答案．
【解答】
解：∵ U={0, 1, 2, 3}，且∁UA={0, 2}，
则集合A={1, 3}．
∴ 集合A的真子集为⌀，{1}，{3}，共3个．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．
【解答】
解：由A={x|0两解集画在数轴上，如图：
所以A∪B={x|0故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
交集及其运算
【解析】
求出使根式x−1x−2分别有意义的x的集合M、F和使根式x−1+x−2有意义的x的集合，得出结论．
【解答】
使x−1有意义，
∴ x−1≥0，
∴ x≥1，
即M＝{x|x≥1}；
使x−2有意义，
∴ x−2≥0，
∴ x≥2，
即F＝{x|x≥2}；
使根式x−1+x−2有意义，
∴ x−1≥0x−2≥0 ，
∴ x≥2，
即M∩F＝{x|x≥2}；
4.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
要使数f(x)与g(x)的图象相同，函数f(x)与g(x)必须是相同的函数，注意分析各个选项中的2个函数
是否为相同的函数．
【解答】
解：f(x)=x与 g(x)=(x)2的定义域不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同；
f(x)=x2与g(x)=(x+1)2的对应关系不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同；
f(x)=1与g(x)=x0的定义域不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同；
f(x)=|x|与g(x)=x,(x≥0)，−x,(x<0)，具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一函数，∴ 图象相同．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据分母不为0 以及二次根式的性质，求出函数的定义域即可．
【解答】
由题意得2−x≠0x+1≥0
解得−1≤x<2或x>2，
故函数的定义域是[−1, 2)∪(2, +∞)，
6.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
把函数单调性的定义和定义域相结合即可．
【解答】
解：由f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数得，x>08(x−2)>0x>8(x−2)⇒2故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，可以先计算f(1004)的值，再计算f(1001)的值，最后将其代入x≥1000的解析式即可
【解答】
解：∵ f(x)=x−3x≥1000f(f(x+5)),x<1000
∴ 当x=999时，f(999)=f（f(1004)）=f(1001)=998
故选C
8.
【答案】
C
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
先判断a≠0，再利用f(−1)⋅f(1)<0，求出a的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，
a≠0；
设y=f(x)=ax+2a+1，
则f(−1)⋅f(1)<0，
即(−a+2a+1)(a+2a+1)<0；
解得−1故选：C．
9.
【答案】
D
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据题意分a2−3a=4且|a−2|≠4，a+2a+7且|a−2|≠4两种情况讨论，求出a的值，并利用集合的互异性进行验证，即可求得符合题意的a的值．
【解答】
由题意可得①当a2−3a=4且|a−2|≠4时，解得a=−1或4，
a=−1时，集合A={2, 3, 4, 4}不满足集合的互异性，故a≠−1，
a=4时，集合A={2, 3, 4, 1112}，集合B={2, 0}，符合题意．
②当a+2a+7且|a−2|≠4，解得a=−1，由①可得不符合题意．
综上，实数a的取值集合为{4}．
10.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】
解：∵ 原函数的定义域为(−1, 0)，
∴ −1<2x+1<0，解得−1∴ 则函数f(2x+1)的定义域为(−1,−12)．
故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
由y=[12, +∞)和y=x在[12, +∞)上均为增函数，可得故f(x)=2x−1+x在[12, +∞)上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域
【解答】
解：函数f(x)=2x−1+x的定义域为[12, +∞)
∵ y=[12, +∞)和y=x在[12, +∞)上均为增函数
故f(x)=2x−1+x在[12, +∞)上为增函数
∴ 当x=12时，函数取最小值12，无最大值，
故函数f(x)=2x−1+x的值域是[12, +∞)
故答案为：[12, +∞)
12.
【答案】
B
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
由题意知函数f(x)=x−2+m在定义域上是增函数，从而化为x−2+m=x2有两个不同的解，从而解得．
【解答】
解：由题意，
函数f(x)=x−2+m在定义域上是增函数，
故由函数f(x)=x−2+m存在一个减半压缩区间[a, b]，(b>a≥2)知，
x−2+m=x2有两个不同的解，
即m=x2−x−2=12(x−2−1)2+12，
则12<12(x−2−1)2+12≤1；
故12故选B．
二、填空题（每小题5分，共20分）
【答案】
8
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
通过对集合中元素构成的特点及元素条件求集合P，即可得到答案．
【解答】
∵ 集合P={x∈Z|6x−3∈Z}，∵ x∈Z，6x−3∈Z，
∴ x−3=±1，±2，±3，±6．解得x=4，2，5，1，0，6，9，−3，
∴ P={−3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9}．|P|=8，
【答案】
[−8, 1]
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
本题考查的知识点是分段函数值域的求法，根据“分段函数分段处理”的原则，我们可以求出分段函数在每一个子范围内的值域，再求出它们的并集，即可得到分段函数的值域．
【解答】
解：∵ 函数y=2x−x2，0≤x≤1的值域B=[−3, 1]
函数y=x2+6x，−2≤x≤0的值域C=[−8, 0]
故函数f(x)=f(x)=2x−x2(0≤x≤3)x2+6x(−2≤x≤0)的值域是B∪C=[−8, 1]
故答案为[−8, 1]．
【答案】
−34
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
对a分类讨论判断出1−a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．
【解答】
解：当a>0时，1−a<1，1+a>1，
∴ 2(1−a)+a=−1−a−2a，解得a=−32，舍去，
当a<0时，1−a>1，1+a<1，
∴ −1+a−2a=2+2a+a，解得a=−34.
故答案为：−34.
三、解答题（17题10分，18～22题每小题10分，共70分）
【答案】
解：(1)因为B⊆A，
当m+1>2m−1，即m<2时，B＝⌀，满足B⊆A；
当m+1≤2m−1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需m+1≥−2，2m−1≤5，可得2≤m≤3.
综上m的范围为m≤3.
(2)A＝{x|−2≤x≤5, x∈Z}＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}，
则A的非空真子集个数为28−1−1=254.
(3)因为x∈R，且A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，
又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
所以A与B交集为空集，
所以①若B＝⌀，即m+1>2m−1，得m<2时满足条件；
②若B≠⌀，则要满足的条件是m+1≤2m−1，m+1>5 或m+1≤2m−1，2m−1<−2，
解得m>4．
综上，有m<2或m>4.
【考点】
集合关系中的参数取值问题
子集与真子集的个数问题
元素与集合关系的判断
【解析】
（1）若B⊆A，即说明B是A的子集，分B＝⌀与B≠⌀讨论，即可求得实数m的取值范围；
（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2n．
（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则说明A与B交集为空集，再分B＝⌀与B≠⌀讨论，即可求得实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)因为B⊆A，
当m+1>2m−1，即m<2时，B＝⌀，满足B⊆A；
当m+1≤2m−1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需m+1≥−2，2m−1≤5，可得2≤m≤3.
综上m的范围为m≤3.
(2)A＝{x|−2≤x≤5, x∈Z}＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}，
则A的非空真子集个数为28−1−1=254.
(3)因为x∈R，且A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，
又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
所以A与B交集为空集，
所以①若B＝⌀，即m+1>2m−1，得m<2时满足条件；
②若B≠⌀，则要满足的条件是m+1≤2m−1，m+1>5 或m+1≤2m−1，2m−1<−2，
解得m>4．
综上，有m<2或m>4.
【答案】
解：（1）函数f(x)=11+x2在(−∞, 0)上单调递增，理由如下：
∵ f′(x)=−2x(1+x2)2，
当x∈(−∞, 0)时，f′(x)>0恒成立，
故函数f(x)=11+x2在(−∞, 0)上单调递增；
（2）由（1）得函数f(x)=11+x2在[−3, −1]上单调递增，
故当x=−3时，函数取最小值110，当x=−1时，函数取最大值12．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）函数f(x)=11+x2在(−∞, 0)上单调递增，利用导数法易证得结论；
（2）由（1）得函数f(x)=11+x2在[−3, −1]上单调递增，分别将x=−3和x=−1代入可得函数的最小值和最大值．
【解答】
解：（1）函数f(x)=11+x2在(−∞, 0)上单调递增，理由如下：
∵ f′(x)=−2x(1+x2)2，
当x∈(−∞, 0)时，f′(x)>0恒成立，
故函数f(x)=11+x2在(−∞, 0)上单调递增；
（2）由（1）得函数f(x)=11+x2在[−3, −1]上单调递增，
故当x=−3时，函数取最小值110，当x=−1时，函数取最大值12．
【答案】
设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，
∵ f(1)=0，∴ c=1，∴ f(x)=ax2+bx+1，
f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b+1，
∴ f(x+1)−f(x)=2ax+a+b，
又f(x+1)−f(x)=2x，
∴ 2a＝2a+b＝0，解得a=1，b=−1，
∴ f(x)=x2−x+1；
由（1）知g(x)=x2−x+1−a，
对任意x∈[1, +∞)，g(x)>0恒成立，
即a∵ y=x2−x+1在x∈[1, +∞)单调递增，
∴ 当x=1时，y的最小值为1，
∴ a∈(−∞, 1)．
【考点】
二次函数的图象
函数恒成立问题
二次函数的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，由已知条件可得a，b，c的方程，解方程可得所求解析式；
（2）由题意可得a【解答】
设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，
∵ f(1)=0，∴ c=1，∴ f(x)=ax2+bx+1，
f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b+1，
∴ f(x+1)−f(x)=2ax+a+b，
又f(x+1)−f(x)=2x，
∴ 2a＝2a+b＝0，解得a=1，b=−1，
∴ f(x)=x2−x+1；
由（1）知g(x)=x2−x+1−a，
对任意x∈[1, +∞)，g(x)>0恒成立，
即a∵ y=x2−x+1在x∈[1, +∞)单调递增，
∴ 当x=1时，y的最小值为1，
∴ a∈(−∞, 1)．
【答案】
由已知函数可得：f(x)＝−4(x−a2)2−4a，其对称轴为x=a2，
当a2≤12，即a≤1时，由二次函数的性质可得其最小值为f(1)=−a2−4，
当a2>12，即a>1时，由二次函数的性质可得其最小值为f(0)=−a2−4a，
综上，当a≤1时，f(x)min＝−a2−4，
当a>1时，f(x)min＝−a2−4a．
【考点】
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
先把函数的解析式化为顶点式，求出函数的对称轴，然后对对称轴和已知区间的中点12的大小分类讨论，进而可以求解．
【解答】
由已知函数可得：f(x)＝−4(x−a2)2−4a，其对称轴为x=a2，
当a2≤12，即a≤1时，由二次函数的性质可得其最小值为f(1)=−a2−4，
当a2>12，即a>1时，由二次函数的性质可得其最小值为f(0)=−a2−4a，
综上，当a≤1时，f(x)min＝−a2−4，
当a>1时，f(x)min＝−a2−4a．
【答案】
证明：设x10
∴ f(x2−x1)>1
∴ f(x2)=f（[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)−1>f(x1)
∴ f(x)在R上是增函数．
令x=y=2时，f(4)=2f(2)−1，
又因为f(4)=5，
所以2f(2)−1=5，解得f(2)=3，
由（1）知f(x)在R上是增函数．
所以3m2−m−2<2，
解得−1【考点】
函数单调性的性质与判断
抽象函数及其应用
【解析】
（1）设x10，根据题意可得f(x2−x1)>1，f(x2)=f(x1)+f(x2−x1)−1>f(x1)进而可得证．
（2）先分析出f(4)=5，进而得f(2)=3，由（1）知f(x)在R上是增函数，可得3m2−m−2<2，解得m的取值范围．
【解答】
证明：设x10
∴ f(x2−x1)>1
∴ f(x2)=f（[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)−1>f(x1)
∴ f(x)在R上是增函数．
令x=y=2时，f(4)=2f(2)−1，
又因为f(4)=5，
所以2f(2)−1=5，解得f(2)=3，
由（1）知f(x)在R上是增函数．
所以3m2−m−2<2，
解得−1【答案】
设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
当0当100当x≥550时，P＝51
所以P=f(x)=600设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L=(P−40)x=20x0当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
分段函数的应用
【解析】
（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；
（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P＝51，则当100（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x＝500，1000即可得到对应的利润．
【解答】
设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
当0当100当x≥550时，P＝51
所以P=f(x)=600设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L=(P−40)x=20x0当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．