2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（上）12月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（上）12月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|x2−x−20；命题q：若a1b，则下列为真命题的是( )
A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q

7. 各项均为正数的等比数列{an}满足a1⋅a5=16 ，a2=2，则公比q=( )
A.4B.52C.2D.12

8. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为( )
A.(−∞,−1]∪(2,+∞)B.[−1,2）
C.−∞,−1∪2,+∞D.−1,2

9. 等比数列an中，a2=9，a5=243，则an的前4项和为( )
A.192B.168C.120D.81

10. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角是( )

A.90∘B.30∘C.45∘D.60∘

11. 已知a>0，那么a−2+4a的最小值是( )
A.1B.2C.3D.4

12. 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=n+12n，则a5b5=( )
A.23B.35C.59D.2
二、填空题

若x，y满足约束条件 y−x≤1,x+y≤3,y≥1, 则z=x+3y的最大值为________.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9=4，S11=________.

在△ABC中，若A=30∘，AB=23，AC=2，则△ABC的面积S是________.

若命题“∃x∈R，使x2+ax+12”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
【解答】
解：当x>2时，x2>4成立，
故“x>2”是“x2>4”的充分条件；
当x2>4时，x2，即x>2不成立，
故“x>2”是“x2>4”的不必要条件；
综上“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知及正弦定理可得csB=sinB，即有tanB=1，根据00（或2.
所以原不等式的解集为：
(−∞,−1]∪2,+∞.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：q3=a5a2=27，
∴ q=3，
∴ a1=a2q=3，
∴ S4=a1(1−q4)1−q=120.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由A1B // D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C．
【解答】
解：连接D1C，AC，如图，
∵ A1B // D1C，
∴ 异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C.
∵ △AD1C为等边三角形，
∴ ∠AD1C=60∘．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
根据题意，将a−2+4a变形为a+4a−2，由基本不等式的性质分析即可得答案．
【解答】
解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，
又a>0，
则a−2+4a=a+4a−2≥2a×4a−2=2，
当且仅当a=2时等号成立，
即a−2+4a的最小值是2.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为SnTn=na1+an2nb1+bn2=a1+anb1+bn=n+12n，
所以a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=9+12×9=59．
故选C．
二、填空题
【答案】
7
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】

【解答】
解：根据约束条件画出可行域如图所示，
平移直线y=−13x，当直线y=−13x+z3过点A时，
目标函数取得最大值．由y−x=1，x+y=3， 可得A1,2，
代入可得z=1+3×2=7．
故答案为：7．
【答案】
22
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．
【解答】
解：在等差数列{an}中，
由a3+a9=4，
得2a6=4，
∴ a6=2，
∴ S11=11a6=11×2=22．
故答案为：22.
【答案】
3
【考点】
正弦定理
【解析】
利用公式s=12bcsinA即可．
【解答】
解：∵ S=12bcsinA，
∴ S=12×2×23×sin30∘=3．
故答案为：3 .
【答案】
−2,2
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
由题意可得命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”真命题，Δ=a2−4≤0，求解即可得到答案.
【解答】
解：若命题“∃x∈R，使x2+ax+10，
即b2+c2−a2>0，
∴ c2>20，
∴ c=4（舍去），即c=5．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)∵ a=2bsinA，
∴ sinA=2sinBsinA，
∴ sinB=12 ．
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ B=π6．
(2)根据余弦定理，b2=a2+c2−2accsB，
解得c=5或c=4.
又∵ △ABC为锐角三角形，
∴ csA>0，
即b2+c2−a2>0，
∴ c2>20，
∴ c=4（舍去），即c=5．
【答案】
解：(1)设数列an的公差为d．
由a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得2a1+d=0,3a1+12d=21,解得a1=−1,d=2,
故an=a1+n−1d=−1+n−1×2=2n−3.
(2)bn=1an+1an−2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1
所以Tn=121−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设数列an的公差为d．
由a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得2a1+d=0,3a1+12d=21,解得a1=−1,d=2,
故an=a1+n−1d=−1+n−1×2=2n−3.
(2)bn=1an+1an−2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1
所以Tn=121−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
【答案】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【答案】
(1)证明：∵ AD=2，CD=1，AC=3，
∴ AD2+CD2=AC2，
∴ CD⊥AD．
∵ BD=CD=1，BC=2，
∴ BD2+CD2=BC2，
∴ CD⊥BD.
又∵ AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD=D，
∴ CD⊥平面ABD．
(2)解：∵ M是AD中点，S△ABM=12S△ABD=12×12×AB×BD=14，
∴ 三棱锥A−MBC的体积V=13S△ABM⋅CD=13×14×1=112．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）根据勾股定理的逆定理可证明CD⊥BD，CD⊥AD，故CD⊥平面ABD；
（2）把△ABM看做棱锥的底面，则CD为棱锥的高．
【解答】
(1)证明：∵ AD=2，CD=1，AC=3，
∴ AD2+CD2=AC2，
∴ CD⊥AD．
∵ BD=CD=1，BC=2，
∴ BD2+CD2=BC2，
∴ CD⊥BD.
又∵ AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD=D，
∴ CD⊥平面ABD．
(2)解：∵ M是AD中点，S△ABM=12S△ABD=12×12×AB×BD=14，
∴ 三棱锥A−MBC的体积V=13S△ABM⋅CD=13×14×1=112．
【答案】
解：(1)∵ m→=(1, sinA)，
n→=(2, sinB)，m→ // n→，
∴ sinB−2sinA=0，
由正弦定理可知b=2a=23.
又∵ c2=a2+b2−2abcsC，
C=π3，a=3，
∴c2=(3)2+(23)2−2⋅3⋅23csπ3=9，
∴ c=3.
(2)由asinA=csinC，得3sinA=3sinπ3，
∴ sinA=12，A=π6或5π6.
又C=π3，
∴ A=π6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA
=12×23×3×sinπ6=332．
【考点】
正弦定理
余弦定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；
（2）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．
【解答】
解：(1)∵ m→=(1, sinA)，
n→=(2, sinB)，m→ // n→，
∴ sinB−2sinA=0，
由正弦定理可知b=2a=23.
又∵ c2=a2+b2−2abcsC，
C=π3，a=3，
∴c2=(3)2+(23)2−2⋅3⋅23csπ3=9，
∴ c=3.
(2)由asinA=csinC，得3sinA=3sinπ3，
∴ sinA=12，A=π6或5π6.
又C=π3，
∴ A=π6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA
=12×23×3×sinπ6=332．
【答案】
(1)证明：取AP的中点E，连接BE，EM，
∵ E，M分别为PA，PD的中点，
∴ EM // AD，AD=2EM.
又∵ BC // AD，且AD=2BC，
∴ EM // BC，EM=BC，
∴ 四边形BCME为平行四边形，
∴ BE // CM.
又CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，
∴ CM // 平面PAB．
(2)解：由题意知，PA，AB，AD两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为
x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，D(0, 2, 0)，C(2,1,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,22)，
∴ AC→=(2,1,0)，AM→=(0,1,22)，AP→=(0,0,2).
设平面MAC的法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅AC→=2x+y=0,n→⋅AM→=y+22z=0,
令y=2，则x=−1，z=−2，
∴ n→=(−1,2,−2)．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ AP→为平面ACD的一个法向量，
∴ cs=AP→⋅n→|AP→|⋅|n→|
=−222×7=−277.
由图可知，二面角M−AC−D为锐二面角，
∴ 二面角M−AC−D的余弦值为277．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）取AP的中点E，连接BE，EM，由中位线的性质和平行四边形的性质可推出BE // CM，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次写出A、D、C、P、M的坐标；根据法向量的性质求出平面MAC的法向量n→，而AP→为平面ACD的一个法向量；再由空间向量数量积的坐标运算求出cs即可得解．
【解答】
(1)证明：取AP的中点E，连接BE，EM，
∵ E，M分别为PA，PD的中点，
∴ EM // AD，AD=2EM.
又∵ BC // AD，且AD=2BC，
∴ EM // BC，EM=BC，
∴ 四边形BCME为平行四边形，
∴ BE // CM.
又CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，
∴ CM // 平面PAB．
(2)解：由题意知，PA，AB，AD两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为
x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，D(0, 2, 0)，C(2,1,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,22)，
∴ AC→=(2,1,0)，AM→=(0,1,22)，AP→=(0,0,2).
设平面MAC的法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅AC→=2x+y=0,n→⋅AM→=y+22z=0,
令y=2，则x=−1，z=−2，
∴ n→=(−1,2,−2)．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ AP→为平面ACD的一个法向量，
∴ cs=AP→⋅n→|AP→|⋅|n→|
=−222×7=−277.
由图可知，二面角M−AC−D为锐二面角，
∴ 二面角M−AC−D的余弦值为277．第x天
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新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）
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