2020-2021学年河北省衡水市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
B.若两直线关于x轴对称，则此二直线斜率互为倒数
C.若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称，则此二直线斜率互为相反数
D.若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数

2. 直线ax+2y−1=0与x+(a−1)y+2=0平行，则a等于( )
A.32B.2C.−1D.2或−1

3. 已知P(3,m)在过M(2,−1)和N−3,4的直线上，则m的值是( )
A.5B.2C.−2D.−6

4. 设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P2,−1，则|AB|等于( )
A.5B.42C.25D.210

5. 原点到直线x+2y−5=0的距离为( )
A.1B.3C.2D.5

6. 直线x+2ay−1=0与(a−1)x−ay+1=0平行，则a的值为( )
A.12B.12或0C.0D.−2或0

7. 下列各选项中，三点共线的是( )
A.P−2,3，Q3,−2，R12,12B.P−2,3，Q3,−3，R12,−12
C.P0,0，Q1,1，R1,−1D.P1,1，Q2,−1，R3,2

8. 若k∈R，直线y+1=k(x−2)恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )
A.(1, −2)B.(−1, 2)C.(−2, 1)D.(2, −1)

9. 两直线l1:mx−y+n=0和l2：nx−y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
A.B.
C.D.

10. 已知A−4,2，B6,−4，C12,6，D2,12，则下面四个结论：①AB//CD；②AB⊥AD；③AC//BD；④AC⊥BD，其中正确的个数是( )
A.1B.2C. 3D. 4

11. 已知点M0,−1，点N在直线x−y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y−3=0，则N点的坐标是( )
A.−2,−3 B.2,1 C.2,3 D.−2,−1

12. 直线l1，l2分别过点P(−1, 3)，Q(2, −1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离d的取值范围为( )
A.(0, +∞)B.(0, 5]C.(0, 5)D.(0, 17)
二、填空题

已知直线l1的倾斜角是α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________.

直线l经过点(−2, 2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为________．

若三条直线2x−y+4=0，x−y+5=0和2mx−3y+12=0，围成直角三角形，则m=________．

已知平面上一点M(5, 0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是________（填上所有正确答案的序号）．
①y=x+1；②y=2；③y=43x．
三、解答题

已知直线l经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−2y−1=0．求：
(1)直线l的方程；

(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

已知两直线l1：ax−by+4=0，l2：(a−1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的a，b的值.
(1)直线l1过点(−3, −1)，并且直线l1与l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.

已知坐标平面内三点A−1,1，B1,1，C2,3+1.
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．

设直线l的方程为(m2−2m−3)x+(2m2+m−1)y=2m−6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴的截距是−3；

(2)l的斜率是−1.

已知点A(1, −1)，点B(3, 5)，点P是直线y=x上的动点，当|PA|+|PB|的值最小时，求点P的坐标.

已知直线l经过点A(2, 4)，且被平行直线x−y+1=0与x−y−1=0所截得的线段的中点在直线x+y−3=0上．求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
直线的斜率
【解析】
无
【解答】
解：A，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，
倾斜角为锐角时，斜率大于0，故此选项错误；
B，两直线关于x轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数，故此选项错误；
C，若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称，其倾斜角互补，
则此二直线斜率互为相反数，故此选项正确；
D，分别平行于x，y轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在，故此选项错误.
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
两条直线平行倾斜角相等，即可求a的值．
【解答】
解：根据题意可得，a(a−1)−2×1=0，
解得：a=2或a=−1，经检验均符合题意.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
待定系数法求直线方程
【解析】
无
【解答】
解：已知M(2,−1)和N−3,4在同一直线上，
设直线MN的方程为y=kx+b，
由两点式求得直线MN的方程为x+y−1=0，
将点P(3,m)代人x+y−1=0，
得m=−2．
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
两点间的距离公式
中点坐标公式
【解析】
利用中点坐标公式解得A4,0,B0,2，再利用两点之间的距离公式得解.
【解答】
解：由题设Am,0，B0,n，
由AB的中点P(2,−1)得2=m2，−1=n2，⇒m=4,n=−2,
∴ A4,0，B0,−2，
则AB=42+−22=25.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
用点到直线的距离公式直接求解．
【解答】
解：由点到直线的距离公式，得
d=|−5|1+22=5．
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
两条直线平行的判定
【解析】
当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值．
【解答】
解：当a=0时，两直线重合；
当a≠0时，由a−11=−a2a≠1−1，
得a=12，
所以a=12.
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
三点共线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，kPQ=−2−33−−2=−1，
kQR=12−−212−3=−1 ，三点共线，符合题意；
B，kPQ=−3−33−−2=−65，
kQR=−12−−312−3=−1 ，三点不共线，不符合题意；
C，kPQ=1，直线QR的斜率不存在，三点不共线，不符合题意；
D，kPQ=−1−12−1=−2，
kQR=2−−13−2=3，三点不共线，不符合题意.
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
直线恒过定点
直线的点斜式方程
【解析】
令y+1=0，并且x−2=0时，此方程与m无关，进而求出定点的坐标．
【解答】
解：由直线的点斜式方程特征可知，
该直线恒过定点(2, −1)．
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
无
【解答】
解：若l1//x轴，则m=0，l2必过原点，故C错误；
若l2//x轴，n=0，l1过原点，故m，n均不为0，
∴ l1：y=mx+n，l2：y=nx+m．
A，由图形得，两直线在y轴上的截距均为正，即m>0且n>0，
此时两直线斜率应为正，但有一直线斜率为负，故A错误；
B，由图形得，两直线在y轴上的截距为一正一负，即m>0且n<0，
此时两直线交x轴的值为正值，符合，故B正确；
D，由图形得，两直线斜率均为负，即m<0且n<0，
但有一直线在y轴上的截距为正，故D错误．
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
无
【解答】
解：∵ kAB=−4−26+4=−35，kCD=12−62−12=−35，
∴ AB方程为y−2=−35x+4，
即3x+5y+2=0．
∵ 3×12+5×6+2≠0，
∴ C12,6不在直线AB上，
∴ AB//CD，故①正确；
又∵ kAD=12−22+4=53，
∴ kAB⋅kAD=−1，
∴ AB⊥AD，故②正确；
∵ kAC=6−212+4=14，kBD=12+42−6=−4，
∴ kAC⋅kBD=−1，
∴ AC⊥BD，故③错误，④正确.
综上所述，四个结论中正确的是①②④．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
待定系数法求直线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 直线MN垂直于直线x+2y−3=0，
∴ 直线MN的斜率为2.
∵ 直线MN过点M0,−1，
∴ 直线MN的方程为y=2x−1.
联立y=2x−1，x−y+1=0，
得x=2,y=3,
∴ N点的坐标为(2,3).
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
由题意可知，当直线L1，L2均和PQ垂直时，二者的距离最大，求出两点的距离；已知平行就是不能重合，所以最小值大于0，可得结果．
【解答】
解：当直线l1，l2均和PQ垂直时，二者的距离最大，
最大为：|PQ|=(2+1)2+(−1−3)2=5.
又l1，l2保持平行，即不能重合，
∴ 二者距离又始终大于零．
∴ d的取值范围为：0故选B.
二、填空题
【答案】
0∘或180∘−α1
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解：当α1=0∘时，α2=0∘；
当0∘<α1<180∘时，α2=180∘−α1．
故答案为：0∘或180∘−α1．
【答案】
2x−y+6=0
【考点】
待定系数法求直线方程
直线的截距式方程
【解析】
求出直线的截距，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程．
【解答】
解：因为直线y=x+6在y轴上的截距为6，
所以直线l在y轴上的截距也为6，即过点(0,6)，
所以直线l的斜率为6−20+2=2，
所以直线l的方程为y−6=2(x−0)，
即2x−y+6=0．
故答案为：2x−y+6=0．
【答案】
−34或−32
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
直线2mx−3y+12=0过定点A(0, 4)，若三条直线能围成直角三角形，则根据直线垂直与斜率之间的关系即可得到结论．
【解答】
解：设a：2x−y+4=0，b：x−y+5=0，
c：2mx−3y+12=0，
所以a：2x−y+4=0的斜率k1=2，
b：x−y+5=0的斜率k2=1，
c：2mx−3y+12=0的斜率k3=2m3.
因为三条直线围成直角三角形，
且由斜率可得，a与b不垂直，
所以a⊥c，或b⊥c，
即k1k3=2×2m3=−1或k2k3=2m3=−1，
解得m=−34或m=−32．
故答案为：−34或−32.
【答案】
②③
【考点】
函数新定义问题
点到直线的距离公式
【解析】
根据题意，看所给直线上的点到定点M距离能否取4．可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．
【解答】
解：设点M到直线的距离为d，
①d=|5+1|12+(−1)2=32>4，
所以直线上不存在点P到点M距离等于4，故不是“切割型直线”；
②d=2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P，
使之到点M距离等于4，故是“切割型直线”；
③d=|4×5−0|(−3)2+42=4，
所以直线上存在一点P，使之到点M距离等于4，故是“切割型直线”．
故答案为：②③．
三、解答题
【答案】
解：(1)由3x+4y−2=0，2x+y+2=0，
解得x=−2，y=2，
∴ 点P的坐标是(−2, 2)．
∵ 所求直线l与x−2y−1=0垂直，
∴ 直线l的斜率为−2.
设直线l的方程为2x+y+m=0，
把点P的坐标代入得2×(−2)+2+m=0，
解得：m=2，
∴ 直线l的方程为2x+y+2=0．
(2)由直线l的方程可知，
直线l在x轴，y轴上的截距分别是−1，−2，
∴ 直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=12×1×2=1．
【考点】
三角形的面积公式
两条直线的交点坐标
待定系数法求直线方程
直线的截距式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x−2y−1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为−1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；
（2）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】
解：(1)由3x+4y−2=0，2x+y+2=0，
解得x=−2，y=2，
∴ 点P的坐标是(−2, 2)．
∵ 所求直线l与x−2y−1=0垂直，
∴ 直线l的斜率为−2.
设直线l的方程为2x+y+m=0，
把点P的坐标代入得2×(−2)+2+m=0，
解得：m=2，
∴ 直线l的方程为2x+y+2=0．
(2)由直线l的方程可知，
直线l在x轴，y轴上的截距分别是−1，−2，
∴ 直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=12×1×2=1．
【答案】
解：(1)∵ l1⊥l2，
∴ a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①
又点(−3, −1)在l1上，
∴ −3a+b+4=0，②
由①②得a=2，b=2.
(2)∵ l1 // l2，∴ ab=1−a，∴ b=a1−a，
故l1和l2的方程可分别表示为：
(a−1)x+y+4(a−1)a=0，(a−1)x+y+a1−a=0.
又原点到l1与l2的距离相等，
∴ 4|a−1a|=|a1−a|，解得a=2或a=23，
∴ a=2，b=−2或a=23，b=2.
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
（1）利用直线l1过点(−3, −1)，直线l1与l2垂直，斜率之积为−1，得到两个关系式，求出a，b的值．
（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．
【解答】
解：(1)∵ l1⊥l2，
∴ a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①
又点(−3, −1)在l1上，
∴ −3a+b+4=0，②
由①②得a=2，b=2.
(2)∵ l1 // l2，∴ ab=1−a，∴ b=a1−a，
故l1和l2的方程可分别表示为：
(a−1)x+y+4(a−1)a=0，(a−1)x+y+a1−a=0.
又原点到l1与l2的距离相等，
∴ 4|a−1a|=|a1−a|，解得a=2或a=23，
∴ a=2，b=−2或a=23，b=2.
【答案】
解：(1)由斜率公式，得kAB=1−11−−1=0，
kBC=3+1−12−1=3，
kAC=3+1−12−−1=33．
∵ tan0∘=0，
∴ 直线AB的倾斜角为0∘．
∵ tan60∘=3，
∴ 直线BC的倾斜角为60∘．
∵ tan30∘=33，
∴ 直线AC的倾斜角为30∘．
(2)如图所示，设直线CD的斜率为k，
当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，
当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，
直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，
此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围为[33,3].
【考点】
直线的斜率
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解：(1)由斜率公式，得kAB=1−11−−1=0，
kBC=3+1−12−1=3，
kAC=3+1−12−−1=33．
∵ tan0∘=0，
∴ 直线AB的倾斜角为0∘．
∵ tan60∘=3，
∴ 直线BC的倾斜角为60∘．
∵ tan30∘=33，
∴ 直线AC的倾斜角为30∘．
(2)如图所示，设直线CD的斜率为k，
当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，
当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，
直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，
此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围为[33,3].
【答案】
解：(1)由题意可得，2m−6m2−2m−3=−3，
解得：m=3或m=−53.
又∵ m2−2m−3≠0 ，
解得：m≠−1且m≠3，
∴ m=−53.
(2)由题意可得，−m2−2m−32m2+m−1=−1，
解得：m=−1或m=−2.
又∵ 2m2+m−1≠0，
解得：m≠−1且m≠12，
∴ m=−2.
【考点】
直线的截距式方程
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得，2m−6m2−2m−3=−3，
解得：m=3或m=−53.
又∵ m2−2m−3≠0 ，
解得：m≠−1且m≠3，
∴ m=−53.
(2)由题意可得，−m2−2m−32m2+m−1=−1，
解得：m=−1或m=−2.
又∵ 2m2+m−1≠0，
解得：m≠−1且m≠12，
∴ m=−2.
【答案】
解：如图，连接AB与直线y=x交于点Q，
则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小．
直线AB的方程为y−5=5−(−1)3−1(x−3)，
即3x−y−4=0．
解方程组3x−y−4=0,y=x,
得x=2,y=2,
所以当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标为(2, 2)．
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的两点式方程
【解析】
根据图形可知，当P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时，|PA|+|PB|的值最小时，所以利用A和B的坐标求出直线AB的方程，与y=x联立即可求出交点的坐标即为P的坐标．
【解答】
解：如图，连接AB与直线y=x交于点Q，
则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小．
直线AB的方程为y−5=5−(−1)3−1(x−3)，
即3x−y−4=0．
解方程组3x−y−4=0,y=x,
得x=2,y=2,
所以当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标为(2, 2)．
【答案】
解：设线段的中点为M.
∵ 点M在直线x+y−3=0上，
∴ 设点M坐标为(t, 3−t)，
∴ 点M到两平行直线的距离相等，
即|2t−2|2=|2t−4|2，解得t=32，
∴ M(32, 32).
又直线l过点A(2, 4)，
将M，A两点代入直线l可得
y−4=5(x−2)，
即5x−y−6=0，
故直线l的方程为5x−y−6=0．
【考点】
点到直线的距离公式
待定系数法求直线方程
【解析】
设点M坐标为(t, 3−t)，根据点M到l1、l2的距离相等，求出t的值，即可求出结果．
【解答】
解：设线段的中点为M.
∵ 点M在直线x+y−3=0上，
∴ 设点M坐标为(t, 3−t)，
∴ 点M到两平行直线的距离相等，
即|2t−2|2=|2t−4|2，解得t=32，
∴ M(32, 32).
又直线l过点A(2, 4)，
将M，A两点代入直线l可得
y−4=5(x−2)，
即5x−y−6=0，
故直线l的方程为5x−y−6=0．