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2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算：2﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．1
2．（4分）截止2018年11月26日，合肥新桥国际机场年旅客吞吐量达1000万，正式跨入千万级机场行列．“1000万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1×103 B．1×107 C．1×108 D．1×1011
3．（4分）马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10，②x5﹣x4＝x，③x5•x5＝x10，④x10÷x5＝x2，⑤（x5）2＝x25其中结果正确的是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑤
4．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．（4分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣2经过平移得到y＝﹣x2，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
7．（4分）杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（4分）某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a（3+3x%）万元 B．万元
C．a（3+x%）万元 D．万元
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC＝90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD＝4，DE＝1时，则DF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算的结果是 ．
12．（5分）分解因式a3﹣4a的结果是 ．
13．（5分）实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 ．
14．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若四边形CEDF为正方形，则EF＝ ．
（2）若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+．
16．（8分）观察下列各组式子：
①1+②③…
（1）请根据上面的规律写出第4个式子．
（2）请写出第n个式子，并证明你发现的规律．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB＝1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视的学生人数．
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OA上，tan∠DCO＝，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是边AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于点C，交AN于点G，CD⊥AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于点E，交DC于点F，连接CE．
（1）求证：∠BEC＝∠BAC；
（2）请判断CF与DF的数量关系，并给出证明；
（3）若∠MAN≠90°，如图（2）或图（3），请选择一个图形证明CF＝DF．
2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算：2﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．1
【分析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数．
【解答】解：2﹣（﹣2）＝2+2＝4，
故选：B．
2．（4分）截止2018年11月26日，合肥新桥国际机场年旅客吞吐量达1000万，正式跨入千万级机场行列．“1000万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1×103 B．1×107 C．1×108 D．1×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1000万＝1×107，
故选：B．
3．（4分）马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10，②x5﹣x4＝x，③x5•x5＝x10，④x10÷x5＝x2，⑤（x5）2＝x25其中结果正确的是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑤
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则．
【解答】解：①x5+x5＝2x5，故①错误；
②x5﹣x4＝x4（x﹣1），故②错误；
③x5•x5＝x10，故③正确；
④x10÷x5＝x5，故④错误；
⑤（x5）2＝x10，故⑤错误．
故选：C．
4．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】连接AD，由AB为直径可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根据圆周角定理即可得出的度数．
【解答】解：连接AD，如图所示，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故选：B．
5．（4分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，左边有一个小长方形．
【解答】解：其俯视图为．
故选：B．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣2经过平移得到y＝﹣x2，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
【分析】由抛物线y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），而平移后抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），
平移后抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．
故选：D．
7．（4分）杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】百货商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：B．
8．（4分）某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a（3+3x%）万元 B．万元
C．a（3+x%）万元 D．万元
【分析】根据题意先求出2018年和2020年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可．
【解答】解：∵2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，
∴2018年的扶贫资金为万元，
∵计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，
∴2020年的扶贫资金为a（1+2x%）万元，
∴这3年的扶贫资金总额将达到：+a+a（1+2x%）＝万元．
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设：a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用S＝S△BMD﹣S△CNE，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，交BC于点H，
则BH＝HC＝BC，设a＝BC，∠B＝∠C＝α，
则MN＝a，CN＝BC﹣MN﹣x＝2a﹣a﹣x＝a﹣x，
DM＝BMtanB＝x•tanα，AH＝BHtanB＝a•tanα，EN＝CN•tanC＝（a﹣x）tanα，
S＝S△BMD﹣S△CNE＝（BM•DM﹣CN•EN）＝（2x﹣a）＝a•tanα•x﹣，
其中，a•tanα、均为常数，故上述函数为一次函数，
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC＝90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD＝4，DE＝1时，则DF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】方法①：根据直角三角形的性质可得∠HGC＝∠HCG，再根据平行线的性质和对顶角相等的性质可得∠DFG＝∠FGD，从而得出FD＝DG，再通过证明△GDE∽△CDG，利用相似三角形的对应边成比例解答即可；
方法②：延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF＝DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可．
【解答】解：方法①：∵∠BGC＝90°，点H为边BC的中点，
∴∠HGC＝∠HCG，
又∵∠HGC＝∠FGD，∠DFC＝∠BCF，
∴∠DFG＝∠FGD，
∴FD＝DG，
又∵∠GCD＝∠GBC，
∴△GDE∽△CDG，
∴，
∴DG2＝DE•CD，
∴FD2＝DE•CD＝1×4，
∴DF＝2；
方法②：如图，延长AD，BE相交于点M，
∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，
∴，
∵DM∥BH，
∴△DMG∽△HBG，
∴，
∵CH＝BH，
∴DF＝DM，
又∵△MDE∽△CDF，
∴，
∴，
∴DF2＝DE•CD＝1×4＝4，
∴．
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算的结果是 3 ．
【分析】由表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵32＝9，
∴＝3．
故填3．
12．（5分）分解因式a3﹣4a的结果是 a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
13．（5分）实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 8 ．
【分析】设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，代入已知等式中，化为y关于a的二次函数，配方后可得最大值．
【解答】解：设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，
∵a2+b2﹣2a＝0，
∴a2+y﹣4a﹣2a＝0，
∴y＝﹣a2+6a＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）＝﹣（a﹣3）2+9，
∵b2＝y﹣4a，
∴y﹣4a≥0，即﹣a2+6a﹣4a＝﹣a2+2a≥0，
∴0≤a≤2，
∴当a＜3时，y随a的增大而增大，
∴当a＝2时，y有最大值是8，
即4a+b2的最大值为8．
故答案为：8．
14．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若四边形CEDF为正方形，则EF＝ ．
（2）若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 或． ．
【分析】（1）四边形CEDF为正方形，易求证△ADE∽△DBF，根据相似三角形边对应成比例，可以求出正方形的边长ED的长，再根据正方形的性质即可求解；
（2）若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF＝3：4，此时EF∥AB，CD为AB边上的高，②若CF：CE＝3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出：∠B＝∠FCD，CD＝BD，即D点为AB的中点，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形CEDF为正方形，
∴CE＝ED＝DF＝FC，ED∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△DBF，
设CE＝ED＝DE＝FC＝x，则AE＝6﹣x，BF＝8﹣x，
∵△ADE∽△DBF，
∴，即，
解得：x＝，
∴ED＝，
∴EF＝ED＝；
故答案为：；
（2）若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF＝3：4，如图，
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴cosA＝，
∴AD＝AC•cosA＝，
②若CF：CE＝3：4，
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠B，
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD，
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD＝AB＝．
综上所述：AD＝或．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+．
【分析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）﹣2+
＝1﹣+1﹣2+2
＝．
16．（8分）观察下列各组式子：
①1+②③…
（1）请根据上面的规律写出第4个式子．
（2）请写出第n个式子，并证明你发现的规律．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第4个式子；
（2）根据（1）中发现的式子，可以写出第n个式子，然后证明即可解答本题．
【解答】解：（1）∵①②③，
∴第4个式子是＝；
（2）第n个式子是：+＝，
证明：∵+
＝
＝
＝，
∴+＝成立．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB＝1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
【分析】（1）由S△AOB＝1与OA＝1，即可求得A与B的坐标，则可利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象可得在第一象限且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值部分．
【解答】解：（1）由题意得OA＝1，
∵S△AOB＝1，
∴×1×n＝1，
解得n＝2，
∴B点坐标为（，2），代入y＝得m＝1，
∴反比例函数关系式为y＝；
∵一次函数的图象过点A、B，
把A、B点坐标代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝x+；
（2）由图象可知，不等式组的解集为：0＜x＜．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【分析】①延长AC到A1使A1C＝AC，延长BC到B1使B1C＝BC，则△A1B1C满足条件；
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．
③先计算出CB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【解答】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（0，0）；
②如图，△A2B2C为所作；
③CB＝＝，
点B经过的路径长＝＝π．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα＝可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD＝90°得到∠BCE+∠FCD＝90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD＝32°，然后在Rt△FCD中，由cos∠FCD＝求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝32°，由cos∠DAH＝，求出AH，在Rt△CGH中，∠GCH＝32°．由tan∠GCH＝求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多能印几个完整的图案．
【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，
∵sinα＝，
∴BC＝＝＝1.6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠FCD＝90°，
又∵在Rt△BCE中，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠FCD＝32°．
在Rt△FCD中，∵cos∠FCD＝，
∴CD＝＝＝2，
∴矩形图案的长和宽分别为2cm和1.6cm；
面积＝2×1.6＝3.2（平方厘米）
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝32°．
∵cos∠DAH＝，
∴AH＝＝＝2，
在Rt△CGH中，∠GCH＝32°，
∵tan∠GCH＝，
∴GH＝CGtan32°＝0.8×0.6＝0.48，
又∵6×2+0.48＞12，5×2+0.48＜12，
∴最多能摆放5块矩形图案，即最多能印5个完整的图案．
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【分析】（1）连接OF，由切线的性质，可知OF⊥FH，根据已知可求证OF垂直平分BC，可得，即可求解；
（2）根据条件易得△BFE∽△AFB，根据相似三角形线段成比例即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC，
∴，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴AF平分∠BAC；
（2）解：在△BEF和△AFB中，
∵∠BAF＝∠CAF＝∠FBC，∠AFB＝∠AFB，
∴△BFE∽△AFB，
∴，
∴BF2＝FE•FA，
∴FA＝，EF＝4，BF＝FD＝EF+DE＝4+3＝7，
∴FA＝＝，
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣（DE+EF）＝．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视的学生人数．
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率．
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得看电视的人数，据此可补全条形图；
（2）用总人数乘以样本中看电视人数所占比例可估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为5÷10%＝50（人），
∴看电视的人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），
补全图形如下：
（2）2400×＝480（人），
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为480人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OA上，tan∠DCO＝，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长．
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，将（0，3）代入解析式求解．
（2）由tan∠DCO＝及点A坐标求出点D坐标，然后通过待定系数法求解．
（3）作M关于x轴对称点M'，A关于对称轴的对称点A'，连接M'A'求解．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0）、C（5，0），
∴设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
将（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣5）得3＝5a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+3．
（2）如图，在Rt△DOC中，由tan∠DCO＝＝得DO＝CO＝1，
∴点D坐标为（0，1），
设直线CD解析式为y＝kx+b，把（0，1），（5，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+1．
（3）∵点A坐标为（0，3），M为OA中点，
∴点M坐标为（0，），
点M关于x轴对称点M'坐标为（0．﹣），
∵抛物线对称轴为直线x＝＝3，
∴点A关于对称轴的对称点为A'（6，3），
连接M'A'交x轴于点E，交直线x＝3于点F，
设直线M'A'解析式为y＝mx+n，将（0．﹣），（6，3）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝x﹣．
把y＝0代入y＝x﹣得0＝x﹣，
解得x＝2，
∴点E坐标为（2，0），
把x＝3代入y＝x﹣得y＝，
∴点F坐标为（3，）．
点P运动的最短路径即为M'A'的长度，
∵M'坐标为（0．﹣），A'坐标为（6，3），
∴M'A'＝＝＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是边AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于点C，交AN于点G，CD⊥AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于点E，交DC于点F，连接CE．
（1）求证：∠BEC＝∠BAC；
（2）请判断CF与DF的数量关系，并给出证明；
（3）若∠MAN≠90°，如图（2）或图（3），请选择一个图形证明CF＝DF．
【分析】（1）由BG⊥AP于C点，AF⊥BD于点E，可得点A．B．C．E四点在以AB为直径的圆上，由∠BEC、∠BAC是 BC所对圆周角，可得∠BEC＝∠BAC；
（2）CF＝DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC＝∠BAC＝45°，由BG⊥AP于C点，可得∠GCA＝∠BCA＝90°，可证△ACG≌△ACB （AAS），可得AB＝AG＝4，CG＝CB，∠AGC＝∠ABC＝45°，可求GD＝DC＝AD＝AG＝2，在Rt△DAB中，由勾股定理BD＝2，由面积公式可得AE＝，在Rt△AED中勾股定理DE＝，可得BE＝，可证△DFE∽△BAE，可求得DF＝1即可；
（3）由CD⊥AN，DELAF，可证△DEF∽△ADF，利用比例式可得DF2＝EF•AF；由∠AEB＝∠ACB＝90°，可证A、B．C．E四点在以AB为直径的同一个圆上，则得∠EAC＝∠EBC，∠ECA＝∠EBA；由BC⊥AP，CD⊥AG，可得：△ACG∽△ADC，得到∠DAC＝∠DGC，由AP平分∠MAN，BG⊥AP可得△ABG为等腰三角形，则∠ABG＝∠AGB，于是得到∠ABG＝∠ACD；由角的和差．利用图形的位置可得∠FCE＝＝∠FAC，可得△FCE∽△FAC，利用比例式可得CF2＝EF•AF，结论可得．
【解答】解：（1）证明：∵BG⊥AP，AF⊥BD，
∴点A、B、C、E四点在以AB为直径的圆上，
∵∠BEC、∠BAC是BC所对圆周角，
∴∠BEC＝∠BAC；
（2）解：CF＝DF；理由如下：
∵MAN＝90°，AP平分∠MAN，
∴∠GAC＝∠BAC＝45°，
∵BG⊥AP，
∴∠GCA＝∠BCA＝90°．
在△ACG和△ACB中，
，
∴△ACG≌△ACB（AAS）．
∴AB＝AG＝4，CG＝CB，∠AGC＝∠ABC＝45°，
∵CD⊥AN，
∴∠GCD＝90°﹣∠DGC＝45°，
∴DC平分∠GCA，
∴GD＝DC＝AD＝2．
在Rt△DAB中，
由勾股定理得：BD＝＝＝2．
∵，
∴AE＝．
在Rt△AED中，
由勾股定理：DE＝＝，
∵DF⊥AD，AE⊥DE，
∴Rt△ADE∽Rt△DFE，
∴，
∴．
解得：DF＝1．
∴CF＝CD﹣DF＝2﹣1＝1＝DF；
（3）证明：若∠MAN≠90°，如图（2），
∵CD⊥AN，DE⊥AF，
∴△DEF∽△ADF，
∴．
∴DF2＝EF•AF．
∵AE⊥BC，AC⊥BC，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°．
∴A，E，C，B四点共圆．
∴∠EAC＝∠EBC，∠ECA＝∠EBA．
在△ACG和△ACB中，
，
∴△ACG≌△ACB（AAS）．
∴AB＝AG，
∴∠AGB＝∠ABG．
∵AC⊥CG，CD⊥AG，
∴△ACD∽△AGC．
∴∠ACD＝∠AEC，
∴∠ACD＝∠ABG．
∵∠ABG＝∠ABE+∠GBE，∠ACD＝∠DCE+∠ACE，
∴∠GBE＝∠DCE．
∴∠DCE＝∠FAC．
∵∠EFC＝∠CFA，
∴△EFC∽△CFA．
∴．
∴CF2＝EF•AF．
∴DF2＝CF2．
∴DF＝CF．
2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算：2﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．1
2．（4分）截止2018年11月26日，合肥新桥国际机场年旅客吞吐量达1000万，正式跨入千万级机场行列．“1000万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1×103 B．1×107 C．1×108 D．1×1011
3．（4分）马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10，②x5﹣x4＝x，③x5•x5＝x10，④x10÷x5＝x2，⑤（x5）2＝x25其中结果正确的是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑤
4．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．（4分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣2经过平移得到y＝﹣x2，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
7．（4分）杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（4分）某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a（3+3x%）万元 B．万元
C．a（3+x%）万元 D．万元
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC＝90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD＝4，DE＝1时，则DF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算的结果是 ．
12．（5分）分解因式a3﹣4a的结果是 ．
13．（5分）实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 ．
14．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若四边形CEDF为正方形，则EF＝ ．
（2）若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+．
16．（8分）观察下列各组式子：
①1+②③…
（1）请根据上面的规律写出第4个式子．
（2）请写出第n个式子，并证明你发现的规律．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB＝1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视的学生人数．
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OA上，tan∠DCO＝，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是边AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于点C，交AN于点G，CD⊥AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于点E，交DC于点F，连接CE．
（1）求证：∠BEC＝∠BAC；
（2）请判断CF与DF的数量关系，并给出证明；
（3）若∠MAN≠90°，如图（2）或图（3），请选择一个图形证明CF＝DF．
2021年安徽省安庆四中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算：2﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．1
【分析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数．
【解答】解：2﹣（﹣2）＝2+2＝4，
故选：B．
2．（4分）截止2018年11月26日，合肥新桥国际机场年旅客吞吐量达1000万，正式跨入千万级机场行列．“1000万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1×103 B．1×107 C．1×108 D．1×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1000万＝1×107，
故选：B．
3．（4分）马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10，②x5﹣x4＝x，③x5•x5＝x10，④x10÷x5＝x2，⑤（x5）2＝x25其中结果正确的是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑤
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则．
【解答】解：①x5+x5＝2x5，故①错误；
②x5﹣x4＝x4（x﹣1），故②错误；
③x5•x5＝x10，故③正确；
④x10÷x5＝x5，故④错误；
⑤（x5）2＝x10，故⑤错误．
故选：C．
4．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】连接AD，由AB为直径可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根据圆周角定理即可得出的度数．
【解答】解：连接AD，如图所示，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故选：B．
5．（4分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，左边有一个小长方形．
【解答】解：其俯视图为．
故选：B．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣2经过平移得到y＝﹣x2，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
【分析】由抛物线y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），而平移后抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），
平移后抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．
故选：D．
7．（4分）杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】百货商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：B．
8．（4分）某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a（3+3x%）万元 B．万元
C．a（3+x%）万元 D．万元
【分析】根据题意先求出2018年和2020年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可．
【解答】解：∵2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，
∴2018年的扶贫资金为万元，
∵计划2020年的增幅图调整为上一年的2倍，
∴2020年的扶贫资金为a（1+2x%）万元，
∴这3年的扶贫资金总额将达到：+a+a（1+2x%）＝万元．
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设：a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用S＝S△BMD﹣S△CNE，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，交BC于点H，
则BH＝HC＝BC，设a＝BC，∠B＝∠C＝α，
则MN＝a，CN＝BC﹣MN﹣x＝2a﹣a﹣x＝a﹣x，
DM＝BMtanB＝x•tanα，AH＝BHtanB＝a•tanα，EN＝CN•tanC＝（a﹣x）tanα，
S＝S△BMD﹣S△CNE＝（BM•DM﹣CN•EN）＝（2x﹣a）＝a•tanα•x﹣，
其中，a•tanα、均为常数，故上述函数为一次函数，
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC＝90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD＝4，DE＝1时，则DF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】方法①：根据直角三角形的性质可得∠HGC＝∠HCG，再根据平行线的性质和对顶角相等的性质可得∠DFG＝∠FGD，从而得出FD＝DG，再通过证明△GDE∽△CDG，利用相似三角形的对应边成比例解答即可；
方法②：延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF＝DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可．
【解答】解：方法①：∵∠BGC＝90°，点H为边BC的中点，
∴∠HGC＝∠HCG，
又∵∠HGC＝∠FGD，∠DFC＝∠BCF，
∴∠DFG＝∠FGD，
∴FD＝DG，
又∵∠GCD＝∠GBC，
∴△GDE∽△CDG，
∴，
∴DG2＝DE•CD，
∴FD2＝DE•CD＝1×4，
∴DF＝2；
方法②：如图，延长AD，BE相交于点M，
∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，
∴，
∵DM∥BH，
∴△DMG∽△HBG，
∴，
∵CH＝BH，
∴DF＝DM，
又∵△MDE∽△CDF，
∴，
∴，
∴DF2＝DE•CD＝1×4＝4，
∴．
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算的结果是 3 ．
【分析】由表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵32＝9，
∴＝3．
故填3．
12．（5分）分解因式a3﹣4a的结果是 a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
13．（5分）实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 8 ．
【分析】设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，代入已知等式中，化为y关于a的二次函数，配方后可得最大值．
【解答】解：设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，
∵a2+b2﹣2a＝0，
∴a2+y﹣4a﹣2a＝0，
∴y＝﹣a2+6a＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）＝﹣（a﹣3）2+9，
∵b2＝y﹣4a，
∴y﹣4a≥0，即﹣a2+6a﹣4a＝﹣a2+2a≥0，
∴0≤a≤2，
∴当a＜3时，y随a的增大而增大，
∴当a＝2时，y有最大值是8，
即4a+b2的最大值为8．
故答案为：8．
14．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若四边形CEDF为正方形，则EF＝ ．
（2）若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 或． ．
【分析】（1）四边形CEDF为正方形，易求证△ADE∽△DBF，根据相似三角形边对应成比例，可以求出正方形的边长ED的长，再根据正方形的性质即可求解；
（2）若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF＝3：4，此时EF∥AB，CD为AB边上的高，②若CF：CE＝3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出：∠B＝∠FCD，CD＝BD，即D点为AB的中点，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形CEDF为正方形，
∴CE＝ED＝DF＝FC，ED∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△DBF，
设CE＝ED＝DE＝FC＝x，则AE＝6﹣x，BF＝8﹣x，
∵△ADE∽△DBF，
∴，即，
解得：x＝，
∴ED＝，
∴EF＝ED＝；
故答案为：；
（2）若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF＝3：4，如图，
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴cosA＝，
∴AD＝AC•cosA＝，
②若CF：CE＝3：4，
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠B，
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD，
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD＝AB＝．
综上所述：AD＝或．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+．
【分析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）﹣2+
＝1﹣+1﹣2+2
＝．
16．（8分）观察下列各组式子：
①1+②③…
（1）请根据上面的规律写出第4个式子．
（2）请写出第n个式子，并证明你发现的规律．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第4个式子；
（2）根据（1）中发现的式子，可以写出第n个式子，然后证明即可解答本题．
【解答】解：（1）∵①②③，
∴第4个式子是＝；
（2）第n个式子是：+＝，
证明：∵+
＝
＝
＝，
∴+＝成立．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB＝1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
【分析】（1）由S△AOB＝1与OA＝1，即可求得A与B的坐标，则可利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象可得在第一象限且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值部分．
【解答】解：（1）由题意得OA＝1，
∵S△AOB＝1，
∴×1×n＝1，
解得n＝2，
∴B点坐标为（，2），代入y＝得m＝1，
∴反比例函数关系式为y＝；
∵一次函数的图象过点A、B，
把A、B点坐标代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝x+；
（2）由图象可知，不等式组的解集为：0＜x＜．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【分析】①延长AC到A1使A1C＝AC，延长BC到B1使B1C＝BC，则△A1B1C满足条件；
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．
③先计算出CB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【解答】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（0，0）；
②如图，△A2B2C为所作；
③CB＝＝，
点B经过的路径长＝＝π．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα＝可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD＝90°得到∠BCE+∠FCD＝90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD＝32°，然后在Rt△FCD中，由cos∠FCD＝求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝32°，由cos∠DAH＝，求出AH，在Rt△CGH中，∠GCH＝32°．由tan∠GCH＝求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多能印几个完整的图案．
【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，
∵sinα＝，
∴BC＝＝＝1.6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠FCD＝90°，
又∵在Rt△BCE中，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠FCD＝32°．
在Rt△FCD中，∵cos∠FCD＝，
∴CD＝＝＝2，
∴矩形图案的长和宽分别为2cm和1.6cm；
面积＝2×1.6＝3.2（平方厘米）
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝32°．
∵cos∠DAH＝，
∴AH＝＝＝2，
在Rt△CGH中，∠GCH＝32°，
∵tan∠GCH＝，
∴GH＝CGtan32°＝0.8×0.6＝0.48，
又∵6×2+0.48＞12，5×2+0.48＜12，
∴最多能摆放5块矩形图案，即最多能印5个完整的图案．
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【分析】（1）连接OF，由切线的性质，可知OF⊥FH，根据已知可求证OF垂直平分BC，可得，即可求解；
（2）根据条件易得△BFE∽△AFB，根据相似三角形线段成比例即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC，
∴，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴AF平分∠BAC；
（2）解：在△BEF和△AFB中，
∵∠BAF＝∠CAF＝∠FBC，∠AFB＝∠AFB，
∴△BFE∽△AFB，
∴，
∴BF2＝FE•FA，
∴FA＝，EF＝4，BF＝FD＝EF+DE＝4+3＝7，
∴FA＝＝，
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣（DE+EF）＝．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视的学生人数．
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率．
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得看电视的人数，据此可补全条形图；
（2）用总人数乘以样本中看电视人数所占比例可估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为5÷10%＝50（人），
∴看电视的人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），
补全图形如下：
（2）2400×＝480（人），
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为480人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OA上，tan∠DCO＝，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长．
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，将（0，3）代入解析式求解．
（2）由tan∠DCO＝及点A坐标求出点D坐标，然后通过待定系数法求解．
（3）作M关于x轴对称点M'，A关于对称轴的对称点A'，连接M'A'求解．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0）、C（5，0），
∴设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
将（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣5）得3＝5a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+3．
（2）如图，在Rt△DOC中，由tan∠DCO＝＝得DO＝CO＝1，
∴点D坐标为（0，1），
设直线CD解析式为y＝kx+b，把（0，1），（5，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+1．
（3）∵点A坐标为（0，3），M为OA中点，
∴点M坐标为（0，），
点M关于x轴对称点M'坐标为（0．﹣），
∵抛物线对称轴为直线x＝＝3，
∴点A关于对称轴的对称点为A'（6，3），
连接M'A'交x轴于点E，交直线x＝3于点F，
设直线M'A'解析式为y＝mx+n，将（0．﹣），（6，3）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝x﹣．
把y＝0代入y＝x﹣得0＝x﹣，
解得x＝2，
∴点E坐标为（2，0），
把x＝3代入y＝x﹣得y＝，
∴点F坐标为（3，）．
点P运动的最短路径即为M'A'的长度，
∵M'坐标为（0．﹣），A'坐标为（6，3），
∴M'A'＝＝＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是边AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于点C，交AN于点G，CD⊥AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于点E，交DC于点F，连接CE．
（1）求证：∠BEC＝∠BAC；
（2）请判断CF与DF的数量关系，并给出证明；
（3）若∠MAN≠90°，如图（2）或图（3），请选择一个图形证明CF＝DF．
【分析】（1）由BG⊥AP于C点，AF⊥BD于点E，可得点A．B．C．E四点在以AB为直径的圆上，由∠BEC、∠BAC是 BC所对圆周角，可得∠BEC＝∠BAC；
（2）CF＝DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC＝∠BAC＝45°，由BG⊥AP于C点，可得∠GCA＝∠BCA＝90°，可证△ACG≌△ACB （AAS），可得AB＝AG＝4，CG＝CB，∠AGC＝∠ABC＝45°，可求GD＝DC＝AD＝AG＝2，在Rt△DAB中，由勾股定理BD＝2，由面积公式可得AE＝，在Rt△AED中勾股定理DE＝，可得BE＝，可证△DFE∽△BAE，可求得DF＝1即可；
（3）由CD⊥AN，DELAF，可证△DEF∽△ADF，利用比例式可得DF2＝EF•AF；由∠AEB＝∠ACB＝90°，可证A、B．C．E四点在以AB为直径的同一个圆上，则得∠EAC＝∠EBC，∠ECA＝∠EBA；由BC⊥AP，CD⊥AG，可得：△ACG∽△ADC，得到∠DAC＝∠DGC，由AP平分∠MAN，BG⊥AP可得△ABG为等腰三角形，则∠ABG＝∠AGB，于是得到∠ABG＝∠ACD；由角的和差．利用图形的位置可得∠FCE＝＝∠FAC，可得△FCE∽△FAC，利用比例式可得CF2＝EF•AF，结论可得．
【解答】解：（1）证明：∵BG⊥AP，AF⊥BD，
∴点A、B、C、E四点在以AB为直径的圆上，
∵∠BEC、∠BAC是BC所对圆周角，
∴∠BEC＝∠BAC；
（2）解：CF＝DF；理由如下：
∵MAN＝90°，AP平分∠MAN，
∴∠GAC＝∠BAC＝45°，
∵BG⊥AP，
∴∠GCA＝∠BCA＝90°．
在△ACG和△ACB中，
，
∴△ACG≌△ACB（AAS）．
∴AB＝AG＝4，CG＝CB，∠AGC＝∠ABC＝45°，
∵CD⊥AN，
∴∠GCD＝90°﹣∠DGC＝45°，
∴DC平分∠GCA，
∴GD＝DC＝AD＝2．
在Rt△DAB中，
由勾股定理得：BD＝＝＝2．
∵，
∴AE＝．
在Rt△AED中，
由勾股定理：DE＝＝，
∵DF⊥AD，AE⊥DE，
∴Rt△ADE∽Rt△DFE，
∴，
∴．
解得：DF＝1．
∴CF＝CD﹣DF＝2﹣1＝1＝DF；
（3）证明：若∠MAN≠90°，如图（2），
∵CD⊥AN，DE⊥AF，
∴△DEF∽△ADF，
∴．
∴DF2＝EF•AF．
∵AE⊥BC，AC⊥BC，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°．
∴A，E，C，B四点共圆．
∴∠EAC＝∠EBC，∠ECA＝∠EBA．
在△ACG和△ACB中，
，
∴△ACG≌△ACB（AAS）．
∴AB＝AG，
∴∠AGB＝∠ABG．
∵AC⊥CG，CD⊥AG，
∴△ACD∽△AGC．
∴∠ACD＝∠AEC，
∴∠ACD＝∠ABG．
∵∠ABG＝∠ABE+∠GBE，∠ACD＝∠DCE+∠ACE，
∴∠GBE＝∠DCE．
∴∠DCE＝∠FAC．
∵∠EFC＝∠CFA，
∴△EFC∽△CFA．
∴．
∴CF2＝EF•AF．
∴DF2＝CF2．
∴DF＝CF．
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