2020-2021学年山东省济宁市兖州区高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省济宁市兖州区高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．如果复数的实部与虚部相等，那么（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得．

【详解】，所以实部为，虚部为，所以．

故选：A．

2．在四边形中，，则（    ）

A．是矩形 B．是菱形 C．是正方形 D．是平行四边形

【答案】D

【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得，以为邻边做平行四边形ABCD，可得，进而可判断.

【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得，

以为邻边做平行四边形ABCD，如图，

可得，

所以四边形ABCD为平行四边形.

故选：D

3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，分别与轴、轴平行，则在原图中对应三角形的面积为（ ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据斜二测画法的规则还原原图，再计算可得．

【详解】解：三角形的直观图中，，分别与轴、轴平行，

则原图如下所示：

所以，

所以

故选：．

4．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由块玻璃拼组而成，塔高米，底宽米，则该金字塔的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

如图正四棱锥中，底面，，，

底面正方形的面积为，

则正四棱锥的体积为，

故选：A

5．如图，在正六边形中，向量在向量上的投影向量是，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】正六边形的内角为，根据向量投影的概念求解即可．

【详解】解：设正六边形的边长为，

∵正六边形的内角为，

∴向量在向量上的投影为，

又向量在向量上的投影向量是，

∴，

故选：D．

6．一艘船以40海里小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东，小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东，则灯塔S与B之间的距离是（    ）

A．5海里 B．10海里

C．海里 D．海里

【答案】D

【分析】直接利用正弦定理即可求出.

【详解】

如图所示，,

由于  可解得：，

由正弦定理得：,即，

解得：.

故选：D

【点睛】解三角形的应用题的解题思路：

（1）画出符合题意的图形；

（2）把有关条件在图形中标出；

（3）解三角形即可.

7．已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量运算，结合点是的中点，化简运算.

【详解】为边中点，

∴，

∵，

∴，

即.

故选：B

8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在正八边形ABCDEFGH中，A. 易知，再由共线向量定义判断.B.根据数量积运算判断.C.根据判断.D. 根据求解判断.

【详解】由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，

A. ，所以，故正确.

B. ，故正确.

C. ，所以    ，故正确.

D. ，故错误.

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法，模，共线定理以及数量积运算等知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9．下列说法正确的是（    ）

A．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积；

B．由两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；

C．若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面直径为1；

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

【答案】A

【分析】根据直三棱柱的结构特征即可判断A选项；根据棱柱的定义即可判断B选项，根据圆锥的表面积公式及侧面展开图即可求出底面直径，从而判断C选项；根据棱台的定义即可判断D选项.

【详解】解：对于A，因为直三棱柱侧棱垂直底面，三角形的任意两边之和大于第三边，所以直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，故A正确；

对于B，棱柱是由两个底面全等且平行，侧棱互相平行，侧面都是平行四边形围成的，故B错误；

对于C，圆锥的表面积为，又因它的侧面展开图是一个半圆，即，所以，所以，所以直径为2，故C错误；

对于D，用一个平行于底面平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误.

故选：A.

二、多选题

10．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据复数的模和复数的乘除运算求出复数，然后再逐一判断各个选项即可.

【详解】解：因为，

所以，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故选：BC.

11．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.

【详解】解：因为，，

所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为，故选项B正确；

因为，所以，，故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

12．在中，角所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则的面积是

D．若，则的外接圆半径是

【答案】ACD

【分析】先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.

【详解】依题意，设，

所以，

由正弦定理得：，

故选项A正确；

，

故选项B不正确；

若，则，

所以，

所以，

所以，

故的面积是：；

故选项C正确；

若，则，

所以，

所以，

所以，

则利用正弦定理得：

的外接圆半径是：，

故选项D正确；

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.

三、填空题

13．已知，则与向量共线反向的单位向量___________.

【答案】

【分析】先求出向量的相反向量，再求与相反向量共同的单位向量

【详解】解：由，得，

所以与向量共线反向的单位向量，

故答案为：

14．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则是___________三角形(用锐角､直角､钝角填空).

【答案】钝角

【分析】将不等式变形为，再利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理得到为钝角，即可判断；

【详解】解：因为

所以

所以

由余弦定理可知，所以为钝角，故为钝角三角形

故答案为：钝角

15．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为___________.

【答案】

【分析】利用等体积法，转化求解水的高度即可．

【详解】】解：设四棱柱的底面梯形的高为，，的中点分别为，，所求的水面高为，

则水的体积，

所以，

故答案为：．

16．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.

【答案】

【分析】设，由此可计算出，，和，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得.

【详解】设，则，

，，，.

与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；

时，，不成立，乙丁不能同时正确；

当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意；

当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意；

当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意；

甲丁陈述正确，此时，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数z满足，且z的虚部为，z在复平面内所对应的点在第四象限.

（1）求z；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意设，再由已知列式求得，则可求；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【详解】解：（1）设，

因为，

所以，

得或，

又z在复平面内所对应的点在第四象限，

所以；

（2），

所以；

所以.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题．

18．已知平面向量，且与共线.

（1）求的值；

（2）与垂直，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出的坐标，利用向量共线的坐标表示即可求解；

（2）由（1）可知，计算、的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】（1）由题意得：，

因为与共线

所以，

解得；

（2）由（1）可知，于是，

而，

由于，

从而，

解得：

19．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比：

（2）假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．

【答案】（1）；（2）体积为，表面积为.

【分析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；

（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.

【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为，

圆柱的体积 ，球的体积 ，

圆柱与球的体积比为：；

（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为，

圆锥的母线长：，

圆锥体积：，

圆锥表面积：.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱和球的体积，属于中档题.

20．如图所示，在中，已知，，，为边上的高.

（1）求；

（2）设，其中，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），根据平面向量数量积的运算法则求解即可；

（2）根据平面向量基本定理，由于三点共线，所以，再结合，，得出的关系式，从而求得的值，即可求出的值.

【详解】解：（1）因为，，，，

所以

；

（2）因为，

所以，即，

所以，

，

所以，即，

因为三点共线，所以，

所以所以：.

21．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.

已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足__________.

（1）求角C；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）若选择①，利用正弦定理边角互化，再由余弦定理可求出角C；若选择②，利用正弦定理边角互化，再由两角和的正弦公式化简，可得角C；若选择③，利用正弦定理可得角C；

（2）利用余弦定理可得，由为锐角三角形得出的范围，进而求出面积以及取值范围．

【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，

由余弦定理得，∴.

若选择②：由②及正弦定理得，即，，

∵，∴，.

若选择③：由③可得，∴，

∴，.

（2）由已知及余弦定理可得，

由为锐角三角形可得且，解得，

面积.

(或由正弦定理将b转换成一个内角的三角函数求解)

22．在中，角，，的对边分别为，，，已知

（1）求角的大小；

（2）若，点满足，求的面积；

（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，进行边角互化得，再运用余弦定理，可求得，由角的范围可得答案；

（2）由余弦定理，求得，再根据向量的线性运用求得.根据三角形的面积公式可求得答案；

（3）由已知和余弦定理得是等边三角形，再运用向量的数量积运算可求得的取值范围.

【详解】解：（1）因为.

所以根据正弦定理，得

根据余弦定理，得，即

根据余弦定理，得，

因为，所以；

（2）由余弦定理，得所以即，

所以，因为所以

因为，

所以.

所以的面积为.

（3）由，利用余弦定理得即，所以是等边三角形，

所以，，，

∴，，

∴

，

∵，∴，

∴的取值范围为：.