潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题（解析版）

高一数学

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求得集合，由并集定义可求得结果.

【详解】，.

故选：.

2. 若，，，则下列不等式成立的是（    ）．

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】

利用特殊值、排除法进行判断即可.

【详解】对于A：当时，显然，但，因此本选项不符合题意；

对于B：当时，显然，因此本选项不符合题意；

对于C：当时，显然没有意义，因此本选项不符合题意；

故选：D

3. 下列各图中，一定不是函数图象的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数定义中与的对应关系只能是一对一或多对一，不能一对多，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，由图象可知，存在同时对应两个函数值，A选项中的图象不是函数图象；

对于B选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，B选项中的图象是函数图象；

对于C选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，C选项中的图象是函数图象；

对于D选项，由图象可知，每个有唯一的函数值与之对应，D选项中的图象是函数图象.

故选：A

4. 铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.

【详解】长、宽、高之和不超过，.

故选：.

5. 设为全集，则“”是“”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

分析】

根据两集合之间关系，由补集的性质，以及充分条件和必要条件的概念，可直接得出结果.

【详解】因为为全集，若，则；若，则；

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

【点睛】结论点睛：

判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

6. 已知函数满足且，则在上的零点（    ）．

A. 至多有一个 B. 有1个或2个

C. 有且仅有一个 D. 一个也没有

【答案】C

【解析】

【分析】

由零点存在定理可判定出结果.

【详解】由题意知：在上至多有两个零点.

由零点存在定理知：若，则在上有且仅有一个零点.

故选：.

7. 某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（    ）．

A. 3或4 B. 4或5 C. 3或5 D. 4或6

【答案】B

【解析】

【分析】

设宿舍房间数量为，男生人数为，得到满足的关系式，由此得到结果.

【详解】设宿舍房间数量为，男生人数为，则，

解得.

所以宿舍可能的房间数量为或.

故选：B.

8. 已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出一元二次不等式组的解集，再由题意利用二次函数的性质求得实数的取值范围．

【详解】解：不等式组解得，所以不等式组的解集是，

关于的不等式解集包含，令，

，解得，

故选：．

【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9. 下列命题中是假命题的是（    ）．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】ACD

【解析】

【分析】

举反例即可判断选项A、C，解方程即可判断选项B、D.

【详解】取，，所以选项A，C不正确；

由得是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，

故选：ACD

10. 下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用基本初等函数的基本性质可判断AB选项中函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性的定义可判断CD选项中函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可判断C选项中函数的单调性，利用特殊值法可判断D选项中的函数不单调.

【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；

对于B选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；

对于C选项，当时，，则，

当时，，则，

又，所以，函数为奇函数，

当时，函数单调递减；当时，函数单调递减.

由于函数在上连续，所以，函数在上为减函数，C选项中的函数合乎要求；

对于D选项，函数的定义域为，，函数为奇函数，

，所以函数不是减函数，D选项中的函数不合乎要求.

故选：BC.

11. 下列结论正确的是（    ）．

A. 若，则的最大值为

B. 若，，则

C. 若，，且，则的最大值为9

D. 若，则的最大值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确；

B选项，由，，可得，即，故B正确；

C选项，若，，且，

则，

当且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错；

D选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12. 下列关于函数的叙述正确的是（    ）．

A. 的定义域为，值域为

B. 的图象关于轴对称

C. 当时，有最小值2，但没有最大值

D. 函数有2个零点

【答案】BCD

【解析】

分析】

直接利用函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域判断、、、的结论．

【详解】解：根据函数的关系式，

画出函数的图象，如图所示：

对于：根据函数的图象，的定义域为，值域为，故错误；

对于：函数的图象关于轴对称，故正确；

对于：如图所示：当，时，有最小值2，但没有最大值，故正确；

对于：令，设，则函数和函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故正确．

故选：．

【点睛】本题考查知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知函数，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用解析式可求得和，由此构造方程求得结果.

【详解】，，，解得：.

故答案为：.

14. 一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的______倍．

【答案】0.96

【解析】

【分析】

根据价格变化，求出该商品的最终售价，进而可求出答案.

【详解】由题意，该商品的最终售价为元，

则.

所以该商品的最终售价是原来的倍.

故答案为：.

15. 已知偶函数在上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据零点的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.

【详解】因为1是函数的一个零点，所以，

因为函数是偶函数，所以，

所以由，可得，

又因为函数在上单调递增，

所以有，解得.

故答案为：

16. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：

李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．

【答案】5712

【解析】

【分析】

先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．

【详解】解：专项扣除总额为：元，

应纳税所得额为：元，

个税税额为：元，

故答案为：5712．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知全集，集合，，．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；

（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.

【详解】解：（1）或，所以，

所以．

（2）①当时，满足，即，解得．

②当时，因为，所以

，即，

综上，实数的取值范围为．

18. 在①，，②存在区间，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数．

问题：求解实数，使得命题，，命题______，都是真命题．

（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分.）

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

选条件①由命题为真，可得不等式在，上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．

选条件②由命题为真，可得不等式在，上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．

【详解】解：选条件①

由命题为真，可得不等式在上恒成立．

因为，，所以，

若命题为真，则方程有解．

所以判别式，

所以或．

又因为，都为真命题，所以所以或．

所以实数的取值范围是或．

选条件②

由命题为真，可得不等式在上恒成立．

因为，．所以．

因为集合必有，

得或，

即或，

又因为，都为真命题，所以，解得．

所以实数的取值范围是．

19. 已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得结果；

（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果.

【详解】（1）的解集为，方程的两根为和，

由韦达定理知：，解得：.

（2）当时，，

当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为．

20. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．

（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；

（2）该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．

问：哪一种方案较为合算？并说明理由．

【答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果；

（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．

【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则，

即，，，

该车营运第年开始赢利．

（2）方案①赢利总额，

时，赢利总额达到最大值为万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

方案②年平均赢利总额（当且仅当时取等号）．

时年平均赢利总额达到最大值万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，方案②合算．

【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.

21. 已知函数，，．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，记函数在区间上的最大值为，求的表达式．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由，得，进而分和两种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；

（2）由，且，可得，进而结合二次函数的性质，分类讨论，可求出在区间上的最大值的表达式.

【详解】（1）当时，，则．

①当时，不等式为，解得，所以；

②当时，不等式为，解得，所以解集为空集．

综上，不等式的解集为．

（2）因为，且，所以，

①当时，，则；

②当时，，则.

综上．

【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：

（2）根据对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析.

22. 已知函数是定义域上的奇函数，且．

（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；

（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．

【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；

（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；

（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.

【详解】（1），且是奇函数，，

，解得，

．

函数在上单调递减，在上单调递增，

证明如下：任取，，且，

则，

，且，

，，

∴，

，即，

函数在上单调递减.

同理可证明函数在上单调递增．

（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，

所以在上有两个不相等的实数根，

则，解得．

（3）由题意知，

令，，

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

，

函数的对称轴方程为，

函数在上单调递增，

当时，取得最小值，；

当时，取得最大值，.

所以，，

又对任意的，都有恒成立，

，

即，

解得，又，

的取值范围是．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.