2020-2021学年上海市控江中学高一上学期期中数学考试试题含解析

2020-2021学年上海市控江中学高一上学期期中考试试题

数学

一、单选题

1．“”是“”的（    ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】C

【分析】本题可依次对“”是否是“”的充分条件以及“”是否是“”的必要条件进行判断，即可得出结果.

【详解】，即或，则，

“”是“”的充分条件，

，即，

，，，

“”是“”的必要条件，

故“”是“”的充要条件，

故选：C.

2．设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得的解集为，故有，从而求得的值．

【详解】关于，即的解集为，

，求得，

故选：．

3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

4．对于数集，其中，，定义点集.若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.例如：具有性质，则下列两个命题（    ）.

①若集合具有性质，则；②已知集合具有性质，若，则.

A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假

【答案】A

【分析】利用新定义，取，则有，然后再根据是中唯一负数，则中一个为，另一个必为1，即可判断选项①，由选项①可得，所以，然后再利用反证法，假设，选取进行分析，得出矛盾，从而可判断选项②.

【详解】由题意，取，则有，

因为，所以，即异号，

因为是中唯一负数，则中一个为，另一个必为1，故，故选项①正确；

因为，又由选项①可得，所以，假设，

选取，则，

因为由选项①证明知，所以中一个必为，一个必为1，

若，则，即与矛盾，

若，则矛盾，故假设不成立，所以，故选项②正确.

所以①真②真.

故选：A.

二、填空题

5．设，若集合，，且，则_________.

【答案】

【分析】本题可根据集合相等的相关性质得出结果.

【详解】因为，，

所以，，满足题意，

故答案为：.

6．设全集，已知集合，则_________.

【答案】

【分析】求出集合A，利用补集的定义可求得集合.

【详解】已知全集，集合，因此，.

故答案为：.

7．若集合，，则_________.

【答案】

【分析】解方程组即可得出的元素，从而得出．

【详解】解，得，

．

故答案为：

8．设α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是__．

【答案】（﹣∞，2]

【分析】根据充分条件的定义求解.

【详解】∵α：2＜x≤4，β：x＞m，

若α是β的充分条件，则m≤2．

∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．

故答案为：（﹣∞，2]．

9．设，若，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】根据均值不等式可以直接求出结果.

【详解】由均值不等式得，又因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.

故答案为：.

10．已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是__________（填写全部正确的编号）

【答案】②④

【分析】本题可根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称.

【详解】①：，，不关于轴对称；

②：，，满足，关于轴对称；

③：，，不满足，不关于轴对称；

④：，，满足，关于轴对称，

故答案为：②④.

11．设，若存在实数，使得不等式成立，则的取值范围__________.

【答案】

【分析】用分离参数法变形，然后求函数的最小值即可得．

【详解】不等式变形为，又的最小值是0，

所以．

故答案为：．

12．设，，已知，则__________．

【答案】8

【分析】根据对数的运算法则直接计算即可得出.

【详解】∵，，

∴，∴．

故答案为：8.

13．设，若关于的方程有一个正根、一个负根，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据二次函数的零点的分布，列出不等式，解之即可.

【详解】令，

因为方程有一个正根、一个负根，

所以，即，

所以.

故答案为：.

14．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由于恒成立，可以将恒成立可转化为恒成立，然后分类讨论即可得到结果.

【详解】因为恒成立，

所以恒成立可转化为恒成立，

当时，恒成立；

当时，需要满足，即，

综上：的取值范围为.

故答案为：.

15．设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则_________.

【答案】5

【分析】利用集合的非空子集个数求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可.

【详解】若一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有个.

因为集合，所以

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

若集合的所有非空子集的元素之和是40，

则集合的所有元素和为，

则.

故答案为：5.

16．若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是__________.

【答案】

【分析】根据题意得对任意，存在实数，使得成立，再结合将问题转化为对任意恒成立，进而利用基本不等式求解即可.

【详解】解：因为对任意，存在实数，使得成立，

所以对任意，存在实数，使得成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以有对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于，当且仅当，即时等号成立；

所以，即.

所以实数的最小值是

故答案为：

【点睛】本题考查不等式恒恒成立问题与存在性问题的解法，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于注意运用绝对值三角不等式的性质和基本不等式求最值.

三、解答题

17．设，已知集合关于的方程无实根，集合且.

（1）求集合；

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）本题可通过求出，即可求出集合；

（2）本题可通过题意得出，即可得出，证得结论.

【详解】（1）因为关于的方程无实数解，

所以，解得，.

（2）因为，，

所以，，，.

18．某大型超市在促销期间规定：超市内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该超市内实际消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该超市购物可以获得双重优惠，

设优惠率＝（购买商品获得的优惠总额）÷（购买商品的标价总额）.

例如：购买商品的标价总额为400元，则实际消费金额为元，获得的优惠总额为元.

试问：（1）购买标价总额为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于购买标价总额在（元）内的商品，顾客如果想得到不小于的优惠率，那么顾客应购买标价总额为多少元的商品？（结果四舍五入近似到1元）

【答案】（1）；（2）顾客应购买标价总额在（元）内的商品.

【分析】（1）可通过题意计算出优惠总额为元，然后根据优惠率计算公式即可得出结果；

（2）首先可设购买标价总额为元的商品，优惠率为，然后分为、两种情况进行讨论，依次令并计算即可得出结果.

【详解】（1）购买标价总额为800元的商品，

实际消费金额为元，

获得的优惠总额为元，

优惠率是.

（2）设购买标价总额为元的商品，优惠率为，

当实际消费金额为300元时，购买标价总额为元，

当购买标价总额在（元）内的商品时，

，

令，则，无解，不满足题意；

当购买标价总额在（元）内的商品时，

，

令，则，解得，

故顾客想得到不小于的优惠率，

那么应购买标价总额在（元）内的商品.

19．设，，均是正数.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）14；（2）-1.

【分析】（1）直接把已知式平方即可求值；

（2）设，把指数式改为对数式，利用对数的运算法则计算出，然后可得结论．

【详解】解：（1），∴.

（2）设，则，，，

∴.

∴.

20．设是四个正数.

（1）已知，比较与的大小；

（2）已知，求证：；

（3）已知，求证：、、、中至少有一个小于1.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据，可得，然后利用作差法比较与的大小；

（2）根据，为正数，，由，利用基本不等式即可证明成立；

（3）假设，，，都不小于1，然后根据，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．

【详解】（1），，，是四个正数，，，

，

即．

（2），为正数，，

，当且仅当时取等号，

．

（3〕假设、、、都不小于1，则，

那么与已知矛盾.

所以假设不成立，原命题成立.

21．设，已知集合，集合.

（1）若，求的取值范围；

（2）若时，，求的取值范围；

（3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先化简集合A,再根据求解；

（2）由，由，结合，分， ，，讨论求解；

（3）由，根据中元素恰为3个，分， 讨论求解.

【详解】（1）由，得，

解得

因为，

所以，

解得.

（2），

，

因为，所以，

①当时，∴不符题意舍去.

②当时，，若，则需满足

或，解得或，

所以，则；

③当时，，此时舍去.

综上.

（3），

∵中元素恰为3个，

∴的区间长度应在内，

∴，

①当时，.

②当时，，，此时成立，

综上所述.