2020-2021学年山西省实验中学高一上学期第二次月考数学试题含解析

2020-2021学年山西省实验中学高一上学期第二次月考试题

数学

一、单选题

1．满足条件的集合M的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据子集的定义将满足条件的集合M一一列举出来即可求解.

【详解】解：因为集合M满足条件，

所以集合M可以是或或或，

所以集合M的个数是4个，

故选：C.

2．若，，则下列各式中正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合，，利用不等式的性质可判断，从而判断，再利用不等式性质得出正确答案.

【详解】，，，

又，，两边同乘以负数，可知

故选：D

3．函数的单调减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将函数写成分段函数的形式，即再根据解析式得到函数的单调区间；

【详解】

直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，

故选：A.

4．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是(　　)

A．[－3,3] B．

C． D．[－1,1]

【答案】D

【分析】根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可．

【详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得

，故选D．

【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法．

5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复合函数的定义域的求法，可得且，从而得出答案.

【详解】函数的定义域为，则函数的定义域满足且

即，所以函数的定义域为

故选：C

6．对于每个实数，设取、、三个函数中的最小值，则的最大值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】本题可根据的图像得出结果.

【详解】因为取、、三个函数中的最小值，

所以可根据、、图像绘出的图像，

如图：

联立，解得，的最大值为，

故选：B.

7．若，且，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：

.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得：的最小值为.

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

8．已知实数，函数若，则a的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】对分两种情况讨论得解.

【详解】如果，则，

所以，

因为，所以舍去.

如果，则，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列选项中所给图象是函数图象的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数的定义对各选项逐一分析即可求解.

【详解】解：根据函数的定义，在定义域内作一条直线，将直线在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象，

故选：CD.

10．下列条件中，能使成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由成立，得出可得答案.

【详解】由得，即只需，

所以满足条件的选项有A.     C.     D. .

故选：ACD.

11．下列函数中，满足“对任意，，都有”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】满足题意的函数需要在区间上单调递增，根据基本初等函数的单调性逐个判断即可.

【详解】由于对任意，，都有，

所以函数在区间上单调递增，

由基本初等函数可知：在区间上单调递减，故A错误；

在区间上单调递减增，当然在区间上单调递增，故B正确；

在上单调递减，故C错误；

，，

当时，，所以函数在区间上单调递增，故D正确；

故选：BD.

12．已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】AB

【分析】由题意，方程有且只有一个根，所以，即，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.

【详解】解：由题意，方程有且只有一个根，所以，即，

对A：等价于，显然，所以A选项正确；

对B：，故B选项正确；

对C：因为不等式的解集为，所以，所以C选项错误；

对D：因为不等式的解集为，且，

则方程的两根为，

所以，

所以，故D选项错误.

故选：AB.

三、填空题

13．命题“，”的否定是______．

【答案】，

【分析】本题可根据特称命题的否定是全称命题得出结果.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以“，”的否定是“，”，

故答案为：，.

14．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.

【答案】

【分析】由题得ab＝a＋b＋3≥2＋3，解不等式即得解.

【详解】∵a，b是正数，

∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，

所以，

所以，

所以或，

所以ab≥9.

故答案为：

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．为上的增函数，且对任意，都有，则______．

【答案】

【分析】根据函数的单调性可得存在唯一的，使，进而可得，解方程求出即可求解.

【详解】为上的增函数，

则存在唯一的，使，

即，所以，

所以，解得或（舍）

所以.

故答案为：

16．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】当时，；当时，参变分离结合换元法求得函数，即可得答案；

【详解】（1）当时，；

（2）当时， ，

令或，，

，

综合（1）（2）可得，

故答案为：.

四、解答题

17．设集合，，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1），；（2）或.

【分析】（1）由求出集合A，根据补集的定义求出集合B的补集，然后根据并集及交集的定义即可求解；

（2）对集合A分和两种情况讨论，结合数轴列出不等式组即可求解.

【详解】解：（1）时，，

又，，所以或，

所以，；

（2）①当，即，时，显然有成立；

②当，即，时，

因为，所以，解得.

综上，实数a的取值范围为或.

18．已知关于x的不等式的解集为．

（1）求a，b的值；

（2）当时，解关于x的不等式（用c表示）．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意，1和2是方程的两根，由此即可求解；

（2）由（1）知关于x的不等式，即为，根据根的大小分、、三种情况进行讨论即可求解.

【详解】解：（1）因为关于x的不等式的解集为，

所以1，2是方程的两根，所以，解得；

（2）由（1）知关于x的不等式，即为，

令得或，

①时，不等式的解集为；

②时，不等式的解集为；

③时，不等式的解集为；

19．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．

（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

【答案】（1）16天（2）

【分析】(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数.

（2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值.

【详解】（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以

当时，显然符合题意．
当x＞4时，解得，

综上，

所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由，得：

在区间（0，4]上单调递增，即；
在区间（4，7]上单调递减，即，
综上，
为使恒成立，只要且即可，

即所以应该投放的药剂质量m的最小值为

【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．