2020-2021学年第7章 锐角函数7.1 正切课后测评

绝密★启用前

7.1正切同步练习苏科版初中数学九年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1. 如图，一个斜坡长，坡顶离水平地面的距离为，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于

A.  B.  C.  D.

2. 如图，边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则的正切值等于

A.
B.
C.
D.

3. 在中，，，，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，，则的正切值为     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

5. 如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
    

6. 如图，在半径为的中，直径与弦相交于点，连接、若，则          ．
   
   
    

7. 如图，的正切值为          ．
   
   
   
    

8. 如图，点在反比例函数的图象上，且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点、，设直线解析式为，则______．
9. 如图，小亮在太阳光线与地面成角时，测得树高，则树在地面上的影长约为          精确到．
   
    

10. 如图，在边长为的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值为          ．
    
     

11. 如图，点在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，则的值为          ．
    
     

12. 如图，某商店营业大厅的自动扶梯的倾斜角为，它的水平距离为米，则大厅的高度为          米精确到米．

13. 用计算器计算：          ，          ，          精确到．
14. 
    如图，旗杆高，某一时刻，旗杆影子长，则的值为          

在中，，，，则的长为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

15. 我们知道：如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
    在图中，若，则的长为______；
    如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕试说明：是的黄金分割点；
    如图，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

16. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    已知，，求的半径．
    
     

17. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
    求证：；
    若，，，求的值．

18. 如图，中，，以点为圆心，为半径作，为上一点，连接、，，平分．
    求证：是的切线；
    延长、相交于点，若，求的值．
    
    
    
     

19. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接若，求的值．

20. 如图，在四边形中，，，，，求的值．

21. 如图，在矩形中，，，为边上一点，沿将折叠，使点正好落在边上的点处求的值．

22. 如图，在中，，，为的中点求：
    

的值

的正切值．






 

23. 如图，在周长为的中，求：
    

的值

的正切值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于基础题．
如图，在中，，根据，计算即可．

【解答】
解：如图，在中，，，，
，
，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】
解：，
．
故选D．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形，可根据锐角三角函数的定义，结合可求解的长．
【解答】
解：在中，，
，
，，
．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：在中，，，，
的正切值为，
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：连接，
在正方形、中，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

6.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，连接构造直角三角形是解题的关键．
连接可得，由勾股定理求得的长，进而由可得答案．
【解答】
解：如图，连接，

是的直径，
，
，，
，
又，
．
故答案为．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，圆周角定理，
由同弧所对的圆周角相等，得出，根据正切的定义，求出的正切值，即可求解．
【解答】
解：如图，

，
．
故答案为．  

8.【答案】
 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标为，则点，
则点、的坐标分别为，，
将、坐标代入，有



 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查三角函数定义的应用．一般角的三角函数值需要利用计算器计算．
利用所给角的正切函数求解．
【解答】
解：，
米．
故答案为．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
首先连接，交于点，设线段交正方形网格于格点，由题意易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得：：：，在中，即可求得的值，继而求得答案．
【解答】
解：如图，连接，交于点，设线段交正方形网格于格点，

四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故答案为．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，求出点的坐标是解题的关键．把代入二次函数解析式求出的值，得到点的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：时，，
解得，舍去，
点的坐标为，
．
故答案为．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角叫做坡角，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，实质也是解直角三角形问题利用正切函数的定义，即可求出的长．
【解答】
解：根据题意可得，
在中，，
米．
即大厅的高度的长约为米．
故答案为．  

13.【答案】；；
 

【解析】

【分析】
本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得．
【解答】
解：，，，
故答案为，，．  

14.【答案】；

 

【解析】

【分析】
此题考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】
解：如图，

旗杆高，旗杆影子长，
，
故答案为．

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据的正切求出，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，

中，，，，
，
解得，
根据勾股定理得，．
故答案为．  

15.【答案】解：
延长，交于点，

四边形为正方形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
．
，
即，
，
是的黄金分割点；
当时，满足题意．
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
≌，
，
，
∽，
，
当、恰好分别是、的黄金分割点时，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】解：点为线段的黄金分割点，，
．
故答案为：．
见答案；
见答案．
由黄金分割点的概念可得出答案；
延长，交于点，由折叠的性质可知，，得出，则，根据勾股定理求出的长，由锐角三角函数的定义可出，即，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质得出，证明∽，得出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：直线与相切，
理由如下：如图，连接，

，，
，，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线，
直线与相切；
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．
 

【解析】连接，由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论；
由锐角三角函数可设，，在中，由勾股定理可求，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数列方程是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形内接于，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：过点作于，
，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】根据圆内接四边形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
过点作于，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，根据正切的定义求出，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：证明：平分，
．
又，，
≌，
，
，
即是的切线；
由可知，，
又，
∽．
，且≌，
：：，
：：．
，
：：．
．
 

【解析】根据证明≌，所以，进而，所以是的切线；
易证∽，因为，且≌，所以：：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：：：，根据正切的定义即可求出的值．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义，证明出∽是解题的关键．
 

19.【答案】解：矩形沿直线折叠，点落在点处，
，，
矩形的对边，
，
，
设与相交于，则，
，
即，
，
又，
∽，
，
设，，则，
在中，，
又，
．
 

【解析】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质有关知识，根据翻折的性质可得，再根据矩形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，设与相交于，根据等角对等边的性质可得，再求出，从而得到和相似，根据相似三角形对应边成比例求出，设，，在中，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对边相等求出，然后代入进行计算即可得解．
 

20.【答案】解：，
．
为直角三角形．
在中， ，， 
，．
， 
 
为直角三角形 
．
 

【解析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
由已知条件得到，在中， ，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
 

21.【答案】解：根据图形有：，
根据折叠的性质，，
即，
而中，有，
易得，
根据折叠的性质，有，
在中，，，
由勾股定理易得：，
则；
故有．
 

【解析】本题考查折叠的性质，同角的余角相等，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识．
根据题意，结合折叠的性质，易得，进而在中，有，，由勾股定理易得的长，根据锐角三角函数的定义，得的值，因为，可得的值．
 

22.【答案】解： 为的中点，
，
，
，
，
在中， ；
 过点作于点，设，

，，
 ，
，，
在中，，
由勾股定理，得，
为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，
即的正切值为．
 

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．
根据等腰三角形两腰相等和线段中点的定义，锐角三角函数的定义即可解答；
过点作于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得，根据线段的和差，可得的长，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为．

 的周长为，，
 
，，
．
 在中，， 
 ；
过点作，垂足为．
 ，
   ．
 在中，．
 ，
即的正切值为．
 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识．
过点作，垂足为，求得，，再利用勾股定理求得，利用锐角三角函数的定义求得答案；
过点作，垂足为，利用三角形的面积求得，利用勾股定理求得，利用锐角三角函数的定义求得答案．