2020-2021重庆市高三数学上期末一模试卷(及答案)

这是一份2020-2021重庆市高三数学上期末一模试卷(及答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．记为等比数列的前项和.若，，则（ ）
A．2B．-4C．2或-4D．4
2．已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．数列满足，则数列的前20项的和为( )
A．100B．-100C．-110D．110
4．已知正数、满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．已知实数、满足约束条件，若目标函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
8．已知数列的前项和为， 则＝( )
A．B．C．D．
9．在中，是角的对边，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则
A．B．C．D．
11．若变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．在等差数列 中， 表示 的前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________．
14．计算：________
15．的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．
16．已知数列的首项，且满足，则=________．
17．已知数列的前项和为，则数列的通项公式______．
18．设满足约束条件，则的最大值为 .
19．已知为数列的前项和，且，，，则______.
20．已知数列()，若，，则 ．
三、解答题
21．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值．
22．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，且，求的最大值.
23．设数列满足，其中.
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大自然数n的值.
24．设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且．
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前项和为，求证：．
25．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
26．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，csB＝－.
(1)求sin A的值；
(2)求的值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】
∵为等比数列的前项和，
，，
∴，解得，
∴，故选B．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．B
解析：B
【解析】
即
对任意都成立，
当时，
当时，
当时，
归纳得：
故选
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列的前项和为，为求的取值范围则根据为奇数和为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
数列{an}满足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{an}满足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．
则数列{an}的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）100．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由已知条件得，对代数式变形，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】
正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则.
因此，实数的最大值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．C
解析：C
【解析】
在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.
【详解】
目标函数，
设，则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率，
若目标函数的最小值为，即的最小值是，
由，得，即的最小值是，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由斜率的意义知过的直线经过时，直线的斜率最小，此时，
得，得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】
由，可得出，
设，则，，则角为最大角，
由余弦定理得，则角为钝角，
因此，为钝角三角形，故选C.
【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用公式计算得到，得到答案.
【详解】
由已知
得，即，
而，所以.
故选B.
【点睛】
本题考查了数列前N项和公式的求法，利用公式是解题的关键.
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：由得，又，由正弦定理可得.
考点：同角关系式、正弦定理．
10．C
解析：C
【解析】
由得，，解得，从而，故选C.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其范围，即可得到答案.
【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由，解得，由，解得，
而的几何意义表示过平面区域内的点与的直线斜率，
结合图象，可得，，
所以的取值范围为，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得，在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，所以，
∴由等差数列的求和公式可得 ，故选C。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
二、填空题
13．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
解析：
【解析】
【分析】
由数列 的前项和为，得时,，得出;验证时是否满足 即可.
【详解】
当时,,
当时,,
又,所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时，需验证时是否满足，是基础题.
14．【解析】【详解】结合等差数列前n项和公式有：则：
解析：
【解析】
【详解】
结合等差数列前n项和公式有：，则：
.
15．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为
解析：
【解析】
由，根据正弦定理得，即，
，
又因为，
所以，
故答案为．
16．512【解析】【分析】利用已知将n换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n（）∴an+1an+2=2n+
解析：512
【解析】
【分析】
利用已知将n换为n+1，再写一个式子，与已知作比，得到数列的各个偶数项成等比，公比为2，再求得，最后利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
∵anan+1=2n，（）
∴an+1an+2=2n+2．（）
∴,（），∴数列的各个奇数项成等比，公比为2，
数列的各个偶数项成等比，公比为2，
又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，
可得：当n为偶数时，
∴a20＝1•29＝512．
故答案为：512．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【解析】【分析】由当n＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验
解析：
【解析】
【分析】
由，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
【详解】
当，且时，
，
又，满足此通项公式，
则数列的通项公式．
故答案为：
【点睛】
本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．
18．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示当目标函数过点A(11)时z取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解
解析：【解析】
.
试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示.当目标函数过点A(1，1)时，z取最大值，最大值为1+4×1=5.
【考点】线性规划及其最优解.
19．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关
解析：853
【解析】
【分析】
由与的关系可得,,即,进而得到是以为首项,为公比的等比数列,可得,令,即可得到的值
【详解】
由题,,即,则
,
,,
是以为首项,为公比的等比数列,
,即
当时,
故答案为：853
【点睛】
本题考查等比数列通项公式,考查由与的关系求,根据,可构造数列为等比数列,公比为
20．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：
【解析】
【分析】
由已知推导出=(，=1+（），从而-=-，由此能求出
【详解】
∵数列满足：，，
∴（）+（）+……+（）=++……+==(，
∴=(；
又+……+（）=1+++……+=1+=1+（），
即=1+（）
∴-=-
∴--，
故答案为：-
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）正弦定理得，，所以；（2）根据面积公式和余弦定理，得，所以.
试题解析：
（Ⅰ）由已知及正弦定理得，
因为 ，所以，即
又，
，所以.
（Ⅱ）由已知，
由余弦定理得 ，即，
即，又所以.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；
（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.
【详解】
（1）由正弦定理及得，
由知，
则，化简得，.
又，因此，；
（2）如下图，由，
又为的中点，则，
等式两边平方得，
所以，
则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
23．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由递推公式凑出与的关系，即可得证
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即可得到的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.
【详解】
解：（Ⅰ）

是首项为，公比为的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
即，
①
②，
①减②得
.
，
单调递增.
，
.
故使成立的最大自然数.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.
24．(1) ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵①，
∴②，
②-①，，
∴，又∵等比数列，，
∴，，
∴，∴数列是为首项，为公差的等差数列，
∴；
（2）由（1）可得，
∴，∴，
即．
考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．
25．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.
【详解】
(1)依题意得y===x+-4.
因为x>0,所以x+≥2.当且仅当x=时,
即x=1时,等号成立.所以y≥-2.
所以当x=1时,y=的最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,
所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.
不妨设g(x)=x2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以 即
解得a≥,则a的取值范围为.
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
26．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求得,再根据正弦定理求得即可；
（2）根据余弦定理解得,再由数量积的定义求解即可
【详解】
（1）,
,
根据正弦定理可得,,即,
（2）根据余弦定理可得,,
即,解得,
【点睛】
本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力