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2020-2021学年北京十三中九年级上学期期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京十三中九年级上学期期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
2．（2分）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5
3．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
4．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B．13 C．12 D．55
5．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=-12x的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a＝b
6．（2分）如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 ．
10．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 ．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=4x（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 ．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
13．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，cosA=13，AB＝6，那么AC＝ ．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
15．（2分）为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE＝2.0米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为 米．
16．（2分）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ．
三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26-28题每题7分）
17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1-2|．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC=92，BD＝2，求AE的长．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y=kx交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 ．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
21．（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
-72
0
52
4
92
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）m的值是 ．
22．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．
23．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
24．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x²﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB=34．
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
①直接写出点O′和A′的坐标；
②若抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y＝x﹣1，y=1x，y＝x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 ．
2020-2021学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标为：（2，3）．
故选：B．
2．（2分）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5
【解答】解：∵DE∥BC，
∴DE：BC＝AD：AB＝2：3；
故选：C．
3．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，
∴其相似比为2：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；
故选：A．
4．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B．13 C．12 D．55
【解答】解：如图，
tan∠CAB=CDAD=12，
故选：C．
5．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=-12x的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a＝b
【解答】解：点A（1，a）在反比例函数y=-12x的图象上，a＝﹣12，
点（3，b）在反比例函数y=-12x的图象上，b＝﹣4，
∴a＜b．
故选：B．
6．（2分）如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解
A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似；
D．不满足相似三角形的判定方法．
故选：D．
7．（2分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=-b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 y＝2（x﹣3）2+2 ．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2+2，
故答案为：y＝2（x﹣3）2+2．
10．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 42 ．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE=22OC＝22，
∴CD＝2CE＝42．
故答案为：42．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=4x（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 2 ．
【解答】解：∵点P为函数y=4x图象上任意一点，
∴可设P（a，4a），
∴AP=-4a，OA＝﹣a，
∴△PAO的面积为：12AP⋅OA=12×(-4a)×(-a)=2，
故答案为：2．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 m＜1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为m＜1．
13．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，cosA=13，AB＝6，那么AC＝ 2 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∵cosA=ACAB，
∵cosA=13，AB＝6，
∴AC=13AB＝2，
故答案为2．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ﹣3和1 ．
【解答】解：如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）．
所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1．
故答案是：﹣3和1．
15．（2分）为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE＝2.0米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为 8 米．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则BEDE=ABCD，即102=AB1.6，
解得：AB＝8米．
故答案为：8．
16．（2分）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 （0，23）或（0，32） ．
【解答】解：∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），
∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，
设P点坐标为（0，t），
∵∠POB＝∠ACB＝90°，
∴当OPBC=OBCA时，△OPB∽△CBA，即|t|2=13，解得t＝±23，此时P点坐标为（0，23），
当OPCA=OBCB时，△OPB∽△CAB，即|t|3=12，，解得t＝±32，此时P点坐标为（0，32），
综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，23）或（0，32）．
故答案为（0，23）或（0，32）．
三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26-28题每题7分）
17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1-2|．
【解答】解：原式＝2×32-2×22+33+2-1，
=3-2+33+2-1，
＝43-1．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC=92，BD＝2，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED．
∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，
∴∠AEC＝∠BDA．
又∵∠DAC＝∠B，
∴△ABD∽△CAE．
（2）∵△ABD∽△CAE，
∴AEBD=ACBA，
∴AE=ACBA•BD=926×2=32．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y=kx交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 （0，1）或（0，﹣7） ．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），
∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，
∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．
∵双曲线y=kx过点N（1，﹣5），
∴k＝﹣5；
（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．
∵y＝﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
即C（0，﹣3），OC＝3．
根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPN
=12PC×2.5+12PC×1＝7，
解得：PC＝4，
∵C（0，﹣3），
∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为（0，1）或（0，﹣7）．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
【解答】解：∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC═∠C＝45°．
∵sinC=ADAC，
∴AD=2．
∴AD＝CD=2．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD=2，
∴AB＝22．
∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=6．
∴BC＝BD+CD=6+2．
21．（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
-72
0
52
4
92
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）m的值是 52 ．
【解答】解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．
依题意可知，顶点（﹣1，92），
∴y＝a（x+1）2+92．
∵（0，4），
∴4＝a（x+1）2+92．
∴a=-12．
∴这个二次函数的表达式为y=-12（x+1）2+92．
（2）当x＝1时，y=-12×4+92=52，
即m=52．
22．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为x．
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE=12CD=4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，
解得 x＝5，
∴⊙O的半径为5．
23．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+40x；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴当x＝10时，y有最大值，y的最大值为200，
即当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．
24．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x²﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 1＜x＜3 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣1＜y＜3 ．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；
（3）当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1＜x＜3时，y＜0．
故答案是：1＜x＜3；
（5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．
故答案是：﹣1＜y＜3．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB=34．
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）∵D是BC的中点，CD＝2，
∴BD＝DC＝2，BC＝4，
在Rt△ACB中，由 tanB=ACCB=34，
∴AC4=34，
∴AC＝3，
由勾股定理得：AD=AC2+CD2=32+22=13，
AB=AC2+BC2=32+42=5；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C＝∠DEB＝90°，
又∠B＝∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴DEAC=DBAB，
∴DE3=25，
∴DE=65，
∴sin∠BAD=DEAD=6513=61365．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
①直接写出点O′和A′的坐标；
②若抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣4mx+4m+3＝m（x2﹣4x+4）+3＝m（x﹣2）2+3，
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）．
（2）由（1）知，A（2，3），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
∴A'（4，3），O'（2，0）；
（3）如图，
∵抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m+3中，得m=-34．
∴-34＜m＜0．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝45°﹣α．
∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；
②结论：AE﹣BE=2EC．
理由：如图1中，过点C作CR⊥CE交AE于R．
∴∠ACB＝∠RCE＝90°，
∴∠ACR＝∠BCE，
∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAR＝∠CBE，
在△ACR和△BCE中，
∠ACR=∠BCECA=CB∠CAR=∠CBE，
∴△ACR≌△BCE（ASA），
∴AR＝BE，CR＝CE，
∴△CER是等腰直角三角形，
∴ER=2CE，
∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝ER=2EC．
（2）①补全图形，如图2所示：
②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA=2EC；理由如下：
过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，
如图3所示：则∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，
即∠ACF＝∠BCE，
∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE，
在△ACF和△BCE中，
∠ACF=∠BCEAC=BC∠CAF=∠CBE，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE，CF＝CE．
∵∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=2EC，
即AF﹣EA=2EC．
∴EB﹣EA=2EC．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y＝x﹣1，y=1x，y＝x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 1≤m≤3或m＜-18 ．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1，令y＝x，则x﹣1＝x，无解；
∴函数y＝x﹣1没有不变值；
∵函数y=1x，令y＝x，则x=1x，解得：x＝±1，
∴函数y=1x的不变值为±1，q＝1﹣（﹣1）＝2，
∵函数y＝x2，令y＝x，则x＝x2，解得：x1＝0，x2＝1，
∴函数y＝x2的不变值为：0或1，q＝1﹣0＝1；
（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∵q＝0，
∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，
解得：b＝﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2=b+12，
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x＝m对称，
∴G：y=x2-2x(x≥m)(2m-x)2-2(2m-x)(x＜m)，
∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；
当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，
当Δ＜0，即m＜-18时，q＝x4﹣x3＝3；
当△≥0，即m≥-18时，x5=4m-1+1+8m2，x6=4m-1-1+8m2，
①当-18≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，
∴x6＜0，
∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；
当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；
当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），
此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜-18．
2020-2021学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
2．（2分）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5
3．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
4．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B．13 C．12 D．55
5．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=-12x的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a＝b
6．（2分）如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 ．
10．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 ．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=4x（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 ．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
13．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，cosA=13，AB＝6，那么AC＝ ．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
15．（2分）为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE＝2.0米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为 米．
16．（2分）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ．
三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26-28题每题7分）
17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1-2|．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC=92，BD＝2，求AE的长．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y=kx交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 ．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
21．（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
-72
0
52
4
92
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）m的值是 ．
22．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．
23．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
24．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x²﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB=34．
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
①直接写出点O′和A′的坐标；
②若抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y＝x﹣1，y=1x，y＝x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 ．
2020-2021学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标为：（2，3）．
故选：B．
2．（2分）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5
【解答】解：∵DE∥BC，
∴DE：BC＝AD：AB＝2：3；
故选：C．
3．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，
∴其相似比为2：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；
故选：A．
4．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B．13 C．12 D．55
【解答】解：如图，
tan∠CAB=CDAD=12，
故选：C．
5．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=-12x的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a＝b
【解答】解：点A（1，a）在反比例函数y=-12x的图象上，a＝﹣12，
点（3，b）在反比例函数y=-12x的图象上，b＝﹣4，
∴a＜b．
故选：B．
6．（2分）如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解
A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似；
D．不满足相似三角形的判定方法．
故选：D．
7．（2分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=-b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 y＝2（x﹣3）2+2 ．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2+2，
故答案为：y＝2（x﹣3）2+2．
10．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 42 ．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE=22OC＝22，
∴CD＝2CE＝42．
故答案为：42．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=4x（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 2 ．
【解答】解：∵点P为函数y=4x图象上任意一点，
∴可设P（a，4a），
∴AP=-4a，OA＝﹣a，
∴△PAO的面积为：12AP⋅OA=12×(-4a)×(-a)=2，
故答案为：2．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 m＜1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为m＜1．
13．（2分）已知在△ABC中，∠C＝90°，cosA=13，AB＝6，那么AC＝ 2 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∵cosA=ACAB，
∵cosA=13，AB＝6，
∴AC=13AB＝2，
故答案为2．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ﹣3和1 ．
【解答】解：如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）．
所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1．
故答案是：﹣3和1．
15．（2分）为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE＝2.0米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为 8 米．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则BEDE=ABCD，即102=AB1.6，
解得：AB＝8米．
故答案为：8．
16．（2分）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 （0，23）或（0，32） ．
【解答】解：∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），
∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，
设P点坐标为（0，t），
∵∠POB＝∠ACB＝90°，
∴当OPBC=OBCA时，△OPB∽△CBA，即|t|2=13，解得t＝±23，此时P点坐标为（0，23），
当OPCA=OBCB时，△OPB∽△CAB，即|t|3=12，，解得t＝±32，此时P点坐标为（0，32），
综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，23）或（0，32）．
故答案为（0，23）或（0，32）．
三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26-28题每题7分）
17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1-2|．
【解答】解：原式＝2×32-2×22+33+2-1，
=3-2+33+2-1，
＝43-1．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC=92，BD＝2，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED．
∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，
∴∠AEC＝∠BDA．
又∵∠DAC＝∠B，
∴△ABD∽△CAE．
（2）∵△ABD∽△CAE，
∴AEBD=ACBA，
∴AE=ACBA•BD=926×2=32．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y=kx交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 （0，1）或（0，﹣7） ．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），
∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，
∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．
∵双曲线y=kx过点N（1，﹣5），
∴k＝﹣5；
（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．
∵y＝﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
即C（0，﹣3），OC＝3．
根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPN
=12PC×2.5+12PC×1＝7，
解得：PC＝4，
∵C（0，﹣3），
∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为（0，1）或（0，﹣7）．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
【解答】解：∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC═∠C＝45°．
∵sinC=ADAC，
∴AD=2．
∴AD＝CD=2．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD=2，
∴AB＝22．
∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=6．
∴BC＝BD+CD=6+2．
21．（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
-72
0
52
4
92
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）m的值是 52 ．
【解答】解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．
依题意可知，顶点（﹣1，92），
∴y＝a（x+1）2+92．
∵（0，4），
∴4＝a（x+1）2+92．
∴a=-12．
∴这个二次函数的表达式为y=-12（x+1）2+92．
（2）当x＝1时，y=-12×4+92=52，
即m=52．
22．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为x．
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE=12CD=4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，
解得 x＝5，
∴⊙O的半径为5．
23．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+40x；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴当x＝10时，y有最大值，y的最大值为200，
即当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．
24．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x²﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 1＜x＜3 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣1＜y＜3 ．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；
（3）当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1＜x＜3时，y＜0．
故答案是：1＜x＜3；
（5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．
故答案是：﹣1＜y＜3．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB=34．
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）∵D是BC的中点，CD＝2，
∴BD＝DC＝2，BC＝4，
在Rt△ACB中，由 tanB=ACCB=34，
∴AC4=34，
∴AC＝3，
由勾股定理得：AD=AC2+CD2=32+22=13，
AB=AC2+BC2=32+42=5；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C＝∠DEB＝90°，
又∠B＝∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴DEAC=DBAB，
∴DE3=25，
∴DE=65，
∴sin∠BAD=DEAD=6513=61365．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
①直接写出点O′和A′的坐标；
②若抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣4mx+4m+3＝m（x2﹣4x+4）+3＝m（x﹣2）2+3，
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）．
（2）由（1）知，A（2，3），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
∴A'（4，3），O'（2，0）；
（3）如图，
∵抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m+3中，得m=-34．
∴-34＜m＜0．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝45°﹣α．
∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；
②结论：AE﹣BE=2EC．
理由：如图1中，过点C作CR⊥CE交AE于R．
∴∠ACB＝∠RCE＝90°，
∴∠ACR＝∠BCE，
∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAR＝∠CBE，
在△ACR和△BCE中，
∠ACR=∠BCECA=CB∠CAR=∠CBE，
∴△ACR≌△BCE（ASA），
∴AR＝BE，CR＝CE，
∴△CER是等腰直角三角形，
∴ER=2CE，
∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝ER=2EC．
（2）①补全图形，如图2所示：
②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA=2EC；理由如下：
过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，
如图3所示：则∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，
即∠ACF＝∠BCE，
∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE，
在△ACF和△BCE中，
∠ACF=∠BCEAC=BC∠CAF=∠CBE，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE，CF＝CE．
∵∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=2EC，
即AF﹣EA=2EC．
∴EB﹣EA=2EC．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y＝x﹣1，y=1x，y＝x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 1≤m≤3或m＜-18 ．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1，令y＝x，则x﹣1＝x，无解；
∴函数y＝x﹣1没有不变值；
∵函数y=1x，令y＝x，则x=1x，解得：x＝±1，
∴函数y=1x的不变值为±1，q＝1﹣（﹣1）＝2，
∵函数y＝x2，令y＝x，则x＝x2，解得：x1＝0，x2＝1，
∴函数y＝x2的不变值为：0或1，q＝1﹣0＝1；
（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∵q＝0，
∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，
解得：b＝﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2=b+12，
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x＝m对称，
∴G：y=x2-2x(x≥m)(2m-x)2-2(2m-x)(x＜m)，
∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；
当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，
当Δ＜0，即m＜-18时，q＝x4﹣x3＝3；
当△≥0，即m≥-18时，x5=4m-1+1+8m2，x6=4m-1-1+8m2，
①当-18≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，
∴x6＜0，
∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；
当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；
当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），
此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜-18．
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