2023-2024学年北京十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 0.5C. 3D. 12
2.如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，且AB=BE，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，如果∠F=70°，那么∠B的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 70°
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. (−3)2=−3D. 6÷ 3= 2
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=30°，BD=2 3，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 3
5.如图，直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2相交于点M(23,−2)，则关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为( )
A. x=23y=−2
B. x=−2y=23
C. x=23y=2
D. x=−2y=−23
6.在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a2=(c−b)(c+b)B. a=1，b=2，c=3
C. ∠A=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7.已知一次函数y=−x+2，那么下列结论正确的是( )
A. y的值随x的值增大而增大B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点(0,2)D. 当x<2时，y<0
8.如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN//HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′.下列说法中错误的是( )
A. S四边形MM′KN′=S四边形ABCDB. HM=NF
C. 四边形MM′KN′是平行四边形D. ∠K=∠AHM′
二、填空题：本题共7小题，每小题2分，共14分。
9.函数y= x−6的定义域是______．
10.请写出一个不经过第四象限的一次函数解析式______．
11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形ABCD是正方形．
12.菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为 cm．
13.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是一次函数y=kx+3的图象上两点，当x1y2，那么k的值可以是
______(写出一个满足题意k的值即可)．
14.如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB=4，BC=8，则DE的长为______．
15.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为 ．
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题20分)
计算：
(1) 12+ 3− 48；
(2) 2× 8− 13× 27
(3)( 5−1)2−(3 2−2 3)(3 2+2 3)
(4)已知：x= 2−1，求代数式x2+2x+1的值．
17.(本小题8分)
下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：
①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点D；
②连接DA，DC．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小阳设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是______(______).
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(______).
18.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE=CF．
(说明：写出证明过程中的重要依据)
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(−1,3)，P(x,y)是一次函数图象上一点
(1)求一次函数的解析式；
(2)写出图象与x轴、y轴的交点的坐标，并画出一次函数图象；
(3)当y>0时，直接写出x的取值范围；
(4)已知点A(−3,0)，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
20.(本小题6分)
下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中一种方法，完成证明．
21.(本小题6分)
已知：如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD=BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果AB=2，∠BAD=60°，求DE的长．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(−4,−1)，(2,2)．
(1)求函数y=kx+b(k≠0)的解析式；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，写出n的取值范围．
23.(本小题6分)
如图，正方形ABCD.过点B作射线BP，交DA的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE.其中AE，CE分别与射线BP交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠ABP=α，∠AEB= ______(用含α的式子表示)，∠AEC= ______°；
(3)若EH=BH，用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明．
24.(本小题8分)
阅读材料：在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A(x1,0)，B(x2,0)的距离记作AB=|x1−x2|.若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1−x2|，BQ=|y1−y2|，∴AB2=AQ2+BQ2=|x1−x2|2+|y1−y2|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)间的距离公式为：AB= ______；

(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,−3)，B(−2,1)之间的距离为______；
(2)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“关联菱形”.例如，图1中的四边形ABCD为点A，C的“关联菱形”．
已知点M(1,1)，点P(a,a)．
(1)当a=3时，
①在点E(2,1)，F(1,3)，G(−1,5)中，点______能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点；
②当点M，P的“关联菱形”MNPQ的面积为8时，求点N的坐标．
(2)已知直线y=−2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB≤5，且点A是点M，P的“关联菱形”的顶点，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 13= 33不是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、 0.5= 12= 22不是最简二次根式，故此选项不合题意；
C、 3是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、 12=2 3不是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，∠B=∠D，
∴∠1=∠F=70°．
∵AB=BE，
∴∠1=∠3=70°，
∴∠B=40°，
故选：B．
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠1=∠3，进而得出其度数，利用平行四边形对角相等得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2 3− 3= 3，故B不符合题意；
C、 (−3)2=3，故C不符合题意；
D、 6÷ 3= 2，故D符合题意；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD，
∵BD=2 3，
∴OB= 3，
∵∠ABD=30°，
∴OA=12AB，
∵AB2−OA2=OB2，
∴AB2−(12AB)2=( 3)2，
∴AB=2．
故选：B．
由菱形的性质，得到AC⊥BD，OB=12BD= 3，由直角三角形的性质得到OA=12AB，由勾股定理即可求出AB的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到OB= 3，由直角三角形的性质，勾股定理即可求出AB的长．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，可得方程组y=k1x+b1y=k2x+b2，
根据函数图象与方程组解的关系可知，函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2相交于点M(23,−2)得x=23y=−2，
故选：A．
根据直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2相交于点M(23,−2)，即可确定方程组，直接求解即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系：函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.∵a2=(c−b)(c+b)，
∴a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+22=1+4=5，32=9，
∴12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵∠A=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°<90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
求出a2+b2=c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7.【答案】C
【解析】解：A、由于一次函数y=−x+2的k=−1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=−x+2的k=−1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将(0,2)代入y=−x+2中得2=0+2，等式成立，所以(0,2)在y=−x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=−x+2的k=−1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故选：C．
根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵四边形AEN′F′与四边形BENF全等，四边形GDHM与四边形G′AHM′全等，
∴S四边形CGNF与S四边形AG′KF′全等，
∴四边形MM′KN′的面积=四边形ABCD的面积，
故A正确；
顺次连接EFGH，连接HF交EG于点O，得▱EFGH，于是OH=OF，
可得△NOF≌△MOH，所以NF=MH，
故B正确；
由对称性可得：∠M′=∠HMG，
∴MN′//KM′，
∵N′F′//NF//HM，
∴四边形MM′KN′是平行四边形，
故C正确；
∵四边形MM′KN′是平行四边形，
∴∠K=∠HMN，
∵AD不一定平行于MN，
∴∠HMN不一定等于∠AHM′，
∴∠K不一定等于∠AHM′，
故D不正确，
故答案为：D．
证明S四边形CGNF与S四边形AG′KF′全等，从而A正确；根据对称或全等得出B正确；根据MN′//KM′，N′F′//NF//HM，得出C正确；∠K=∠NMH≠∠AHM′，得出D错误．
本题考查了平行四边形的判定和性质，图形的剪拼等知识，解决问题的关键是掌握有关知识．
9.【答案】x≥6
【解析】【分析】
本题考查的知识点为二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，列不等式求解．
【解答】
解：根据题意得：x−6≥0，解得x≥6．
故答案为x≥6．
10.【答案】y=2x+3(答案不唯一)
【解析】解：∵次函数的图象不经过第四象限，
∴k>0，b≥0，
∴一次函数关系式可写为：如y=2x+3(答案不唯一)．
故答案为：y=2x+3(答案不唯一)．
根据经过二、三、四象限的一次函数k>0，b≥0即可求解．
本题考查了一次函数的性质，能够根据直线所经过的象限正确判断k，b的符号是解题的关键．
11.【答案】AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)
【解析】解：AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
根据正方形的判定方法添加即可．
题考查了正方形的判断，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=24cm2，
即AC⋅BD=6AC=48，
∴AC=8，
即AC的长为8cm，
故答案为：8．
由菱形面积公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键．
13.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵A(x1,y1)，B(x2,y2)是一次函数y=kx+3的图象上两点，
当x1y2，
∴k<0，
∴k取−1(答案不唯一)．
故答案为−1．
根据一次函数图象上点的特征由当x1y2，可判定k<0，即可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的特征，由当x1y2确定k的符号是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠A=90°，AB=CD=4，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC=∠DBE，
∵AD/​/BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
设AE=x，则DE=AD−AE=8−x，BE=8−x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，
即x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
∴DE=8−3=5，
故答案为：5．
先根据折叠的性质得到∠DBC=∠DBE，再由AD//BC得到∠DBC=∠BDE，则∠DBE=∠BDE，可判断BE=DE，设AE=x，则DE=AD−AE=8−x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+42=(8−x)2，再解方程即可得出AE以及DE的长．
本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【解答】
解：每个直角三角形的面积是
(14×14−2×2)÷8
=(196−4)÷8
=192÷8
=24，
正方形EFGH的面积是
24×4+2×2
=96+4
=100，
则正方形EFGH的边长为10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
16.【答案】解：(1) 12+ 3− 48
=2 3+ 3−4 3
=− 3；
(2) 2× 8− 13× 27
= 16− 9
=4−3
=1；
(3)( 5−1)2−(3 2−2 3)(3 2+2 3)
=5−2 5+1−(18−12)
=5−2 5+1−6
=−2 5；
(4)∵x= 2−1，
∴x2+2x+1=(x+1)2=( 2−1+1)2=( 2)2=2．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可；
(2)先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
(3)先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
(4)先把x2+2x+1化为(x+1)2，再代入计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
17.【答案】平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (有一个内角为直角的平行四边形为矩形)
【解析】解：(1)如图，矩形ABCD为所作；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(有一个内角为直角的平行四边形为矩形)．
故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个内角为直角的平行四边形为矩形．
(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)利用作法先证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用∠B=90°可判断四边形ABCD是矩形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与性质．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD(平行四边形对边平行且相等)，
∴∠BAE=∠DCF(两直线平行内错角相等)，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°(垂直定义)，
∴∠ABE=∠CDF(等角的余角相等)，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)．
【解析】可以把要证明相等的线段AE、CF分别放到两个三角形中，即△ABE和△CDF中，寻找它们全等的条件(ASA)，得出对应边相等AE=CF．
此题主要考查平行四边形的性质及三角形全等的判定等知识．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴一次函数为y=2x+b，
∵一次函数y=2x+b经过点(−1,3)，
∴−2+b=3，
∴b=5，
∴一次函数为y=2x+5；
(2)当x=0时，y=5，
当y=0时，2x+5=0，
∴x=−52，
∴图象与x轴、y轴的交点的坐标分别为(−52,0)，(0,5)，
画图如下：

(3)由函数图象可得：当y>0时，x>−52；
(4)如图，∵P(x,y)，A(−3,0)，

∴P(x,2x+5)，
∵S△OPA=6，
∴12×3×|2x+5|=6，
解得：x=−12或x=−92，
当x=−12时，y=2x+5=4，
当x=−92时，y=2x+5=−4，
∴P(−12,4)或P(−92,−4)．
【解析】(1)由平移的性质可得k=2，再代入(−1,3)即可得到解析式；
(2)当x=0时，y=5，当y=0时，x=−52，可得交点坐标，再画图即可；
(3)直接根据函数图象可得答案；
(4)由P(x,2x+5)，A(−3,0)，再利用△OPA 的面积为6，建立方程求解P的坐标即可．
本题考查的是一次函数图象的平移，画一次函数的图象，利用图象与坐标轴的交点坐标解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
20.【答案】解：方法一：如图，延长CD到点E，使得DE=CD，连接AE、BE，

∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB=CE，
∵CD=DE=12CE，
∴CD=12AB；
方法二：如图，取BC的中点E，连接DE，

∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/AC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∵AD=BD=12AB，
∴CD=12AB．
【解析】方法一：延长CD到点E，使得DE=CD，连接AE、BE，根据线段中点的定义可得AD=BD，从而可得四边形ACBE是平行四边形，进而可得四边形ACBE是矩形，然后利用矩形的性质可得AB=CE，从而可得CD=12AB，即可解答；
方法二：取BC的中点E，连接DE，从而可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DE/​/AC，从而可得∠DEB=∠ACB=90°，进而可得DE是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得CD=DB，从而可得CD=12AB，即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AB=BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO=CO，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠ABD=∠CBD，
∴∠BOC=∠AOB=90°，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=12∠BAD=30°，
∵AB=2，BO=DO，
∴BO=DO=12AB=1，
即BD=1+1=2，
∵∠AOB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABO=60°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=30°，
∴BE=2BD=4，
由勾股定理得：DE= BE2−BD2= 42−22=2 3．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出BD⊥AC，AO=CO，根据菱形的判定得出即可；
(2)求出∠BAO=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BO，求出BD，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，再根据勾股定理求出DE即可．
本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(−4,−1)，(2,2)．
∴−4k+b=−12k+b=2，
解得：k=12b=1，
∴一次函数为y=12x+1，
(2)将x=−2代入y=12x+1，得y=12×(−2)+1=0，
即直线y=12x+1过点(−2,0)，
把点(−2,0)代入y=x+n，可得n=2，

∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=12x+1的值，
∴n≥2．
【解析】(1)先根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(−4,−1)，(2,2)，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)根据点(−2,0)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】90°−α 45
【解析】解：(1)如图所示，
(2)∵点A关于直线BP的对称点为E，
∴BP垂直平分AE，
∴BE=AB，AE⊥BP，
∴∠AEB=∠BAE=90°−α；
∴∠EBG=∠ABP=α，
∴∠EBC=∠EBP+∠ABP+∠ABC=2α+90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BE=AB，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=12(180°−∠ECB)=45°−α；
∴∠AEC=∠AEB−∠BEC=45°；
故答案为：90°−α，45；
(3)EC=( 2+1)AE，
证明：如图所示，过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，
∵∠AEH=45°，∠EGH=45°，
∴∠EHG=45°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，
∴EH=BH= 2a，
∴GB=GH+BH=a+ 2a，
∴BE= EG2+BG2= 4+2 2a，
∴BC=BE= 4+2 2a，
∵∠EHG=45°，EH=BH，
△EMB是等腰直角三角形，
∴EC= ME2+MC2=(2 2+2)a.
∵AE=2a，
∴EC=( 2+1)AE．
(1)根据题意补全图形即可；
(2)首先根据题意得到BP垂直平分AE，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
(3)过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，根据勾股定理表示出BC=BE= EG2+BG2= 4+2 2a，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC= ME2+MC2=(2 2+2)a，进而求解即可．
本题考查了四边形综合，等腰直角三角形，线段垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识．
24.【答案】 (x1−x2)2+(y1−y2)2； 5
【解析】解：∵AB2=AQ2+BQ2=|x1−x2|2+|y1−y2|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，
∴AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2；
故答案为： (x1−x2)2+(y1−y2)2；
(1)点A(1,−3)，B(−2,1)之间的距离为：AB= (−2−1)2+[1−(−3)]2= 9+16= 25=5；
故答案为：5；
(2)如图，作A(0,3)关于x轴的对称点A′(0,−3)，连接A′B交x轴于P，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B，此时PA+PB最小，
最小值为A′B= (4−0)2+[1−(−3)]2= 32=4 2，
设A′B为y=kx+b，
∴b=−34k+b=1，
解得：k=1b=−3，
∴A′B为y=x−3，
当y=0，则x=3，
∴P(3,0)．
(1)直接利用两点之间的距离公式计算即可；
(2)如图，作A(0,3)关于x轴的对称点A′(0,−3)，连接A′B交x轴于P，PA+PB=PA′+PB=A′B，此时PA+PB最小，再利用两点之间的距离公式计算即可；求解A′B为y=x−3，可得P(3,0)．
本题考查的是新定义运算的含义，勾股定理的应用，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意是关键．
25.【答案】F，G
【解析】解：(1)①如图，
∵M(1,1)，P(3,3)．
∴PM中点的坐标为(2,2)，
由菱形的对角线互相垂直平分可知，能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+k上，且过点(2,2)，
∴2=−2+k，
解得：k=4，
∴能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+4上，
故满足该条件点为F，G；
故答案为：F，G；
②如图，设PM的中点为H，则H(2,2)，
∴MH= (2−1)2+(2−1)2= 2，
结合①可知，点M，N在直线y=−x+4上，
∵点M，P的“关联菱形”MNPQ的面积为8，
∴S△MHN=14S菱形MNPQ=12MH⋅HN=2，即12⋅ 2⋅HN=2，
∴HN=2 2，
设N(t,−t+4)，
∴HN2=(t−2)2+(−t+4−2)2=(2 2)2，
解得：t1=0，t2=4，
∴N(0,4)或(4,0)；
(2)∵直线y=−2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(b2,0)，B(0,b)，
∴AB= (b2−0)2+(0−b)2= 52|b|，
∵AB≤5，
∴ 52|b|≤5，
∴−2 5≤b≤2 5，
设点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+c上，
当直线过点M(1,1)时，则y=−x+2，
∵点A(b2,0)是点M，P的“关联菱形”的顶点，
∴0=−b2+2，
解得：b=4，此时无法构成菱形，
当b=0时，A(0,0)在直线y=x上，此时也无法构成菱形，
∴−2 5≤b≤2 5，且b≠0，4，
设PM的中点为Q，则Q(a+12,a+12)，
则a+12=−a+12+c，
解得：c=a+1，
∴点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+a+1上，
∵点A(b2,0)是点M，P的“关联菱形”的顶点，
∴b2=a+1，
∴a=b2−1，
∵−2 5≤b≤2 5，且b≠0，4，
∴− 5−1≤a≤ 5−1，且a≠−1，1．
(1)①根据“关联菱形”的定义即可求解；
②设PM的中点为H，则H(2,2)，由①可知点M，N在直线y=−x+4上，由菱形的性质可得S△MHN=14S菱形MNPQ=12MH⋅HN=2，进而求出HN的长，设N(t,−t+4)，最后利用两点间距离公式建立方程求解即可；
(2)由题意可得A(b2,0)，B(0,b)，于是得到AB= 52|b|≤5，求得−2 5≤b≤2 5，设点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+c上，要使“关联菱形”存在，则点A不在直线y=−x+4和y=x上，以此可得，b≠0，4，设PM的中点为Q，则Q(a+12,a+12)，求得点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y=−x+a+1上，再将点A(b2,0)代入得到a=b2−1，以此即可得a的取值范围．
本题主要考查函数中的新定义问题、菱形的性质、两点间的距离公式、两直线垂直在函数中的应用，熟练掌握菱形的性质，利用菱形的对角线互相垂直平分正确设出“关联菱形”的顶点所在直线的解析式是解题关键．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．
求证：CD=12AB
方法一
证明：如图，延长CD到点E，使得DE=CD，连接AE、BE．
方法二
证明：如图，取BC的中点E，连接DE．