湘教版必修23.3三角函数的图像与性质教学设计

第二十七教时

教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域

目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。

过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质：

1．  定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R

2．  值域：

  1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1  （有界性）

   再看正弦函数线（图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]

2对于y=sinx  当且仅当x=2k+ kZ时 ymax=1

当且仅当时x=2k- kZ时 ymin=-1

对于y=cosx 当且仅当x=2k  kZ时 ymax=1

当且仅当x=2k+  kZ时 ymin=-1

3．  观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知

当2k<x<(2k+1)  (kZ)时 y=sinx>0

当(2k-1)<x< 2k  (kZ)时 y=sinx<0

当2k-<x<2k+  (kZ)时 y=cosx>0

当2k+<x<2k+  (kZ)时 y=cosx<0

三、例题：

例一 （P53  例二）略

例二  直接写出下列函数的定义域、值域：

   1   y=            2 y=

解：1当x2k- kZ时函数有意义，值域:[ +∞]

2 x[2k+, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, ]

例三  求下列函数的最值：

   1 y=sin(3x+)-1    2 y=sin2x-4sinx+5   3 y=

解：1 当3x+=2k+即 x= (kZ)时ymax=0

当3x+=2k-即x= (kZ)时ymin=-2

2 y=(sinx-2)2+1  ∴当x=2k- kZ时ymax=10

当x=2k- kZ时ymin= 2

3 y=-1+ 当x=2k+  kZ时 ymax=2

当x=2k  kZ时 ymin=

例四、函数y=ksinx+b的最大值为2,  最小值为-4，求k,b的值。

解：当k>0时

当k<0时 （矛盾舍去）

∴k=3  b=-1

例五、求下列函数的定义域：

   1 y=   2 y=lg(2sinx+1)+   3 y=

解：1  ∵3cosx-1-2cos2x≥0    ∴≤cosx≤1

∴定义域为：[2k-, 2k+]  (kZ)

2

  ∴定义域为：

        3 ∵cos(sinx)≥0  ∴ 2k-≤x≤2k+ (kZ)

          ∵-1≤sinx≤1     ∴xR        ≤y≤1