考点07 对称性（练习）（解析版）

考点7 对称性

【题组一 对称轴】

1．定义在上的奇函数满足，且当时，，则    .

【答案】-1

【解析】∵定义在上的奇函数，，
，可得．
则的周期是4，，
2．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则   .

【答案】1

【解析】因为，所以函数为偶函数

所以，即

所以周期，

3．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则  .

【答案】1

【解析】奇函数 的定义域为，若为偶函数，

，且，

则，则，

则函数的周期是8，且函数关于对称，

则（1），

，则，

4．已知函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+2），且f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，则f（﹣1）、f（1）、f（4）的大小关系               。

【答案】f（1）＞f（﹣1）＞f（4）

【解析】由f（x）＝f（﹣x+2），f（4）＝f（-2），

f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，所以f（1）＞f（﹣1）＞f（-2）＝f（4）.

5．已知偶函数，当时，． 设，，，则的大小关系      。

【答案】

【解析】因为函数为偶函数，所以，

即函数的图象关于直线对称，即，

又因为当时，，所以函数

 在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，即.

6．对于任意，函数满足，且当时，，若，，，则，，之间的大小关系是    ，

【答案】

【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，

当时，，因为函数和都在上单调递增，

所以函数在上单调递增.

则，，

因为，所以，即，

所以，即.

【题组二 对称中心】

1．已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是     。

【答案】

【解析】设，任意给点关于的对称点为，
由，

又，观察系数可得：，解这个方程组得到，
2．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为    。

【答案】

【解析】∵，∴当时，，

∴根据对称中心的定义，可得当时，恒有，

∴

．

3．函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则      。

【答案】2

【解析】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，

则有，

又由函数的图象关于点成中心对称，则，

则有，即，

变形可得，则函数是周期为8的周期函数，

；

4．奇函数的图象关于点对称，，则__________．

【答案】2

【解析】由题设有，

从而有，为周期函数且周期为，所以 .

5．函数的图像的对称中心是,则实数______

【答案】3

【解析】由题意，其图象对称中心是，∴，．故答案为：3.

6．设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到     .

【答案】

【解析】由知当时，.，，，，，，则

.

【题组三 函数性质综合运用】

1．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是 。

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵函数满足，∴=，

∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），

又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），

又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，

且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）

即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）

2．设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是     。

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，所以.因为，且当时，为减函数，所以.

3．已知函数，则的值为（    ）．

A．7 B．9 C．14 D．18

【答案】D

【解析】由题,,则

,

因为,则,

所以.

则故选：D

4．已知函数满足，且对任意的时，恒有成立，则当时，实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得函数关于对称，

任意的时，恒有，

当时，函数为增函数，

由对称性可知当时，函数为减函数，

，，

则不等式等价为，

解得，即故选：．

5．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（　　）

A．（1，+∞）    B．（﹣1，1）

C．（﹣∞，﹣1）    D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【答案】B

【解析】分析：由对称性可得f（2）=0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，讨论x+1≥1，x+1＜1，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．

详解：由f（x）的图象关于x=1对称，f（0）=0，

可得f（2）=f（0）=0，

当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），

由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：

x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①

当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），

由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：

x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②

由①②，可得解集为（﹣1，1）．

故选：B．

6．关于函数有下述四个结论：

①在单调递增    ②的图像关于直线对称

③的图像关于点对称    ④的值域为R

其中正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

的定义域是，，

令

所以在单调递增，

在单调递增，且值域为R

又因为，

所以，

所以①③④正确，②是错误的.