解密05 空间几何体的表面积和体积（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版）

解密05 空间几何体的表面积和体积

A组 考点专练

一、选择题

1.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为(　　)

A.16π   B.8π   C.   D.

【答案】A

【解析】∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为5×＝8π，设底面圆半径为r，弧长8π＝底面周长＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥体积V＝×π×r2×h＝16π.

2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为(　　)

A.π   B.2π   C.π   D.π

【答案】B

【解析】取AB的中点D，取B1A1的中点D1，连接DD1，设O是线段DD1的中点，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，M为AC中点，∴BM⊥AC.因此BD＝DM＝DA＝D1B1，从而OB1＝OB＝OA＝OM，故O为三棱锥B1－ABM的外接球心，∴R2＝OB2＝OD2＋BD2＝＋＝，故三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝2π.

3.已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，点D是PB的中点，且CD＝，则球O的体积为(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】C

【解析】依题意，由PA＝AC＝2，CP＝2，得AP⊥AC.

连接AD，由点D是PB的中点且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝，

又CD＝，AC＝2，可知AD⊥AC，

又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.

以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距离d＝AC＝1.

由正弦定理得△PAB的外接圆半径r＝＝，

所以球O的半径R＝＝.

故球O的体积V＝πR3＝π××＝π.

4.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)

A.AC⊥AF

B.EF∥平面ABCD

C.三棱锥A－BEF的体积为定值

D.△AEF的面积与△BEF的面积相等

【答案】AD

【解析】由题意及图形知，当点F与点B1重合时，∠CAF＝60°，故A错误；由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF⊂平面A1B1C1D1，知EF∥平面ABCD，故B正确；由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，点A到平面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确；由图形可以看出，B到直线EF的距离与A与直线EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误.故选AD.

5.(多选题)长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则(　　)

A.长方体的表面积为20

B.长方体的体积为6

C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3

D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2

【答案】BC

【解析】长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误.长方体的体积为3×2×1＝6，B正确.如图1所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，如图2所示.

连接AC1，则有AC1＝＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时，A到C1的最短距离是；将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，如图3所示，连接AC1，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时，A到C1的最短距离是3；将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，如图4所示.

连接AC1，则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时，A到C1的最短距离是2.因为3<2<，所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3，C正确，D错误.故选BC.

二、填空题

6.【2020浙江卷】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.

【答案】1

【解析】如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.

7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________.

【答案】

【解析】法一：连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1－BB1D1D的高，且A1E＝，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1－BB1D1D＝×1××＝.

法二：连接BD1，将四棱锥A1－BB1D1D分成两个三棱锥B－A1DD1与B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.

8.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽籺”，故称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图(1)的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为________.

【答案】　

【解析】由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1，则正四面体的高为＝，所以正四面体的体积为××1××＝.

因为该六面体的体积是正四面体体积的2倍，所以该六面体的体积是.要使球的体积达到最大，则球与该六面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个顶点，把六面体分成了六个全等的三棱锥.设球的半径为R，则＝6×，解得R＝，所以球的体积V＝R3＝×＝.

三、解答题

9.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.

(1)证明：A1O⊥平面ABC；

(2)求三棱锥C1－ABC的体积.

【解析】(1)因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC，

又面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC.

(2)∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.

由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝，

∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M为PC的中点.

(1)证明：DM∥平面PAB；

(2)求四面体MABD的体积.

【解析】(1)取PB中点N，连接MN，AN.

∵M为PC的中点，∴MN∥BC且MN＝BC，

又AD∥BC，且AD＝BC，得MN平行相等AD.

∴ADMN为平行四边形，∴DM∥AN.

又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB.

(2)取AB中点O，连接PO，∵PA＝PB，∴PO⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，

则PO⊥平面ABCD，取BC中点H，连接AH，

∵AB＝AC，∴AH⊥BC，又∵AD∥BC，∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2，

∴AO＝1，又AD＝1，

△AOD中，由余弦定理知，OD＝.

Rt△POD中，PO＝＝.

又S△ABD＝AB·ADsin 120°＝，

∴VM－ABD＝·S△ABD·PO＝.

B组  专题综合练

11.三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)

A.23π   B.π   C.64π   D.π

【答案】D

【解析】如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点.由平面PAC⊥平面ABC.则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.

(1)求证：AE∥平面PBC；

(2)求三棱锥P－EBC的体积.

【解析】(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，

∵PE＝DE，PF＝CF，

∴EF∥CD，CD＝2EF，

∵AB∥CD，CD＝2AB，

∴AB∥EF，且EF＝AB.

∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.

∵BF⊂平面PBC，AE⊄平面PBC.

故AE∥平面PBC.

(2)由(1)知AE∥平面PBC，

∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，

∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.

如图，取AB的中点O，连接PO，

∵PA＝PB，∴OP⊥AB.

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，

∴OP⊥平面ABCD.

∵△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，

∴OP＝1.

∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，

∴梯形ABCD的高为1，

∴S△ABC＝×2×1＝1.

故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.