解密07 空间几何中的向量方法（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版）

这是一份解密07 空间几何中的向量方法（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

解密07 空间几何中的向量方法
A组 考点专练
一、选择题
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).则cos〈，〉＝eq \f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(DB1,\s\up6(→))|)＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).

所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0).
设平面ACM的法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥，
可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).
设CD与平面ACM所成的角为α，
则sin α＝＝.
3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设N为线段ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)

A.λ B. C.λ D.
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1).
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得z＝2，则n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量.
则点M到平面D1EF的距离d＝＝＝.
因为N为线段EM的中点，所以点N到平面D1EF的距离为，故选D.
4.(多选题)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，下列结论正确的是(　　)

A.EC⊥AF
B.该几何体外接球的表面积为3π
C.若G为线段EC的中点，则GB∥平面AEF
D.AG2＋BG2的最小值为3
【答案】ABC
【解析】如图，几何体可补成正方体，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D－xyz，由正方体的性质可知EC⊥AF，故A正确；

该几何体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径为正方体的体对角线长，所以该几何体的外接球的半径为，即外接球的表面积为3π，故B正确；
连接HC，BG，由正方体性质可知，HC⊥平面AEF，所以即为平面AEF的一个法向量，H(1，0，1)，C(0，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，若G为线段EC的中点，则G，B(1，1，0)，则＝，因为·＝0，又GB⊄平面AEF，所以GB∥平面AEF，故C正确；
设G(0，t，1－t)(0≤t≤1)，又B(1，1，0)，A(1，0，0)，所以＝(－1，t，1－t)，＝(－1，t－1，1－t)，所以AG2＋BG2＝(－1)2＋t2＋(1－t)2＋(－1)2＋(t－1)2＋(1－t)2＝4t2－6t＋5，故当t＝时，AG2＋BG2取得最小值为，故D错误.故选ABC.
二、填空题
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.
【答案】
【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

则D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0).
∴＝(0，2，0)，＝(－1，2，0)，＝(0，2，－1)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由
得令y＝1，得n＝(2，1，2)，
设直线D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
6.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________.

【答案】
【解析】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，M，设P(x，y，0)，
∴＝，＝，由·＝0得y＝，
∴点P的轨迹方程为y＝.
根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2＝.
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED所成二面角的余弦值为________.

【答案】
【解析】以点B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)，∴＝(0，2，1)，＝(3，3，0).
设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得n＝，
平面ABE的一个法向量为m＝(1，0，0)，
∴cos〈n，m〉＝＝.
∵平面ABE与平面BED所成的二面角为锐角，
∴平面ABE与平面BED所成的二面角的余弦值为.
三、解答题
8.已知三棱锥M－ABC，MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，O为AC的中点，点N在边BC上，
且＝.
(1)求证：BO⊥平面AMC；
(2)求二面角N－AM－C的正弦值.

【解析】(1)连接OM.在△ABC中，∵AB＝BC＝2，AC＝2，
∴∠ABC＝90°，BO＝，OB⊥AC.
在△MAC中，∵MA＝MC＝AC＝2，O为AC的中点，
∴OM⊥AC，且OM＝.
在△MOB中，∵BO＝，OM＝，MB＝2，
∴BO2＋OM2＝MB2，∴OB⊥OM.
∵AC∩OM＝O，AC⊂平面AMC，OM⊂平面AMC，
∴OB⊥平面AMC.
(2)　由(1)知OB，OC，OM两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图.

∵MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，
∴A(0，－，0)，B(，0，0)，M(0，0，)，C(0，，0).
∵＝，∴N，
∴＝，＝(0，，)，＝(，0，0).
设平面MAN的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AN,\s\up6(→))·n＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(5\r(2),3)，0))·（x，y，z）＝\f(\r(2),3)x＋\f(5\r(2),3)y＝0，,\o(AM,\s\up6(→))·n＝（0，\r(2)，\r(6)）·（x，y，z）＝\r(2)y＋\r(6)z＝0.))
令y＝，则z＝－1，x＝－5，得n＝(－5，，－1).
∵BO⊥平面AMC，∴＝(，0，0)为平面AMC的一个法向量.
∴n＝(－5，，－1)与＝(，0，0)所成角的余弦值
cos〈n，〉＝＝.
∴所求二面角的正弦值为＝＝.
9.在如图所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形DGEF为直角梯形，平面DGEF⊥平面ABEG，且DG⊥GE，DF∥GE，AB＝2AG＝2DG＝2DF＝2.
(1)求证：FG⊥平面BEF.
(2)求二面角A－BF－E的大小.

【解析】(1)　∵平面DGEF⊥平面ABEG，且BE⊥GE，
∴BE⊥平面DGEF.
又FG⊂平面DGEF，∴BE⊥FG.
由题意得FG＝FE＝，
∴FG2＋FE2＝GE2，则FE⊥FG.
又BE，EF是平面BEF内的两条相交直线.
故FG⊥平面BEF.
(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，2，0)，F(0，1，1)，
＝(1，－1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1).

设平面AFB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则⇒⇒
令x1＝1，n＝(1，0，1).
由(1)可知平面EFB的法向量为m＝＝(0，1，1).
∴cos〈n，m〉＝＝＝，因此两平面法向量的夹角为，
由图可知，二面角A－BF－E为钝二面角，所以二面角A－BF－E的大小为.
B组 专题综合练
10.已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED.现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB.
(1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；
(2)求二面角B－PA－E的余弦值.

【解析】(1)依题意得：PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边(如图).

则PM⊥CE，
由PA＝PB，得PO⊥AB，①
又OM为梯形ABCE的中位线，∴OM∥BC，
由BC⊥AB，得OM⊥AB，②
又PO∩OM＝O，
从而AB⊥平面POM，则AB⊥PM.
在平面ABCE中，AB与CE相交.
∴PM⊥平面ABCE，故平面PCE⊥平面ABCE.
(2)过点O作PM平行线为z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(－1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，2，)，
∴＝(1，－2，－)，＝(2，0，0)，＝(0，1，0)，
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则即令y＝1，得n＝(0，1，－)，
同理：平面PAE的法向量m＝(，0，1)，
∴cos〈m，n〉＝＝－，
根据图形知二面角B－PA－E为钝角，
∴二面角B－PA－E的余弦值为－.
11.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2BC＝2CD.△EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB⊥平面ABCD.点F满足：＝λ(λ∈[0，1]).
(1)试探究λ为何值时，CE∥平面BDF，并给予证明；
(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.

【解析】(1)当λ＝时，CE∥平面FBD.
证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF，
因为AB∥CD，所以AM∶MC＝AB∶CD＝2∶1.
又＝，所以FA∶EF＝2∶1.
所以AM∶MC＝AF∶EF＝2∶1.
所以MF∥CE.
又MF⊂平面BDF，CE⊄平面BDF，
所以CE∥平面BDF.
(2)取AB的中点O，连接EO，OD.则EO⊥AB.
又因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EO⊂平面ABE，
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD.
由BC⊥CD，及AB＝2CD，AB∥CD，得OD⊥AB，
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

因为△EAB为等腰直角三角形，AB＝2BC＝2CD，
所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，
所以O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1).
所以＝(2，0，0)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，－1)，
＝＝，F，所以＝.
设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有所以取x＝1，得n＝(1，1，2).
设直线AB与平面BDF所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
故直线AB与平面BDF所成角的正弦值为.