解密08 统计与统计案例（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版）

这是一份解密08 统计与统计案例（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】C
【解析】法一 设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq \f(70,100)＝0.7.故选C.
法二 用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq \f(70,100)＝0.7.
2.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )
B.0.1 C.1 D.10
【答案】C
【解析】10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1.故选C.
3.给出如下列联表
P(K2≥10.828)≈0.001，P(K2≥6.635)≈0.010，参照公式k＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”
B.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关”
【答案】B
【解析】由列联表中的数据可得K2的观测值
k＝eq \f(110×（20×50－10×30）2,30×80×50×60)≈7.486＞6.635，
根据参考数据P(K2≥6.635)≈0.01，P(K2≥10.828)≈0.001，
所以有1－0.01＝99%的把握认为高血压与患心脏病有关，即有99%以上的把握认为高血压与患心脏病有关.
4.(多选题)某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，下列结论成立的是( )
疫情防控期间某企业复工职工调查
A.x＝0.384
B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
【答案】BD
【解析】由图表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，则A错.在家办公的人员占17.8%，B正确.由1 644×5.1%＞1644×5%＝82.2＞80，∴超过80名职工倾向于休假，故C错误.又1 644×(17.8%＋42.3%)≈988，所以超过986名职工倾向于在家办公或在公司办公，D正确.综上可知，正确的结论为BD.
5.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A.得分在[40，60)之间的共有40人
B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5
C.估计得分的众数为55
D.这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【解析】根据频率和为1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，
得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正确；
得分在[60，80)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人，
得分在[60，80)的概率为0.5，B正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为eq \f(50＋60,2)＝55，即估计得分的众数为55，C正确；
由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，70)内，所以中位数的估计值为60＋eq \f(0.5－0.4,0.03)≈63.3.
二、填空题
6.为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x(单位：ppm)与当天私家车路上行驶的时间y(单位：小时)之间的关系，从某主干路随机抽取10辆私家车，根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4，若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6(单位：ppm)，据此估计该私家车行驶的时间为________小时.
【答案】1.4
【解析】由eq \(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4，取x＝6，得eq \(y,\s\up6(^))＝0.3×6－0.4＝1.4，∴估计该私家车行驶的时间为1.4小时.
7.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，则m－n＝________.
【答案】360
【解析】第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故n＝2 000＋eq \f(0.5－0.3,0.000 2)＝3 000；又第四、五块小矩形的面积均为S＝0.06，故a＝eq \f(1,2 000)[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.000 09，所以m＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m－n＝360.
8.“关注夕阳、爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年(2013年是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝mx＋0.35，则预测2021年捐赠的现金大约是________万元.
【答案】6.65
【解析】由已知，得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，所以样本中心点的坐标为(4.5，3.5)，代入eq \(y,\s\up6(^))＝mx＋0.35中，得3.5＝4.5m＋0.35，解得m＝0.7，所以eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.取x＝9，得eq \(y,\s\up6(^))＝0.7×9＋0.35＝6.65，故预测2021年捐赠的现金大约是6.65万元.
三、解答题
9.2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日.70年砥砺奋进，70年波澜壮阔，感染、激励着一代又一代华夏儿女，为祖国的繁荣昌盛努力拼搏，奋发图强.为进一步对学生进行爱国教育，某校社会实践活动小组，在老师的指导下，从学校随机抽取四个班级160名同学对这次国庆阅兵受到激励情况进行调查研究，记录的情况如下图：
(1)如果从这160人中随机选取1人，此人非常受激励的概率和此人是很受激励的女同学的概率都是eq \f(1,4)，求a，b，c的值；
(2)根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究，判断是否有95%的把握认为受激励程度与性别有关.
附：参考数据
【解析】(1)由题意知eq \f(20＋a,160)＝eq \f(c,160)＝eq \f(1,4)，且a＋b＋c＝120.
解之得a＝20，b＝60，c＝40.
(2)由题意可得2×2列联表：
∴K2的观测值k＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
＝eq \f(140×（20×40－20×60）2,40×100×80×60)≈1.17.
由于1.17＜3.841，
∴没有95%的把握认为受激励程度与性别有关.
10.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表).
【解析】(1)所求的频率分布直方图如下：
(2)由题可知使用节水龙头后50天的用水量在[0.3，0.4)的频数为10，所以可估计在[0.3，0.35)的频数为5，故用水量小于0.35 m3的频数为1＋5＋13＋5＝24，其频率为eq \f(24,50)＝0.48.
因此，估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为
eq \(x,\s\up6(－))1＝eq \f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48(m3).
该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为
eq \(x,\s\up6(－))2＝eq \f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35(m3).
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).
B组 专题综合练
11.(多选题)刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出(单位：百元)情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
A.4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是5∶1
C.第三季度平均收入为5 000元
D.利润最高的月份是3月份和10月份
【答案】ACD
【解析】对于A，4至5月份的收入的变化率为eq \f(30－50,5－4)＝－20，11至12月份收入的变化率为eq \f(50－70,12－11)＝－20，故相同，A正确.
对于B，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是6∶1，故B错误.
对于C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为eq \f(40＋50＋60,3)＝50(百元)，故C正确.
对于D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D正确.
12.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：
但其中数据污损不清，经查证eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))yi＝9.32，eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))tiyi＝40.17，eq \r(\(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.
(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；
(2)求y关于t的回归方程(系数精确到0.01)；
(3)公司经营期间的广告宣传费xi＝eq \r(ti)(单位：万元)(i＝1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据：eq \r(7)≈2.646，相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))，当|r|>0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－)).
【解析】(1)由统计表中的数据和附注中的参考数据得
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝28，eq \r(\(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，
则eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))tiyi－eq \(t,\s\up6(－))eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r＝eq \f(2.89,2\r(7)×0.55)≈eq \f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99，
因为0.99>0.75，
所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系.
(2)由eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(2.89,28)≈0.103.
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92，
所以y关于t的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.10t＋0.92.
(3)当t＝8时，代入回归方程得eq \(y,\s\up6(^))＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，
第8个月的毛利润为z＝10×1.72－eq \r(8)≈17.2－2×1.414＝14.372(万元).
由14.372<15，预测第8个月的毛利润不能突破15万元. 患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
非高血压
30
50
80
总计
50
60
110
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
非常受激励
很受激励
合计
男
20
60
80
女
20
40
60
合计
40
100
140
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
销售量y(万件)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7