高中数学高考解密05 空间几何体的表面积和体积（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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核心考点一 空间几何体的表面积
柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．B．C．D．
【解析】截面面积为，所以高，底面半径，所以表面积为，故选B．
2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且
（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【解析】（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面内作，垂足为．
由（1）知，平面，故，可得平面．
设，则由已知可得，．
故四棱锥的体积．
由题设得，故．
从而，，．
可得四棱锥的侧面积为．
1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，
因为的面积为，设母线长为，所以，，
因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．
2．【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面，
（ = 1 \* ROMAN I）证明：平面平面；
（ = 2 \* ROMAN II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
【解析】(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．
∵ABCD为菱形，∴ BD⊥AC，
∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．
(Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得，
AG=GC=，GB=GD=． 在RtΔAEC中，可得EG=．
∴ 在RtΔEBG为直角三角形，可得BE=．
∴ ，解得x =2．
由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=．
∴ΔAEC的面积为3，ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为．
所以三棱锥E-ACD的侧面积为．
核心考点二 空间几何体的体积
柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝eq \f(4,3)πR3.
1．【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为________．
【解析】如下图所示，，，又，
解得，所以，，所以该圆锥的体积为．
2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________．
【解析】由题意得， ，四棱锥O−EFG的高3cm，
∴．又长方体的体积为，
所以该模型体积为，其质量．
3.【2020新课标1文19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

【解析】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，
在上，，
是圆内接正三角形，，，
，即，，
平面平面，平面平面；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱锥的体积为．
1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.
【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是eq \r(2).则该正八面体的体积为eq \f(1,3)×(eq \r(2))2×1×2＝eq \f(4,3).
2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.1 D.eq \f(4,3)
【解析】∵ ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ ED⊥AD.
∵ 在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴ AD⊥平面CDEF.
易知FC＝eq \f(ED,2)＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.
∵ VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×eq \f(1,3)＝2×2×2×eq \f(1,3)＝eq \f(8,3)，VB－EFC＝BC×S△EFC×eq \f(1,3)
＝2×2×1×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
∴ VABCDEF＝eq \f(8,3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(10,3).又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×eq \f(1,3)＝1×2×2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，
VA－DEF＝AD×S△DEF×eq \f(1,3)＝2×2×2×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，VA－BEF＝eq \f(10,3)－eq \f(4,3)－eq \f(4,3)＝eq \f(2,3).故选B.
3．【2019新课标2文17】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．

【解析】（1）因为在长方体中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；
（2）设长方体侧棱长为，则，
由（1）可得；所以，即，
又，所以，即，解得；
取中点，连结，因为，则；
所以平面，
所以四棱锥的体积为．
核心考点三 多面体与球的切、接问题
球的相关性质：
1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。
2、球心和截面圆心的连线垂直于截面，即有
多面体的外接球模型：
1、长方体的外接球直径为体对角线，则；
正方体的外接球半径为；正方体的内切球半径为。
2、圆柱模型：
在三棱锥中，已知平面，则外接球半径为，
则，其中为外接圆半径。
3、圆锥模型
在正三棱锥中，先求出高线长，
在中，解方程求出，
其中为外接圆半径。
4、正四面体（构造正方体）、对棱相对的三棱锥（构造长方体）

如上左：正四面体可构造如图正方体（所有面对角线相等）；
如上右：对棱相等的三棱锥可构造如图长方体（对面的对角线相等）。
1．【2020新课标1理10文12】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理
，，根据球的截面性质平面，
，球的表面积．故选A．
2．【2020新课标2理10文11】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【解析】设球的半径为，则，解得．设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，，解得，，
球心到平面的距离．故选C．
3.【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是、的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )
A．B．C．D．
【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D．
1．【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】方法1：等面积法
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，

由于，故，
设内切圆半径为，则，解得，其体积．故答案为．
方法2：几何法
如右图，当球与圆锥内切时体积最大，设球的半径为，由题意知，圆锥的高．由得，则，故球的体积．故答案为．
2.【2017新课标1文16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 ．
【解析】取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，所以平面．设，
，所以，即球的表面积为
3．【2020新高考全国16】已知直四棱柱的棱长均为，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．
【解析】如图，取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得．故答案为．
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
空间几何体的表面积
【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.
【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_______．
【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面， （ = 1 \* ROMAN I）证明：平面平面；
（ = 2 \* ROMAN II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
空间几何体的体积
【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为________．
【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________．
【2020新课标1文19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
多面体与球的切、接问题
【2020新课标1理10文12】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
【2020新课标2理10文11】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【2020新高考全国16】已知直四棱柱的棱长均为，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．
【2017新课标1文16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 ．
【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是、的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )