2018-2019学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是（ ）
A．168B．181C．186D．191
2．（5分）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b，B．若a≤b，则a2≤b2
C．若a2≤b2，则a≤bD．若a＞b，则a2≤b2
3．（5分）已知抛物线C的顶点在坐标原点焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x
4．（5分）在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，若票仓中有足够多的票则下列说法正确的是（ ）
A．若只摸取一张票，则中奖的概率为1%
B．若只摸取一张票，则中奖的概率为2%
C．若100个人按先后顺序每人摸取1张票则一定有2人中奖
D．若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率最大
5．（5分）阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B的值分别为1，2，那么输出的A，B的值分别为（ ）
A．1，1B．2，2C．1，2D．2，1
6．（5分）已知数据x1，x2，x3的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2的方差为（ ）
A．4B．6C．16D．36
7．（5分）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入一支出，则下列说法正确的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
8．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x+F1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+F2＝0外切，则圆C1与圆C2的周长之和为（ ）
A．6πB．12πC．18πD．24π
9．（5分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.040
B．样本数据低于130分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
10．（5分）设斜率为k且过点P（3，1）的直线与圆（x﹣3）2+y2＝4相交于A，B两点已知p：k＝0，q：|AB|＝2，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
12．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，若F关于双曲线C的渐近线的对称点恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．（5分）某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为 ．
14．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），则|PQ|＝ ．
15．（5分）已知斜率为k的直线L与椭圆C：1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（﹣1，1），则k的值是 ．
16．（5分）利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y＝2x﹣x2和x轴围成的部分）的面积S．
第一步，利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数；
a1＝RAND，b1＝RAND
第二步，进行伸缩变换a＝2a1，b＝2b1；
第三步，数出落在阴影内的样本点数N1．
现做了100次试验，模拟得到N1＝31，由此估计S＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人．现从这5名工人中随机抽取2名．
（Ⅰ）求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
（Ⅱ）求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．
18．（12分）已知点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E上，过点P（1，0）的直线l与圆E相切．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．
19．（12分）已知m∈R，p：∀x∈R，x2﹣mx+1≥0，g：指数函数y＝mx（m＞0，且m≠1）在R上单调递增．
（Ⅰ）若p∧q是真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求椭圆1的离心率e的取值范围．
20．（12分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足，求△ABQ面积的最大值．
21．（12分）保部门研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如表：
（Ⅰ）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据表中统计数据，求出线性回归方程x（计算b时精确到0.01，计算a时精确到0.01）；
（Ⅲ）为净化空气，该地决定下周起在工作日（星期一至星期五）限号假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日的，试预测下周星期三的PM10浓度（精确到0.1）
参考公式：，．
参考数据23.4，33.6，（xi）（yi）＝34.5，x35.5．
22．（12分）设p＞0，动圆C经过点M（p，0），且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）求证：在轨迹E上存在点A，B，使得△OAB（O为坐标原点）是以A为直角顶点的等腰直角三角形．
2018-2019学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是（ ）
A．168B．181C．186D．191
【解答】解：如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，
则该篮球队队员身高的众数是186．
故选：C．
2．（5分）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b，B．若a≤b，则a2≤b2
C．若a2≤b2，则a≤bD．若a＞b，则a2≤b2
【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”，
它的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”．
故选：C．
3．（5分）已知抛物线C的顶点在坐标原点焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x
【解答】解：由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
可得抛物线的准线方程为x，
由抛物线的定义可得
抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，
即为45，
解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x．
故选：B．
4．（5分）在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，若票仓中有足够多的票则下列说法正确的是（ ）
A．若只摸取一张票，则中奖的概率为1%
B．若只摸取一张票，则中奖的概率为2%
C．若100个人按先后顺序每人摸取1张票则一定有2人中奖
D．若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率最大
【解答】解：在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，
在A中，若只摸取一张票，则中奖的概率为2%，故A 错误；
在B中，若只摸取一张票，则中奖的概率为1%，故B正确；
在C中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，不一定有2人中奖，故C错误；
在D中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率都是2%，故D错误．
故选：B．
5．（5分）阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B的值分别为1，2，那么输出的A，B的值分别为（ ）
A．1，1B．2，2C．1，2D．2，1
【解答】解：模拟程序的运行，可得
A＝1，B＝2
x＝1，A＝2，B＝1
输出A的值为2，B的值为1．
故选：D．
6．（5分）已知数据x1，x2，x3的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2的方差为（ ）
A．4B．6C．16D．36
【解答】解：∵数据x1，x2，x3的方差S2＝4，
∴x1+2，x2+2，x3+2的方差为12×S2＝4．
故选：A．
7．（5分）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入一支出，则下列说法正确的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
【解答】解：在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；
在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；
在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；
在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x+F1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+F2＝0外切，则圆C1与圆C2的周长之和为（ ）
A．6πB．12πC．18πD．24π
【解答】解：两圆的标准方程为圆C1：（x+2）2+y2＝4﹣F1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝16﹣F2，
两圆的圆心为C1（﹣2，0），C2（4，0），
则∵两圆外切，
∴两圆半径之和R+r＝|C1C2|＝|﹣2﹣4|＝6，
则圆C1与圆C2的周长之和2πR+2πr＝2π（R+r）＝12π，
故选：B．
9．（5分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.040
B．样本数据低于130分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
【解答】解：由频率分布直方图得：
（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，
解得a＝0.030，故A错误；
样本数据低于130分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B错误；
[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，
[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．
∴总体的中位数（保留1位小数）估计为：120123.3分，故C正确；
样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，
总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等，故D错误．
故选：C．
10．（5分）设斜率为k且过点P（3，1）的直线与圆（x﹣3）2+y2＝4相交于A，B两点已知p：k＝0，q：|AB|＝2，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：斜率为k且过点P（3，1）的直线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，
圆心（3，0）到直线的距离d，圆的半径R＝2，
若|AB|＝2，
则，
即43，
则1，即1+k2＝1，
得k＝0，
即p是q的充要条件，
故选：A．
11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：模拟程序的运行，可得
i＝1，S＝0
满足条件S≤60，执行循环体，S＝1，i＝2
满足条件S≤60，执行循环体，S＝3，i＝3
满足条件S≤60，执行循环体，S＝6，i＝4
满足条件S≤60，执行循环体，S＝10，i＝5
满足条件S≤60，执行循环体，S＝15，i＝6
满足条件S≤60，执行循环体，S＝21，i＝7
满足条件S≤60，执行循环体，S＝28，i＝8
满足条件S≤60，执行循环体，S＝36，i＝9
满足条件S≤60，执行循环体，S＝45，i＝10
满足条件S≤60，执行循环体，S＝55，i＝11
满足条件S≤60，执行循环体，S＝66，i＝12
此时，不满足条件S≤60，退出循环，输出i的值为12．
故选：D．
12．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，若F关于双曲线C的渐近线的对称点恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为yx，
对称点为F'（m，n），
即有，
且•n•，
解得m，n，
将F'（，），即（，），
代入双曲线的方程可得1，
化简可得4＝1，即有e2＝5，
解得e．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．（5分）某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为 2 ．
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于，则应抽取的教师人数为1002，
故答案为：2．
14．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），则|PQ|＝ 2 ．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，
∵点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），
∴|PQ|2．
故答案为：2．
15．（5分）已知斜率为k的直线L与椭圆C：1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（﹣1，1），则k的值是 ．
【解答】解：依题意，设直线l方程为：x＝m（y﹣1）﹣1，
联立，消去x整理得：
（2+m2）y2﹣2m（m+1）y+m2+2m﹣5＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，
∵且线段AB的中点为M（1，1），
∴2，即m＝2．
直线l方程为x＝2（y﹣1）﹣1，即x﹣2y+3＝0，所以直线的斜率k为：．
故答案为：．
16．（5分）利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y＝2x﹣x2和x轴围成的部分）的面积S．
第一步，利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数；
a1＝RAND，b1＝RAND
第二步，进行伸缩变换a＝2a1，b＝2b1；
第三步，数出落在阴影内的样本点数N1．
现做了100次试验，模拟得到N1＝31，由此估计S＝ 1.24 ．
【解答】解：根据题意：点落在阴影部分的点的概率是，
矩形的面积为2×2＝4，阴影部分的面积为S，
则有 ，
∴S＝1.24．
故答案为：1.24．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人．现从这5名工人中随机抽取2名．
（Ⅰ）求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
（Ⅱ）求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设初级工为a1，a2，中级工为b1，b2，高级工为c，
从中随机取2人，
基本事件有10个，分别为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）．
抽到2名工人都是初级工的情况为：（a1，a2），共1种，
∴被抽取的2名工人都是初级工的概率p．
（Ⅱ）没有抽取中级工的情况有3种，分别为：
（a1，a2），（a1，c），（a2，c），
∴被抽取的2名工人中没有中级工的概率p．
18．（12分）已知点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E上，过点P（1，0）的直线l与圆E相切．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设圆E的圆心为（a，b），半径为r；
则圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
又由点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E上，
则有，解可得，
即圆E的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；
（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：
①，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与圆M相切，符合题意；
②，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
圆心E到直线l的距离d1，解可得k，
则直线l的方程为y（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，
综合可得：直线l的方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0．
19．（12分）已知m∈R，p：∀x∈R，x2﹣mx+1≥0，g：指数函数y＝mx（m＞0，且m≠1）在R上单调递增．
（Ⅰ）若p∧q是真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求椭圆1的离心率e的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵p∧q是真命题，
∴p，q都是真命题．
当p为真命题时，x2﹣mx+1≥0，则△＝m2﹣4≤0，解得2≤m≤2．
当q为真命题时，m＞1．
∴m的取值范围是{m|1＜m≤2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1＜m≤2，
∴，
∵，1＜m≤2，
而函数在（1，2]上单调递增，
∴．
∴该椭圆离心率e的取值范围是（，]．
20．（12分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足，求△ABQ面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为1（a＞b＞0），
∵椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，）在椭圆C上．
∴，解得a＝2，b，
∴椭圆C的标准方程为1．
（Ⅱ）设直线l：ym，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y，得x2+mx+m2﹣3＝0，
由△＝m2﹣4（m2﹣3）＝3（4﹣m2）＞0，
解得﹣2＜m＜2，∴，
∴|AB|•
，
由2，知Q（1，），
点Q到直线l的距离为d，
∴△ABQ的面积S|AB|•d•
，
当且仅当m时，S．
∴△ABQ面积的最大值为．
21．（12分）保部门研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如表：
（Ⅰ）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据表中统计数据，求出线性回归方程x（计算b时精确到0.01，计算a时精确到0.01）；
（Ⅲ）为净化空气，该地决定下周起在工作日（星期一至星期五）限号假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日的，试预测下周星期三的PM10浓度（精确到0.1）
参考公式：，．
参考数据23.4，33.6，（xi）（yi）＝34.5，x35.5．
【解答】解：（Ⅰ）
（Ⅱ）．
．
∴y关于x的线性回归方程为；
（Ⅲ）下周星期三的车流量预计为（万辆）．
预测下周星期三的PM10浓度为（μg/m3）．
22．（12分）设p＞0，动圆C经过点M（p，0），且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）求证：在轨迹E上存在点A，B，使得△OAB（O为坐标原点）是以A为直角顶点的等腰直角三角形．
【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心C（x，y），半径为r，
∵圆C 过点M（p，0），∴r2＝（x﹣p）2+y2，①
∵圆C被y轴截得的弦长为2p，∴r2＝p2+x2，②
由①②，得（x﹣p）2+y2＝x2+p2，化简，得y2＝2px，p＞0，
∴轨迹E的方程为y2＝2px，（p＞0）．
证明：（Ⅱ）设A（，y0），（y0≠0），则OA的斜率kOA，
∵OA⊥AB，∴AB的斜率kAB，
∴直线AB的方程为y＝y0（x），
联立直线AB与抛物线E的方程，得：
，解得，
∴|AB|2＝[1+（）2]（y0﹣yB）2＝（1）（2y0）2，
∵|OA|2＝（）2+y02，
记t＝y02，y0≠0，a＝4p2，p＞0，则t＞0，a＞0，
记f（t）＝|AB|2﹣|OA|2•[a（2t+a）2﹣t2]，t＞0，
由题意0，记g（t）＝a（2t﹣a）2﹣t3，t＞0，
∴g（a）＝8a3＞0，g（5a）＝﹣4a3＜0，
根据零点存在定理，存在t0∈（a，5a），使得g（t0）＝0，从而f（t0）＝0，
当y0满足时，有|AB|＝|OA|，
此时△OAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴在轨迹E上存在点A，B，使得△OAB（O为坐标原点）是以A为直角顶点的等腰直角三角形．
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日期：2019/12/27 12:29:48；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265时间
车流量x （单位：万辆）
PM10浓度y（单位：μg/m3）
星期一
25.4
35.7
星期二
24.6
34.5
星期三
23.5
35.2
星期四
24.4
33.6
星期五
25.8
36.1
星期六
19.7
30.9
星期日
20.3
29.4
时间
车流量x （单位：万辆）
PM10浓度y（单位：μg/m3）
星期一
25.4
35.7
星期二
24.6
34.5
星期三
23.5
35.2
星期四
24.4
33.6
星期五
25.8
36.1
星期六
19.7
30.9
星期日
20.3
29.4