2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）3+bx2+1在x＝2处取得极值，则b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
2．（5分）（2016秋•玉溪期末）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．15 B．20 C．30 D．60
3．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是（　　）
A．∀x∈（﹣∞，0），均有ex≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1
C．∀x∈[﹣∞，0），均有ex＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得ex＞x+1
4．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）“x2＜x”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2017•常宁市模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（　　）

A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣23
6．（5分）（2010•深圳一模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
7．（5分）（2015•余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（　　）
A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
8．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
9．（5分）（2015•兰州二模）如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是（　　）

A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9
10．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知点P为椭圆1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（　　）
A．4 B．4 C． D．
11．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（） D．（）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）若双曲线1（m＞0）的离心率为2，则m＝　 　．
14．（5分）（2018•南关区校级二模）已知抛物线y2＝16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为　 　．
15．（5分）（2015•固原校级一模）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为　 　．
16．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x，g（x）＝ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17．（10分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PDAB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

18．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知焦点为F的抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|＝2．
（1）求p，m；
（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．
19．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）2ax﹣3lnx+b在x＝1处切线为4x+y﹣2＝0．
（1）求a，b；
（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．
20．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝BF＝2，∠EAD＝30°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；
（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．

21．（12分）（2017•信丰县校级模拟）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．
22．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）3+bx2+1在x＝2处取得极值，则b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，根据f′（2）＝0，求出b的值即可．
【解答】解：函数f（x）3+bx2+1，可得f′（x）＝x2+2bx，
∵f（x）在x＝2处取得极值，
∴f′（2）＝4+4b＝0，
解得：b＝﹣1；
故选：A．
【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
2．（5分）（2016秋•玉溪期末）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．15 B．20 C．30 D．60
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．
【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．
∴30．
故选：C．

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
3．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是（　　）
A．∀x∈（﹣∞，0），均有ex≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1
C．∀x∈[﹣∞，0），均有ex＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得ex＞x+1
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】利用命题的否定意义即可得出．
【解答】解：命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是：∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）“x2＜x”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式解法，再根据必要条件、充分条件的定义进行判断；
【解答】解：由“x2＜x”解得0＜x＜1，
由“”解得0＜x≤1，
故“x2＜x”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题以不等式的求解问题为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
5．（5分）（2017•常宁市模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（　　）

A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣23
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S＝1，i＝1
满足条件i≤4，执行循环体，S＝﹣1，i＝2
满足条件i≤4，执行循环体，S＝4，i＝3
满足条件i≤4，执行循环体，S＝﹣5，i＝4
满足条件i≤4，执行循环体，S＝14，i＝5
不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为14．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．（5分）（2010•深圳一模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】根据导数与原函数单调性间的关系判断：导数大于零则该函数为增函数，导数小于零则该函数为减函数．
【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分，
第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零，
则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数；
满足题意只有D．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数法是如何利用函数的导数来刻画函数的单调性的，即：原函数的导数若大于零，则该函数在区间上是增函数；原函数的导数若小于零，则该函数在区间上是减函数．
7．（5分）（2015•余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（　　）
A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，
则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；
若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；
若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，结合单调区间，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝ax﹣lnx在（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，y′＝a0恒成立，
即a，∴a≥1，
即a的取值范围为[1，+∞），
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．
9．（5分）（2015•兰州二模）如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是（　　）

A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．
【解答】解：第一次运行，i＝10，满足条件，S＝10×1＝10，i＝9
第二次运行，i＝9，满足条件，S＝10×9＝90，i＝8，
第三次运行，i＝8，满足条件，S＝90×8＝720，i＝7，
此时不满足条件，输出S＝720，
故条件应为，8，9，10满足，i＝7不满足，
故条件为：i＞7，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键．
10．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知点P为椭圆1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（　　）
A．4 B．4 C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示：设P的坐标为（2cosθ，sinθ），分别求出直线AP，直线BP的方程，求出|BM|，|AN|，根据三角函数的性质化简即可．
【解答】解：如图所示：设P的坐标为（2cosθ，sinθ），
由A（2，0），B（0，），
则直线AP的方程为y（x﹣2），
令x＝0时，则y，
即M（0，），
∴|BM|＝||||，
则直线BP的方程为yx，
令y＝0，则x，
即N（，0），
∴|AN|＝|2|＝2||，
∴|AN|•|BM|＝22•24，
故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及直线和椭圆的位置关系，以及三角函数的化简和求值，属于中档题．
11．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，利用向量法能求出cos∠APC最小值．
【解答】解：连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，
则D1（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
A（1，0，0），C（0，1，0），设P（a，b，c），
，0≤λ≤1，
∴（a，b，c﹣1）＝（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1﹣λ），
（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）．
∴cos∠APC＝cos

．
∵0≤λ≤1，∴3λ2﹣4λ+2∈[]，
则cos∠APC∈[]．
∴cos∠APC最小值为．
故选：B．

【点评】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（） D．（）
【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），由条件可得m＝8，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1＝4+c，a2＝4﹣c，（c＜4），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，
即有m＝8，n＝2c，
由椭圆的定义可得m+n＝2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a2，
即有a1＝4+c，a2＝4﹣c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＝4c＞8，
则c＞2，即有2＜c＜4．
由离心率公式可得e1•e2，
由于14，则有，
则e1•e2，
∴e1•e2的取值范围为（，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）若双曲线1（m＞0）的离心率为2，则m＝　　．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式，计算即可得到m，即可．
【解答】解：双曲线1（m＞0）的a＝m，b＝1，
c，则e2，解得，m．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）（2018•南关区校级二模）已知抛物线y2＝16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为　12　．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】过A向准线作垂线，则|PA|+|PF|的最小值为点A到准线的距离．
【解答】解：抛物线的准线方程为：x＝﹣4，焦点为F（4，0），
过A向准线作垂线，垂足为B，
∴|PA|+|PF|≥|AB|＝12．
故答案为：12．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
15．（5分）（2015•固原校级一模）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为　5π　．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积．
【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；
∵Rt△PBA中，AB，PA，
∴PB，可得外接球半径RPB，
∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π．
故答案为5π．

【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．
16．（5分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x，g（x）＝ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为　[，0]　．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．
【解答】解：由g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，
令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）最小值＝g（0）＝0．
对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．
即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
（1）当a＝0时，f（x）＝﹣x，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，
∴a＝0符合题意；
（2）当a＜0时，f（x）＝ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向下的抛物线，且f（0）＝0，
要使不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
则对称轴x，即2a+1≥0，a，
得a＜0；
（3）当a＞0时，f（x）＝ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x0，
而f（x）＝0，
∴当a时，f（x）＞0，不合题意．
综上，a的取值范围为[，0]．
故答案为：[，0]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17．（10分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PDAB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD＝O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD＝O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
18．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知焦点为F的抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|＝2．
（1）求p，m；
（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点F，准线方程，运用抛物线的定义和点满足抛物线方程，解方程即可得到所求值；
（2）求得y的导数，可得切线的斜率，即有切线的方程，运用三角形的面积公式可得所求值．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py的焦点F（0，），准线方程为y，
由题意可得4＝2pm，2＝m
得m＝1，p＝2；
（2）由y得y′，所以切线的斜率为1，
切线方程为y＝x﹣1，得N（0，﹣1），
由M（2，1），F（0，1），
所以△MFN的面积是2×2＝2．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查切线的方程的求法，以及三角形的面积，考查运算能力，属于基础题．
19．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）2ax﹣3lnx+b在x＝1处切线为4x+y﹣2＝0．
（1）求a，b；
（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出f′（x）＝ax﹣2a，x＞0，利用导数的几何意义能求出a，b．
（2）由，x∈[1，7]，得f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，由此能求出f（x）在x∈[1，7]上的值域．
【解答】解：（1）∵函数f（x）2ax﹣3lnx+b在x＝1处切线为4x+y﹣2＝0．
∴f′（x）＝ax﹣2a，x＞0，
直线4x+y﹣2＝0斜率为﹣4，
由f′（1）＝a﹣2a﹣3＝﹣4，解得a＝1，
由f（1）2，解得b．
（2），
由f′（x）＞0，得0＜x＜3，由f′（x）＜0，得x＞3，
∵x∈[1，7]，∴f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，
又f（1）＝﹣2，f（7）＝10﹣3ln7＞﹣2，f（3）＝﹣2﹣3ln3，
∴f（x）在x∈[1，7]上的值域是[﹣2﹣3ln3，10﹣3ln7]．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上的值域的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数的单调区间、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝BF＝2，∠EAD＝30°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；
（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）AE⊥DE，过E点作EF∥BF，交AB于点P．推导出AE⊥EF．由此能证明AE⊥平面CDEF．
（Ⅱ）由AE⊥DC，AD⊥DC，DC⊥平面AED，平面ABCD⊥平面AED过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此求出当点G满足时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝2．
在△ADE中，，即，得sin∠AED＝1，
∴∠AED＝90°，即AE⊥DE，在梯形ABEF中，过E点作EF∥BF，交AB于点P．
∵EF∥AB，∴EP＝BF＝2，PB＝EF＝1，∴AP＝AB＝PB＝1，
在Rt△ADE中，AE，AE2+AP2＝4，EP2＝4，
∴AE2+AP2＝EP2，∴AE⊥AB，∴AE⊥EF．
又∵EF∩DE＝E，∴AE⊥平面CDEF．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE⊥DC，AD⊥DC，
∴DC⊥平面AED，又DC⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AED，
如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，
以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（），A（2，0，0），
（，1，），（2，2，0），
设（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，则（2λ﹣2，2λ，0）．
设平面FAG的一个法向量（x，y，z），
则，令x，得（）．
平面EAD的一个法向量（0，1，0）．
由已知得cos30°，
化简得9λ2﹣6λ+1＝0，解得．
∴当点G满足时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°．


【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12分）（2017•信丰县校级模拟）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量知识，结合已知条件能求出m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y＝c时，，
由题意△MNF2的面积为，
由已知得，∴b2＝1，∴a2＝4，
∴椭圆C的标准方程为1．﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，
∴，，﹣﹣﹣（6分）
由已知得△＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，
由，得﹣x1＝3x2，即x1＝﹣3x2，∴，﹣﹣﹣（8分）
∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4＝0．
当m2＝1时，m2k2+m2﹣k2﹣4＝0不成立，∴，﹣﹣﹣（10分）
∵k2﹣m2+4＞0，∴0，即，
∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查椭圆方程求法，考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、向量知识等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
22．（12分）（2017秋•渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（2）先求出x2﹣x1＝ln，令t，求出x1+x24，问题转化为证明lnt，构造函数F（t）＝lnt，通过函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k，x∈R，得f'（x）＝ex+1﹣k，
①当k≤0时，则f'（x）＝ex+1﹣k＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；
②当k＞0时，
由f'（x）＝ex+1﹣k＞0，得到x+1＞lnk，即x＞lnk﹣1，
由f'（x）＝ex﹣1﹣k＜0，得到x+1＜lnk，即x＜lnk﹣1
所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；
综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．
当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；
（2）设x2＞x1，
由题意得：，
∴x1＝lnk+ln（x1+2）﹣1①，
x2＝lnk+ln（x2+2）﹣1②，
②﹣①得：x2﹣x1＝ln③，
令t，则t＞1，x2＝t（x1+2）﹣2，
∴③可化为：t（x1+2）﹣2﹣x1＝lnt，
∴x1+2，x2+2，
∴x1+x24，
要证：x1+x2＞﹣2，
只需证：2，
即证：lnt，
构造函数F（t）＝lnt，
则F′（t）0，
∴F（t）在（1，+∞）递增，
∴F（t）＞F（1）＝0，
∴x1+x2＞﹣2．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，转化思想，（2）中求出x1+x2，问题转化为构造新函数通过求导得到单调性是解题的关键，本题有一定的难度．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．

输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．

处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．

判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．

流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点
连接另一页或另一部分的框图

注释框
帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
9．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A，sin B，sin C；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A，
cos B，
cos C
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
11．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

12．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
13．直线与椭圆的综合
v．
14．直线与抛物线的综合
v．
15．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
16．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的知识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
17．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α

18．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
19．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/17 21:54:38；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265