2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程是（　　）
A．x B．y＝2 C．y D．y＝﹣2
2．（5分）已知向量（1，1，0），则与共线的单位向量（　　）
A．（，，0） B．（0，1，0） C．（，，0） D．（1，1，1）
3．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形
B．若，，则
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与任何向量都共线
4．（5分）给出如下三个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．
正确的是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜﹣1
C．﹣1＜k＜1 D．﹣1＜k＜0或0＜k＜1
8．（5分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（　　）
A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）
9．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）
A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x
11．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，x2y3z，则x+y+z＝（　　）
A．1 B． C． D．
12．（5分）方程mx+ny2＝0与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝　 　；
14．（5分）已知，且，，，则　 　；
15．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　 　．
16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为　 　．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．

19．（12分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．

20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C与直线l：y＝kx+1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有kPM+kPN＝0？说明理由．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD＝PD＝2，
E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

22．（12分）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线m过点（﹣1，0），且与椭圆C交于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．

2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程是（　　）
A．x B．y＝2 C．y D．y＝﹣2
【解答】解：抛物线x2＝﹣8y可得2p＝8，
∴2．
∴此抛物线的准线方程是y＝2．
故选：B．
2．（5分）已知向量（1，1，0），则与共线的单位向量（　　）
A．（，，0） B．（0，1，0） C．（，，0） D．（1，1，1）
【解答】解：对于C：向量（，，0），并且向量（，，0）的模为1．
故选：C．
3．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形
B．若，，则
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与任何向量都共线
【解答】解：若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形或共线，故A错误；
若，，则，或，不共线，比如，故B错误；
若和都是单位向量，可得，的模相等，不能判断共线或相等，故C错误；
零向量与任何向量都共线，故D正确．
故选：D．
4．（5分）给出如下三个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．
正确的是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．
②根据命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
是真命题，所以②正确．
③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：
∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．
故选：B．
5．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，
∴2c＝a
∴e
故选：A．
6．（5分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数y＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，它的周期是，a＝±1
显然“a＝1”可得“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”
后者推不出前者，
故选：A．
7．（5分）若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜﹣1
C．﹣1＜k＜1 D．﹣1＜k＜0或0＜k＜1
【解答】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得﹣1＜k＜1，且k≠0．
故选：D．
8．（5分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（　　）
A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）
【解答】解：若点P在平面α内，则0，设P（x，y，z），
则2（x﹣1）﹣（y+1）+2（z﹣2）＝0，
经过验证只有点（2，3，3）满足．
故选：C．
9．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以x0（x0+2），
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值，
故的取值范围是，
故选：B．
10．（5分）已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）
A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x
【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA＝1+r，d＝r，
P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，
所以PA﹣d＝1，即（x+1）＝1，
化简得：y2＝8x．
故选：C．
11．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，x2y3z，则x+y+z＝（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图所示，
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
，
与x2y3z比较可得：
x＝1，2y＝1，﹣1＝3z．
则x+y+z＝1．
故选：B．

12．（5分）方程mx+ny2＝0与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：方程mx+ny2＝0 即 y2，表示抛物线，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．
当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线 y2 开口向右，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示 双曲线，
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝　10　；
【解答】解：抛物线y2＝4x中，p＝2；
过焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），
若x1+x2＝8，则|AB|＝（x1）+（x2）＝x1+x2+p＝8+2＝10．
故答案为：10．
14．（5分）已知，且，，，则　　；
【解答】解：，，，，
则44•2•4•
＝1+4+1+4×cos0﹣0
＝8，
∴2．
故答案为：2．
15．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　x+2y﹣8＝0　．
【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率
k．
由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8＝0．
16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为　　．

【解答】解：取CD、AB的中点分别为O，E，连结OP，OE
以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则N（1，﹣1，0），M（0，，），B（2，1，0），D（0，﹣1，0），
（1，0，0），（0，，），（2，2，0），
设平面MBD的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
∴点N到平面MBD的距离：
d．
故答案为：．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【解答】解：（1）由16x2﹣9y2＝144得1，
∴a＝3，b＝4，c＝5．焦点坐标F1（﹣5，0），F2（5，0），离心率e，渐近线方程为y＝±x．
（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，
cos∠F1PF2
0．
∴∠F1PF2＝90°．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．

【解答】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
由AB＝AC，E为BC的中点得到AE⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵BC∩BB1＝B∴AE⊥面BB1C1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴AE⊥B1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设AC＝AB＝AA1＝2，则由∠BAC＝90°，
可得A1E1＝AE，A1C＝2，E1C1＝ECBC
∴E1C
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C（8分）
所以异面直线AE与A1C所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC﹣﹣﹣﹣（10分）
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
由EP＝1，AP＝1，PQ，得tan∠PQE
所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是（13分）

19．（12分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．

【解答】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则，
设平面A1DE的法向量是
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．

20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C与直线l：y＝kx+1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有kPM+kPN＝0？说明理由．
【解答】解：（1）∵，∴，即p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y．
（2）设P（0，b）为符合题意的点，设M（x1，y1），N（x2，y2），
设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．
将y＝kx+1代入抛物线C的方程得x2﹣4kx﹣4＝0，
故x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴
，
当b＝﹣1时，即p（0，﹣1），有kPM+kPN＝0．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD＝PD＝2，
E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

【解答】解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝a，
则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），（2分）

（1）由题意可得：0×0+1×2+1×（﹣2）＝0，0×a+1×2+1×（﹣2）＝0
∴EF⊥PA，EF⊥PB．
∴EF⊥平面PAB．…（6分）
（2）AB＝2（0，1，1）．
设平面AEF的法向量n＝（x，y，z），
则
令y＝1，则x（9分）
又．…（11分）
所以sinθ＝1cos．…（12分）
22．（12分）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线m过点（﹣1，0），且与椭圆C交于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，4a＝8，则a＝2，
由椭圆离心率，得c＝1，∴b2＝3．
∴椭圆C的方程为；
（2）设直线m的方程为：x＝ty﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9＝0．
，．
∴．
令，则n≥1，
∴，而3n在[1，+∞）上单调递增，
∴．
当n＝1时取等号，即当t＝0时，△PQF2的面积最大值为3．
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日期：2019/12/27 12:29:18；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265