2022年中考数学总复习第19讲《特殊三角形(2)直角三角形》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第19讲《特殊三角形(2)直角三角形》讲解(含答案) 学案，共14页。学案主要包含了解后感悟，课本改变题，方法与对策，考点概要，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展等内容，欢迎下载使用。

第2课时　直角三角形


直角三角形
考试内容
考试
要求
概念
有一个角是　　　　　　　　的三角形叫做直角三角形．
a
性质
如图，在△ABC中，∠C＝90°.

1．边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝　　　　　　　　；
2．角与角的关系：∠A＋∠B＝　　　　　　　　；
3．边与角的关系：
①若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；
②若a＝c，则∠A＝30°；
③若∠A＝45°，则a＝b＝c；
④若a＝c，则∠A＝45°；
4．斜边上的中线m＝c＝R(其中R为三角形外接圆的半径)．
c
判定
1.有一个角是　　　　　　　　或两个锐角　　　　　　　　的三角形是直角三角形．
2．如果三角形一边上的中线等于这条边的　　　　　　　　，那么这个三角形为直角三角形．
3．勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的　　　　　　　　等于第三边的　　　　　　　　，那么这个三角形是直角三角形．
拓展
1.SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
2．Rt△ABC内切圆半径r＝；外接圆半径R＝，即等于斜边的一半．

考试内容
考试
要求
基本
方法
面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．如ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
c

1． (·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
2．(·温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(　　)
A．12S B．10S C．9S D．8S

第2题图
3． (·柳州模拟)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(　　)

第3题图
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
4． (·大连模拟)如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(　　)

A．10 B．11 C．12 D．13
5．(·安顺模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝　　　　　　　　.



【问题】如图，点D是Rt△ABC斜边的中点．

(1)你能从图中得到哪些信息？
(2)若∠A＝40°，则∠DBC＝　　　　　　　　°；
(3)若BD＝5，AB＝8，则BC＝　　　　　　　　.

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直角三角形有关知识．

类型一　直角三角形的性质与判定
　(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

①若∠A＝46°，则∠B的度数为________；
②若∠A＝3∠B，则∠B＝________；
③若∠B＝30°，D为线段AB的中点，CD＝6，则∠ACD＝________；AB＝________；BC＝________．
(2) 如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为________．

【解后感悟】根据直角三角形的性质、以及斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质是解此题的关键，解题时注意分类讨论的运用．

1．(1)(·黑龙江模拟)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(　　)
A．② B．①② C．①③ D．②③
(2)(·牡丹江模拟)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于(　　)

A．25° B．30° C．45° D．60°
2．(1)(·丽水模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连结CD，若BD＝1，则AC的长是____________________．

第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图
(2)(·衢州模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于　　　　　　　　.
(3)(·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是　　　　　　　　.
类型二　直角三角形的分类讨论
　(·大连模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　　　　　　　.

【解后感悟】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．

3． (·山西模拟)如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2过A、B、C三点，在对称轴上存在点P，以P、A、C为顶点的三角形为直角三角形．则点P的坐标是　　　　　　　　.

4．(·安定模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)当PQ∥AC时，求t的值；
(2)当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．




类型三　勾股定理的应用
　(·孝感)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．

【解后感悟】此题中没有具体的数，故先设未知数，根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．

5．(1)下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是(　　)
A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．2，1.5，2.5
(2) (·株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

(3)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为(　　)

A．600m B．500m C．400m D．300m
(4)如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成(内角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比为____________________．

类型四　直角三角形的探究问题
　(·桂林模拟)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE，连结DE.
(1)线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________．
(2)如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(3)绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°<α<180°时，延长DC交AB于点F，请在图3中补全图形，并求出当AF＝1＋时，旋转角α的度数．





【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，通过添加适当的辅助线，从而能用(1)(2)中积累的经验去解决第(3)题．它是中考的热点题型．

6．(1)(·锦州模拟)如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其顶点C′按逆时针方向旋转角α(0°<α≤90°)，有以下四个结论：

①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；
②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′＝BB′；
④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.
其中结论正确的序号是　　　　　　　　.
(2) (·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为　　　　　　　　.

类型五　直角三角形的综合运用
　(·吉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)．
(1)当点M落在AB上时，x＝________；
(2)当点M落在AD上时，x＝________；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．







【解后感悟】本题考查等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论．

7． (1)(·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(　　)

A．7 B．8 C．9 D．10
(2) (·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为(　　)

A. B．2 C. D．10－5
(3)(·邵阳模拟)如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA的长度为　　　　　　　　.


【课本改变题】
教材母题－－浙教版八上第87页，目标与评定第28题．
小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，
则B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝－0.4＝2.
而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B得方程　　　　　　　　，
解方程得x1＝　　　　　　　　，x2＝　　　　　　　　，
∴点B将向外移动　　　　　　　　米．
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．
　　　　　　


【方法与对策】这题是探究性问题，通过课本中作业完成后，进行引申，用方程的思想继续分析、探究，解决提出的猜想．导向性：一方面要求同学们作业之后要反思，另一方面要求老师进行变式教学，这是中考热点题型．

【忽视直角三角形中直角边不明确】
(·包头模拟)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．


参考答案
第2课时　直角三角形
【考点概要】
直角　c2　90°　直角　互余　一半　平方和　平方
【考题体验】
1．C　2.C　3.B　4.B　5.
【知识引擎】
【解析】(1)如：AB2＋BC2＝AC2，BD＝AC，∠A＝∠ABD等；　(2)50；　(3)6.
【例题精析】
例1　(1)①44°　②22.5°　③60°　12　6　(2)60°或90°　
例2　当∠ABP＝90°时(如图1)，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝2，在直角三角形ABP中，AP＝＝2.当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：情况一，如图2，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB·sin60°＝4×＝2；情况二：如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝2，故答案为：2或2或2.

例3　设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2＋DE2，即13a2＝x2＋(x＋a)2，解得：x1＝2a，x2＝－3a(舍去)，∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝＝，故答案为：.　
例4　(1)∵AC＝BC＝，CD＝CE，∴BE＝AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BE⊥AD.　(2)仍然成立．如图2，延长BE交AD于点M.在△BCE和△ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝α，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD.∴BE＝AD.∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠CBE，∴∠AMB＝∠ACB＝90°.即BE⊥AD.　 (3)如图3，过点C作CN⊥AB于点N，∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴CN＝AN＝AB＝1，∠BCN＝45°.∵AF＝1＋，∴FN＝AF－AN＝.在Rt△CNF中，tan∠FCN＝＝，∴∠FCN＝30°.∴∠BCF＝∠BCN－∠FCN＝15°.∵∠FCE＝90°，∴∠BCE＝∠BCF＋∠FCE＝105°.∴当AF＝1＋时，旋转角α为105°.　

图2 图3

例5　(1)当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP＝CP＝4，所以x＝＝4.故答案为4.　 (2)如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E.∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ＝PQ＝PC，∴DQ＝QE＝EC，∵PE∥AD，∴＝＝，∵AC＝8，∴PA＝，∴x＝÷＝.故答案为.　(3)①当0

图1 图2 图3 图4

【变式拓展】
1．(1)D　(2)B　2.(1)2　(2)8　(3)＋1
3.或或或
4.

(1) ∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝(秒)；　(2)过点A作AD⊥BC于D，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6.∵∠B≠90°，∴P、B、Q三点构成直角三角形情况有两种：①∠PQB＝90°，即PQ∥AD.∴＝，即＝，解得t＝(秒)；②∠QPB＝90°，而∠ADB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPQ∽△BDA，∴＝，即＝，解得t＝(秒)．∴由①、②知，当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形．
　5.(1)B　(2)D　(3)B　(4)
6．(1)①②④　(2)　7.(1)B　(2)B　(3)21008
【热点题型】
【分析与解】(1)(x＋0.7)2＋22＝2.52，0.8，－2.2(舍去)，0.8. (2)①不会是0.9米，若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25.∵B1C2＋A1C2≠A1B，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得：x＝1.7或x＝0(舍)∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
【错误警示】①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：＝；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：＝5；综上，第三边的长为：5或.故答案为：5或.