2022年中考数学总复习第24讲《圆的有关计算》讲解(含答案) 学案

第24讲　圆的有关计算

圆的弧长及扇形面积公式

1．(·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是(　　)

A.π                  B．10π             C．24＋4π          D．24＋5π

2．(·温州)已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为____________________．

3．(·台州)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则弧BC的长为____________________cm.(结果保留π)

【问题】(1)如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝________cm2.

(2)      通过(1)解答，你能联想扇形等相关的哪些知识．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理扇形的弧长公式、面积公式的计算．

类型一　弧长的计算

　(·湖州)如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.

(1)求证：BD＝CD；

(2)若圆O的半径为3，求的长．

【解后感悟】本题运用弧长的计算公式，解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径．

1．(1)(·绍兴)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长(　　)

A．2π                 B．π               C.               D.

(2)      如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为(　　)

A.cm                 B.cm             C.cm          D．7πcm

2．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心按点A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是　　　　　　　　(结果保留π)．

类型二　扇形面积的计算

　(·黄石)如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是　　　　　　　　.

【解后感悟】求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果；阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．扇形面积公式和弧长公式容易混淆，S扇形＝πR2＝lR.

3．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是____________________(结果保留π)．

4．(·丽水模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连结BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)

类型三　圆与正多边形的计算

　如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长为(　　)

A．2                  B．4             C.             D.

【解后感悟】本题是正六边形的有关计算，运用正六边形的性质将正六边形转化为直角三角形或等边三角形是解题的关键．

5．(·金华)如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是(　　)

A.                 B.            C.             D．2

6．(1)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　　　　　　　cm2.(结果保留π)

(2)(·深圳模拟)如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律；则第n个正多边形的面积为____________________．

类型四　平面图形的运动问题

　如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为________．

【解后感悟】本题运用了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质；根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．

7．如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积．

【探索研究题】

如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为(　　)

A．3                   B．4－              C．4            D．6－2

【方法与对策】这是两个正多边形通过直角坐标系的组合，然后利用旋转变换设置问题，利用几何最值求解，这类题型是中考命题的方向．

【忽视关键位置的运动路径】

如图，将半径为2cm的圆形纸板沿着长和宽分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长是________cm.

参考答案

第24讲　圆的有关计算

【考题体验】

1．A　2.3　3.20π

【知识引擎】

【解析】(1)由题意知，弧长＝8－2×2＝4cm，扇形的面积是×4×2＝4cm2，故答案为：4cm2.　(2)扇形的弧长及面积等相关知识．

【例题精析】

例1　(1)∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；　(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得的度数为60°，故＝＝＝π，答：的长为π.　

例2　∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝，OC＝4，S阴影＝π(42－22)＋()2＝2π＋2，故答案为：2π＋2.　

例3　∵△ABE、△APE为直角三角形，∴AE＝＝＝，∴AP＝＝＝，故选C.

　例4　∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC(BD)＝5.∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为＝；同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为＝2π，点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为＝，则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为＋2π＋＝6π.故答案是6π.

【变式拓展】

1．(1)B　(2)B　2.4π　3.3－π

4.

(1)      如图，连结OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1，∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；　(2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt△ODC中，tan60°＝，DC＝ODtan60°＝2×＝2，∴SRt△ODC＝OD·DC＝×2×2＝2，S扇形ODE＝＝＝π，∴S阴影＝SRt△ODC－S扇形ODE＝2－π.　

5.       C　6.(1)　(2)a　

7.在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π(OA2－OC2)＝π×(652－152)＝1000π(cm2)．答：刮雨刷BD扫过的面积是1000π cm2.

【热点题型】

【分析与解】在正三角形ABC中，边长为2，易得AD＝；在正六边形绕中心O旋转一周的过程中，若DE的值最小，则E点位于y轴的正半轴上，在正六边形中易得OE＝2，此时DE＝AO－AD－OE＝6－－2＝4－.故选B.

【错误警示】圆心所经过的路线长为2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)．