2022年中考数学总复习第4讲《分式及其运算》讲解(含答案) 学案

第4讲　分式及其运算

1．分式的概念

2.分式的基本性质

3.分式的运算

1．(·丽水)分式－可变形为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－            B.          C．－          D.

2．(·台州)化简的结果是(　　)

A．－1               B．1            C.              D.

3．(·湖州)要使分式有意义，x的取值应满足______________________________．

4．(·舟山)若分式的值为0，则x的值为____________________．

5．(·湖州)计算：－.

【问题】(1)从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a＝6，b＝3时该分式的值．

(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．

类型一　分式的概念

　分式.

(1)若分式有意义，则x的取值范围是________；

(2)若分式的值为0，则x的值为________；

(3)把分式化为最简分式________．

【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．

1．已知分式，若分式无意义，则x的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x＝____________________.

2．(·滨州)下列分式中，最简分式是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.                B.          C.          D.

类型二　分式的约分和通分

　计算：(1)(·淄博)＝________；

(2)＋＝________；

(3)－＝________；

(4)1－a－＝________.

【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．

3．(1)(·丽水)＋的运算结果正确的是(　　)

A.                B.          C.              D．a＋b

(2)(·绍兴)化简＋的结果是(　　)

A．x＋1             B.           C．x－1            D.

(3)若a、b都是正实数，且－＝，则＝____________________.

(4)(·荆州)当a＝＋1，b＝－1时，代数式的值是　　　　　　　　.

(5)(·台州)先化简，再求值：－，其中a＝－1.

类型三　分式的运算与求值

　(1)(·内江)化简：÷＝________.

(2)(·黄冈)化简：÷＝________.

(3)(·衢州)先化简，再求值：(x2－9)÷，其中x＝－1.

(4)先化简，再求值：÷，其中x满足x2＋x－2＝0.

【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．

4．(·成都)化简：(＋)÷.

5．先化简，再求值：÷＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．

类型四　与分式有关的变形和应用

　观察下列等式：

第1个等式：a1＝＝×(1－)；

第2个等式：a2＝＝×(－)；

第3个等式：a3＝＝×(－)；

第4个等式：a4＝＝×(－)；

…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；

(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________(n为正整数)；

(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．

6．(1)如图，设k＝(a＞b＞0)，则有( 　　　　　　　　 )

A．k＞2

B．1＜k＜2

C.＜k＜1

D．0＜k＜

(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．

【探索规律题】

(·巴中)a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为＝－1；－1的差倒数是＝；已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，…依此类推，则a＝________．

【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．

【分式的分母不能为零，除数不能为零】

分式的值是0，则x的值为________．

参考答案

第4讲　分式及其运算

【考点概要】

1．字母　2.公因式　基本性质　同分母

【考题体验】

1．D　2.D　3.x≠2　4.2　5.a＋b.

【知识引擎】

【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得＝＝，当a＝6，b＝3时，原式＝＝1(有6种情况)．　(2)分式概念、运算法则，注意点等．

【例题精析】

例1　(1)x≠±3；(2)无解；(3).　例2　(1)1－2a；(2)1；(3)；(4)　例3　(1)a；(2)；(3)原式＝(x＋3)(x－3)·＝x(x＋3)＝x2＋3x，当x＝－1时，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2；(4)原式＝·＝·＝.由x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1，∵x≠1，∴当x＝－2时，原式＝＝.　例4　(1)，×(－)；

(2)，×(－)．(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝×＝×＝×＝.

【变式拓展】

1．x＝2　－2　

2.       A　
3.       (1)C　(2)A　(3)－  (4)　(5)，.　
4.       .　
5.       .当x＝1时，原式＝.　

6.(1)B　(2)40

【热点题型】

【分析与解】a1＝－，a2是a1的差倒数，即a2＝＝，a3是a2的差倒数，即a3＝＝3，a4是a3的差倒数，即a4＝＝－，…依此类推，∵÷3＝671……2，∴a＝a2＝.故答案为：.

【错误警示】

当＝0时，x2－4＝0且x2－x－2≠0，∴x＝－2.故答案为－2.