2022年中考数学总复习第28讲《图形的相似(2)相似形的应用》讲解(含答案) 学案

第2课时　相似形的应用

相似形的应用

1．(·绍兴模拟)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是____________________m.

2．(·衢州模拟)如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.1米，BP＝1.9米，PD＝19米，那么该古城墙CD的高度是____________________米．

3．(·新昌模拟)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126cm，OA＝OB＝56cm，且AB＝32cm，则此时C，D两点间的距离是____________________cm.

4．(·湖州模拟)如图，AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯，梯脚B到墙脚C的距离为1.6m，梯上一点D到墙面的距离为1.4m，BD长0.5m，则梯子的长为(　　)

A．3.5m　       B．4m        C．4.5m　　      D．5m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【问题】如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.

(1)若AB∥CD，则BC的长为________；

(2)当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

(3)通过(1)、(2)解答的体验，你认为相似三角形的应用要注意哪些问题？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理相似三角形在实际问题中的应用，即如何建立相似三角形模型；复习几何图形中如何寻找相似三角形或构建相似三角形，从而解决问题．

类型一　利用相似解决实际生活问题

　如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m.当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高(　　)

　　A．2m　        B．4m       C．4.5m      D．8m

【解后感悟】此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过实际问题构建相似三角形．

1．(·新疆)如图，李明打网球，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　　　　　　　　m.

2．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．

类型二　利用相似测量物体的高(长)度

　如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60m                 B．40m             C．30m              D．20m

【解后感悟】考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

3．(1)(·吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝14cm，则楼高CD为　　　　　　　　m.

(2)      (·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是　　　　　　　　米．

4．如图是一个照相机成像的示意图．

(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？

(2)如果要完整地拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

类型三　相似三角形中一个常见的模型

　如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝∠C＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作

∠APE＝∠B，PE交CD于E.

(1)求证：△APB∽△PEC；

(2)若CE＝3，求BP的长．

【解后感悟】如图是基本图形，若B，C，D在同一直线上，且∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝α，则有△ABC∽△CDE，∴＝；

此题通过基本图形与四边形、相似三角形以及等边三角形的结合，揭示基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

类型四　与相似三角形有关的综合问题

　(·金华)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为(　　)

【解后感悟】本题运用相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．

　(·陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连结AF并延长交BC的延长线于点G.求证：

(1)FC＝FG；

(2)AB2＝BC·BG.

【解后感悟】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题(2)的关键．

6．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°.设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为(　　)

(2)如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间t为　　　　　　　　s.

7．(·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于____________________．

【实际应用题】

某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

【方法与对策】这是实际应用性问题，通过题意，构造几何图形，揭示基本图形是相似三角形，这样把实际问题建模为相似三角形的问题，从而求解．这种设置是中考命题的方向．

【忽视三角形相似的对应关系】

如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________.

参考答案

第2课时　相似形的应用

【考题体验】

1．1　2.11　3.72　4.B

【知识引擎】

【解析】(1)∵AB∥CD，∵∠BAC＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△CAD，∴＝.在Rt△ADC中，∵AC＝，AD＝2，∴CD＝＝.∴BC＝＝2.  (2)要使这两个直角三角形相似，有＝或＝，∴AB＝＝＝3，或AB＝＝＝3.故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．　(3)证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等问题时，要想到相似三角形的应用；投影、平行线、标杆等问题以及测量物体的高度、宽度都需要构建相似三角形．当相似三角形对应边不明确时，需要分类讨论．

【例题精析】

例1　设长臂端点升高x米，则＝，∴x＝4.故选B.　

例2　B　

例3　(1)∵∠B＝∠C，而∠APB＋∠EPC＝180°－∠APE，∠APB＋∠PAB＝180°－∠B，又∠APE＝∠B，∴∠PAB＝∠EPC，∴△APB∽△PEC.　(2)过A作AF⊥BC于F，过D作DH⊥BC于H则△ABF≌△DCH，∵AD＝3，BC＝7，∴BF＝CH＝2，在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，AB＝＝＝＝4，∵△APB∽△PEC，∴＝，∴＝，∴BP＝3或4.　

例4　∵DH垂直平分AC，∴DA＝DC，AH＝HC＝2，∴∠DAC＝∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DAH＝∠BAC，∵∠DHA＝∠B＝90°，∴△DAH∽△CAB，∴＝，∴＝，∴y＝，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D.故选D.

例5　(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°，∴∠DCB＝∠G，∵∠DCB＝∠GCF，∴∠GCF＝∠G，∴FC＝FG；　(2)连结AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB＝∠CAB，∵∠DCB＝∠G，∴∠CAB＝∠G，∵∠CBA＝∠GBA＝90°，∴△ABC∽△GBA，∴＝，∴AB2＝BC·BG.

【变式拓展】

1．1.4　

2.梯形ABCD中AD∥BC，∴∠DAM＝∠BCM，∠ADM＝∠CBM，∴△DAM∽△BCM，∵AD＝10，BC＝20∴＝()2＝，∵S△AMD＝500÷10＝50m2，∴S△BMC＝4×50＝200m2.还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500元＜2000元，所以资金不够用．　

3.       (1)12　(2)8　
4.       根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴＝.(1)∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴＝，解得：LD＝7，∴拍摄点距离景物7米；　(2)拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴＝，解得：LC＝70，∴相机的焦距应调整为70mm.　
5.       ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6.∴∠A＝∠D＝90°，DC＝AB＝6.又∵AE＝9，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3.∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝.∴EF＝＝.

　6.(1)A　      (2)3或4.8　7.78

【热点题型】

【分析与解】根据题意∠BAD＝∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴＝，即＝，解得BD＝13.6米．答：河宽BD是13.6米．

【错误警示】答案：2或4.5.　分情况讨论，①当△ABC∽△AEF时，＝，∴＝，∴AF＝2；②当△ABC∽△AFE时，＝，∴＝，∴AF＝4.5.