2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学五模试卷（含答案）

2022-2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学五模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B. 5 C.  D.

2. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为
    

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图所示，已知，，，则的度数是
    

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线OA是某正比例函数的图象，下列各点在该函数图象上的是  
   
    

A.  B.  C.  D.

6. 关于x的一元二次方程有一个根为，则另一根为

A. 1 B.  C. 2 D. 3

7. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若，则▱ABCD的面积为

A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

8. 将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为   

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的内接三角形，AB是直径，点C在上，且，则等于
   
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数，若自变量x分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 比较实数的大小：3______填“”、“”或“”．
12. 若正n边形的一个外角为，则 ______ ．
13. 反比例函数的图象如图，点M是该函数图象上一点，轴于N，若，则k的值为______．
    
    
     

14. 如图，在 中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到设，，那么 ______ 用含a、b的式子表示

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）

15. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在中，，，请用尺规在AC边上求作一点D，使∽保留作图痕迹，不写作法
    
    
    
     

18. 如图，四边形ABDC的对角线AD、BC相交于点E，，求证：≌．
    
    
     

19. 某校为了进一步规范“自助餐”管理方式和提升“自助餐”的服务质量，特对全校师生采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为A，B，C，D四类，其含义依次表示为“非常满意”、“比较满意”、“基本满意”和“不太满意”，划分类别后的数据整理如下表不完整．

某校自助餐师生满意度调查频数表

求表中数据a，b的值．

若根据表中频数画扇形统计图，求类别为B的频数所对应的扇形的圆心角度数．

已知该校有师生1800名，估计对“自助餐”非常满意的人数．






 

20. 如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为，观察AB大楼的顶部A点的仰角为，求大楼AB的高．
    
    
     

21. 为奖励在社会实践活动中表现优异的同学，某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品．已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5支水性笔和3个文具袋共需60元
    求文具袋和水性笔的单价；
    学校准备购买文具袋10个，水性笔若干支超过10支文具店给出两种优惠方案：
    A：购买一个文具袋，赠送1支水性笔
    B：购买水性笔10支以上，超出10支的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折
    设购买水性笔x支，选择方案A的总费用为元，选择方案B的总费用为元，分别求出，与x的函数关系式；
    该学校选择哪种方案更合算？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止．
    
    直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
    用树状图或列表法，求出点落在第二象限内的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，内接于，CD平分交于D，过点D作分别交CA、CB延长线于P，Q，连接BD．
    求证：PQ是的切线；
    求证：．
    
     

24. 抛物线与直线相交于、两点，且抛物线与y轴交于点C．
    求抛物线的解析式；
    求出C、D两点的坐标
    在第四象限抛物线上有一点P，若是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

25. 数学活动

问题情景：

如图1，在中，，，四边形CDEF为正方形，当点D，F分别在AC，BC边上时，显然有，．
 

操作发现：

将正方形CDEF绕C顺时针旋转到如图2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；

将正方形CDEF绕C旋转到如图3的位置在线段AC上时，延长BF交AD于H，交AC于M，求证：；

问题解决：

在的条件下，当，时，求BH的长．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A
 

解析：解：的倒数是，
故选：A．
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.答案：A
 

解析：

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】
解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
3.答案：C
 

解析：解：A、本选项不是同类项，不能合并，错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项正确；
D、，本选项错误，
故选：C．
A、本选项不是同类项，不能合并，错误；
B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4.答案：B
 

解析：解：，
，
又，
．
故选：B．
根据，求出，再根据三角形外角的性质求出的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质，找到相应的平行线是解题的关键．
5.答案：B
 

解析：分析
设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出k的值，把各选项代入检验即可．
详解
解：设该正比例函数的解析式为，
函数图象过点，
，解得，
此函数的解析式为，
A、当时，，此点不在该函数的图象上，故本选项错误；
B、当时，，此点在该函数的图象上，故本选项正确；
C、当时，，此点不在该函数的图象上，故本选项错误；
D、当时，，此点不在该函数的图象上，故本选项错误．
故选B．
点睛
本题考察了求正比例函数图像解析式，求出函数解析式后，将选项中坐标一一代入即可属于简单题．
6.答案：A
 

解析：解：设方程的另一个根为a，
关于x的一元二次方程有一个根为，
由根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为1，
故选：A．
设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出，求出方程的解即可．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于a的方程是解此题的关键．
7.答案：D
 

解析：解：四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
，，
∽，
，，即，
，，
，
▱ABCD的面积，
故选：D．
根据平行四边形的性质得到，证明∽，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8.答案：D
 

解析：

【分析】
将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，得到的直线与直线垂直，设旋转后的点O的对应点为B，过A作轴于D，过B作于E，根据全等三角形的性质得到，，得到，于是得到结论．此题考查了一次函数图象与几何变换，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解本题的关键．
【解答】
解：将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，
得到的直线与直线垂直，
设旋转后的点O的对应点为B，过A作轴于D，过B作于E，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
，
则，
设函数解析式为，
把点代入得，
则所求函数解析式为．
故选：D．
9.答案：B
 

解析：解：是直径，
，
，
．
故选：B．
根据圆周角定理得到，利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
10.答案：A
 

解析：

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质等有关知识．
先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则时，y随x的增大而减小，于是由即可得到，，的大小关系．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线开口向下，
所以当时，y随x的增大而减小，
所以当时，．
故选A．
11.答案：
 

解析：

【分析】

本题考查比较大小，二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质，将3化成根号的形式即可比较出两实数的大小．

【解答】

解：将3化成，因为，
所以3大于．
故答案为．

12.答案：8
 

解析：解：．
所以n的值为8．
故答案为：8．
根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．
本题考查多边形的外角和的特征：多边形的外角和等于，是基础题型．
13.答案：
 

解析：解：反比例函数的图象在二、四象限，
，
点M是该函数图象上一点，，
，解得．
故答案为：．
先判断出k的取值范围，再直接根据反比例函数系数k的几何意义列出关于k的一元一次方程，求出k的值即可．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象上的点与坐标轴所围成的三角形的面积为．
14.答案：
 

解析：证明：≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，

故答案为
只要证明≌，推出，，由，推出，可得，根据即可解决问题．
本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.答案：解：原式
．
 

解析：直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.答案：解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验：是原方程的解．
原方程的解为．
 

解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.答案：解：如图，点D即为所求．

 

解析：本题主要靠考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．作或均可．
18.答案：解：，
，
在和中，
，
，
在和中，
．
 

解析：本题考查了全等三角形的判定和性质．
由题意知，可证得，进而得到，再证即可．
19.答案：解：问卷调查的总人数是：名，，名，
故答案为6；；
类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：；
如图

根据题意得：名．
答：该校学生中类别为A的人数约为540名．
 

解析：此题考查了扇形统计图和频数率分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息，
根据B类频数和频率求出总数，再根据频数、频率、总数之间的关系分布进行计算即可；
用类别为B的学生数所占的百分比乘以，即可得出答案；
用1800乘以类别为A的人数所占的百分比，即可求出该校学生中类别为A的人数．
20.答案：解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，
，，
四边形PDBE是矩形，
，，
，
，
．
答：建筑物AB的高为米．
 

解析：本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再由可知，由得出AE的长，进而可得出结论．
21.答案：解：设水性笔的单价m元，文具袋的单价为5m元，
根据题意得：
解得：，则
答：文具袋的单价为15元，水性笔的单价的为3元．
根据题意得：

若时，
解得：
若时，
解得：
若时，
解得：
答：当购买数量大于60支时，选择B方案更合算；
当购买数量等于60支时，选择A方案或选择B方案均可；
当购买数量小于60支时，选择A方案更合算；
 

解析：设水性笔的单价m元，文具袋的单价为5m元，根据题意列出方程，求解即可；
根据题意可直接写出，与x的函数关系式；
分时，时，时三种情况讨论，列出不等式，求解即可．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理清题意是列出不等式解决问题的关键．
22.答案：解：一共有6种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：，共2种情况，
甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为：；
根据题意，列表得：

点的坐标一共有36种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点落在第二象限的结果共有6种，
点落在第二象限内的概率为：．
 

解析：此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据概率的知识，利用概率公式即可求得答案；
根据题意列出表格，然后根据表格可求得所有等可能的结果与点落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
23.答案：证明：连接OD．
平分，
，
，
，
，
，
是的切线．

证明：连接AD．
，
，，
，，
，，
∽，
，
又，
；
 

解析：欲证明PQ是切线，只要证明即可；
连接AD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．
24.答案：解：把、两点坐标代入
可得  
解得
抛物线解析式为：
把代入中可得，
设，把、两点坐标代入
解得
直线解析式为：
根据题意，等腰三角形PCD以CD为底，根据等腰三角形三线合一性质，可知P点在CD的垂直平分线上，
所以由，可知CD的垂直平分线为这条平行于x轴的直线．
点纵坐标为，又点P在抛物线上，将P点纵坐标代入解析式
解得：，
，点P在第四象限
．
 

解析：本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
把、两点坐标代入可得抛物线解析式．
当时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当可求D点坐标．
由题意可知P点纵坐标为，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
25.答案：解：成立．
理由：如图2中，

四边形CDEF是正方形，
，，
，
，，
≌，
．

证明：如图3中，

≌，
，
，，
，
，
．

解：如图3中，作于P，连接BD．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

解析：欲证明，只要证明≌即可；
由≌，推出，由，，推出，推出即可；
如图3中，作于P，连接求出的面积，利用面积法求出线段BH即可；
本题考查四边形综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法求相关线段，属于中考压轴题．