考点02 双曲线-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02双曲线

1．（2021·全国高二课时练习）若双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】

首先将双曲线化为标准式，即可表示出，，再根据及离心率为得到方程，解得即可；

【详解】

解：因为，所以，即，，所以，因为离心率为，即，解得

故选：D

【答案】A

【分析】

把点代入双曲线方程求出的值，从而根据双曲线的渐近线方程公式求出答案.

【详解】

因为双曲线经过点，

所以代入得，解得，即，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A.

3．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，由双曲线定义和椭圆定义可求得关系，从而得离心率．

【详解】

设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，设，

则，，

又，所以，，

由余弦定理得，即，

，，

所以，，

所以椭圆离心率为．

故选：B．

4．（2021·江苏高二专题练习）双曲线的焦点为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

利用双曲线方程化为标准方程，然后判断焦点位置求解双曲线的焦点坐标．

【详解】

双曲线化标准方程为：，所以焦点在轴上，

可得，，，

所以双曲线的焦点坐标：．

故选：D．

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线的两条渐近线形成的对顶角中有一对对顶角均为60°，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C．或2 D．4或

【答案】C

【分析】

先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是，求得的值，进而根据求得，进而离心率可得．

【详解】

解：双曲线的渐近线方程为，渐近线斜率是，而夹角是，

因为两直线关于轴对称，

所以和轴夹角是或，即或，

若，即，，，

（负的舍去）；若，，，，

即．所以，或．

故选：．

6．（2021·全国高三其他模拟（理））下列双曲线的渐近线方程为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据各选项的双曲线的标准方程直接写出渐近线方程即可判断是否符合.

【详解】

A：的渐近线方程为，故A错误；

B：的渐近线方程为，故B正确；

C：的渐近线方程为，故C错误；

D：的渐近线方程为，故D错误；

故选：B.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先求出抛物线的准线方程，再求出双曲线的渐近线方程，令，求得三角形的三个顶点的坐标，结合曲线的对称性，求出三角形的面积．建立相应的等量关系式，结合双曲线中的关系，求得双曲线的离心率．

【详解】

抛物线的准线方程为，将分别代入双曲线的两条渐近线方程 ，

得准线与两条渐近线交点的纵坐标分别为，由题意可得，

化简可得，所以，即得，所以双曲线的离心率为．

故选：B

8．（2021·天津市宝坻区大口屯高级中学高三其他模拟）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据抛物线的焦点坐标，结合双曲线的渐近线方程和等边三角形的性质进行求解即可.

【详解】

因为抛物线的焦点坐标为：，所以有，

双曲线的渐近线方程为：，

因为点在双曲线的渐近线上，是等边三角形，

所以有，而，解得：，

故选：A

9．（2021·江苏高二专题练习）已知直线被中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线所截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】

先判断焦点位置，再利用当时，，当时，，即解方程组求解

【详解】

由直线被双曲线截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，可得双曲线的焦点在轴上，不妨设双曲线方程为，

直线被双曲线截得的线段长为6，所以当时，，①

由双曲线的渐近线方程为，直线被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为

，所以对于，当时，，即，②

由①②解得，故双曲线方程为，

故选：．

10．（2021·丽江市教育科学研究所高二期末（理））已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率.

【详解】

由得，

所以圆心，半径，

双曲线：的一条渐近线为，

由题意得圆心到渐近线的距离，所以，

所以，所以.

故答案为：.

11．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】

写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率

【详解】

双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

12．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】

关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

13．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．

【详解】

因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，

由，解得，即．

故选：D.

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

14．（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为

A． B． C．  D．

【答案】A

【分析】

本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．

【详解】

由．

，

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，

，故选A．

【点睛】

忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．

15．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【分析】

将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】

由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】

本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

16．（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

【答案】2

【分析】

根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．

【详解】

联立，解得，所以.

依题可得，，，即，变形得，,

因此，双曲线的离心率为.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．

17．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.

【答案】

【分析】

根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.