考点02线面平行与垂直-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02线面平行与垂直

1．（2021·全国高三其他模拟），，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，两两相交，且交于同一点，则，，共面

D．若，，，则

【答案】D

【分析】

根据空间线面之间的关系，逐项进行判断分析即可得解.

【详解】

对于选项A，若成立还需要添加条件，故A不正确；

对于选项B，由，，还可能得到，是异面直线，故B不正确；

对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确；

对于选项D，，，，又，，故D正确．

故选：D.

2．（2020·全国高三一模（理））已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】

根据面面平行的判定及性质求解即可．

【详解】

解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，

由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；

反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，

∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，

则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．

3．（2018·全国（理））设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

①一根直线同时垂直两个不相同的平面，显然这两个平面平行，故正确；②因为两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直这个平面，故正确；③若，则必存在直线，所以由面面垂直的判定可知，故正确；若，则由线面垂直的判定可知，故正确

4．（2012·全国高三一模（理））若是空间三条不同的直线， 是空间两个不同的平面，则下列命题中，命题不正确的是

A．当时，若 ，则

B．当时，若 ，则

C．当且是在内的射影时，若，则

D．当且 时，若，则

【答案】D

【详解】

试题分析：若,则由平面与平面平行的判定定理，得，所以是正确的；若,则有平面与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；若当且是在内的射影, 若，则由三垂线定理得，所以是正确的；若不共面，则不成立，所以D是错误的，故选D.

考点：线面位置关系的判定.

5．（2021·扬州大学附属中学东部分校高一期中）已知直线，和平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，

C．若，，则 D．若，，则或

【答案】D

【分析】

根据空间中直线和平面的位置关系依次判断选项即可.

【详解】

对选项A，若，，则与的位置关系为：平行或异面，故A错误.

对选项B，若，，则与的位置关系为：平行，相交或异面，故B错误.

对选项C，若，，因为不知道是否在平面内，

所以不能得到，故C错误.

对选项D，若，，当时，，

当时，也满足条件，故D正确.

故选：D

6．（2021·云南省南涧县第一中学高二期中（理））两个不同的平面与平行的一个充分条件是（    ）

A．内存在无数条直线与平行

B．内存在直线与内的无数条直线都平行

C．平面且平面

D．平面且平面

【答案】C

【分析】

由面面平行的判定定理，逐个判断选项即可

【详解】

由面面平行的判定定理可知，A，B，D选项都无法推出平面与平面平行；易知C选项可推出平面与平面平行.

故选：C

7．（2021·上海市亭林中学高二期中）一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先还原正方体，将对应的字母标出，根据异面直线所成角的概念，作出异面直线所成角，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.

【详解】

还原正方体，如图所示，

设正方体棱长为，

由题意可得，，

则，，，

又在正方体中，，

所以或其补角即为异面直线与所成角，

.

故选：D.

8．（2021·扬州大学附属中学东部分校高一期中）如图，在正方体中，为上底面的中心，直线与平面所成角的正切值等于（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接与交于点，则即直线与平面所成的角，进而可求得结果.

【详解】

连接与交于点，连接，则平面，所以即直线与平面所成的角.

设正方体的棱长为，则，，所以.

故选：B.

9．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（理））如图甲，在梯形中，，，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（    ）

①平面；②平面；③平面.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可.

【详解】

对于①，因为， 为的中点，所以，又

所以四边形是平行四边形，因此，

因为平面，平面，

所以平面，所以①正确，

对于②，延长到，使，连接，因为为的中点，所以，因为与平面交于点，所以与平面不平行，

对于③，连接交于，连接，

因为，为的中点，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，所以③正确，

故选：C

10．（2021·浙江高三月考）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积的最大值为

D．过点分别作于点，于点，则

【答案】D

【分析】

由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.

【详解】

底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.

所以在堑堵中，，侧棱平面,

在选项A中，因为，，显然与不垂直，

且为矩形，所以四棱锥不为“阳马”，故A错误；

在选项B中，由，且，

所以平面，所以，则为直角三角形，

为直角三角形，

由平面，得为直角三角形，

不为直角三角形，所以不是“鳖臑”，，故B错误;

在选项C中，在底面有，即，

当且仅当时取等号，

则，所以C错误；

在选项D中，由平面，则且，

则平面，所以

又且，则平面，则，所以D正确.

故选：D.

11．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.

【详解】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

12．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

13．（2019·全国高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则

A．，且直线是相交直线

B．，且直线是相交直线

C．，且直线是异面直线

D．，且直线是异面直线

【答案】B

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】

如图所示， 作于，连接，过作于．

连，平面平面．

平面，平面，平面，

与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，

．，故选B．

【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．

14．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】

对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

15．（2019·北京高考真题（理））已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.

【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】

将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；

（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；

（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.