2017年重庆市开县四校中考一模数学试卷

这是一份2017年重庆市开县四校中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 5 的绝对值是
A. 5B. −5C. ±5D. 15

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 在我市 2016 年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到 5400000 平方米，将数据 5400000 用科学记数法表示为
A. 0.54×107B. 54×105C. 5.4×106D. 5.4×107

4. 函数 y=23−x 中自变量 x 的取值范围是
A. x>3B. xm−9,−2x+4≥4m−8 有解，且使分式方程 1x−2−m−x2−x=2 有非负整数解的所有的 m 的和是
A. −2B. −3C. −7D. 0

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知 △ABC 与 △DEF 的相似比为 2:3，则 △ABC 与 △DEF 的面积比为 ．

14. 计算 −12−1+23−10−∣tan45∘−23∣= ．

15. 从 −1，0，1，3，4 五个数字中，随机抽取一个数，记为 a．那么，使一次函数 y=−3x+a 不经过第三象限的概率是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=120∘，BC=23，⊙A 与 BC 相切于点 D，且交 AB，AC 于 M，N 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 π）．

17. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 600 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 2 秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与乙出发的时间 t（秒）之间的关系如图所示，则 b= ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 Bʹ 处，又将 △CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在直线 EBʹ 与 AD 的交点 Cʹ 处，DF= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．求证：AB=CD．

20. 某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班 50 名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计图，如图所示．
（1）这 50 名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是 元/人；
（2）如果把全班 50 名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为 20 元的人数所占的圆心角度数是 ．
（3）据统计该校的 1500 人中，每人每周的零花钱有 75% 在学校超市消费，试估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为多少元?

21. 化简下列各式．
（1）a−b2+2a−ba−2b．
（2）x−33x2−6x÷x+2−5x−2．

22. 如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y=kx 与直线 y=−x−k+1 在第二象限的交点，AB⊥x轴 于 B 且 S△ABO=32．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标及 △AOC 的面积．

23. 小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，从 2016 年 1 月开店以来，平均每天可卖出毛衣 10 件，牛仔裤 20 件，已知买 1 件毛衣和 3 件牛仔裤与买 2 件毛衣和 1 件牛仔裤需要的钱一样多，都为 500 元．
（1）求买一件毛衣和一件牛仔裤各需要多少钱?
（2）双十一将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了 a%，销售量在原来的基础上上涨 2a%，牛仔裤每件售价也降低了 a%，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为 3960 元，求 a 的值．

24. 当一个多位数位数为偶数时，在其中间位插入一位数 k（0≤k≤9，且 k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字 6 可得 435729 的一个关联数 4356729．其中 435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）若一个三位关联数是原来两位数的 9 倍，请找出满足这样的三位关联数；
（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字 m，得其关联数（0≤m≤9，且 m 为 3 的倍数），试证明：所得的关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除．

25. △ABC 是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90∘．
（1）如图 1，点 M 是 BA 延长线上一点，连接 CM，K 是 AC 上一点，BK 延长线交 CM 于 N，∠MBN=∠MCA=15∘，BK=8，求 CM 的长度．
（2）如图 2，直线 l 经过点 C，AF⊥l 于点 F，BE⊥l 于点 E，点 D 是 AB 的中点，连接 ED，求证：AF=BE+2DE．

26. 如图，抛物线 y=−12x2+52x+3 与 x 轴交于点 A 、点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为 m,0，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q．
（1）求直线 BD 的解析式；
（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M，当 △DQB 面积最大时，在 x 轴上找一点 E，使 QE+55EB 的值最小，求 E 的坐标和这个最小值．
（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使 △BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
3. C
4. B
5. D
6. A
7. D
8. B
9. D
10. D
11. D
12. B
第二部分
13. 4:9
14. −23
15. 45
16. 3−π3
17. 192
18. 43
第三部分
19. ∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
在 △ABE 和 △DCF 中，
∠A=∠D,∠B=∠C,AE=DF,
∴△ABE≌△DCF AAS．
∴AB=CD．
20. （1） 12
【解析】平均数是 150×5×10+10×15+15×20+20×5=12 （元/人）；
（2） 36∘
【解析】一周内的零花钱数额为 20 元的人数所占的圆心角度数是 360∘×550=36∘；
（3） 1500×12×75%=13500 （元），
答：估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为 13500 元．
21. （1） 原式=a2−2ab+b2+2a2−ab−4ab+2b2=3a2−7ab+3b2.
（2） 原式=x−33xx−2÷x+2x−2−5x−2=x−33xx−2÷x2−9x−2=x−33xx−2⋅x−2x+3x−3=13xx+3=13x2+9x.
22. （1） 设点 A 的坐标为 x,y，
∵12−xy=32，
∴xy=−3．
∵k=xy，
∴k=−3，
∴ 分别代入得：双曲线的解析式 y=−3x，一次函数的解析式 y=−x+2．
（2） 联立，得
y=−3x,y=−x+2,
解得 x=−1,y=3, 或 x=3,y=−1,
A−1,3，C3,−1．
∵ 直线与 y 轴的交点为 0,2，
∴S△AOC=12×2×1+12×2×3=4．
23. （1） 设买一件毛衣需要 x 元钱，买一件牛仔裤需要 y 元钱，依题意有
x+3y=500,2x+y=500.
解得
x=200,y=100.
答：买一件毛衣需要 200 元钱，买一件牛仔裤需要 100 元钱．
（2） 依题意有：
2001−a%×101+2a%+1001−a%×20=3960,
解得
a1=−10舍去,a2=10.
故 a 的值为 10．
24. （1） 设原数为 ab=10a+b，其关联数为 acb=100a+10c+b，
∵acb=9ab，
∴100a+10c+b=9×10a+b，
∴5a+5c=4b，
∴5a+c=4b，
∵b，c 为整数，a 为正整数，且 a，b，c 均为一位数，
∴b=5，a+c=4，
∴a=1，c=3；a=2，c=2；a=3，c=1；a=4，c=0，
∴ 满足条件的三位关联数为 135，225，315 和 405．
（2） 设原数为 a1a2a3⋯an−2an−1an（n 为偶数），关联数为 a1a2a3⋯m⋯an−2an−1an，
原数 10 倍为 a1a2a3⋯an−2an−1an0，
将关联数与原数 10 倍相减得：m⋅10n2+1−9×an2+1an2+2⋯an−1an，
∵m 和 9 均为 3 的倍数，
∴ 关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除．
25. （1） 如图 1，过 C 作 CD⊥AB 于 D，
∵ AC=BC，∠ACB=90∘，
∴ ∠ABC=∠BAC=45∘，
∵ ∠MBN=15∘，
∴ ∠KBC=30∘，
∵ BK=8，
∴ BC=43，
∴ CD=22BC=26，
∵ ∠MCA=15∘，∠BAC=45∘，
∴ ∠M=30∘，
∴ CM=2CD=46；
（2） 如图 2，连接 DF，CD，
∵ BE⊥CE，
∴ ∠BEC=∠ACB=90∘，
∴ ∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90∘，
∴ ∠EBC=∠CAF，
∵ AF⊥l 于点 F，
∴ ∠AFC=90∘，
在 △BCE 与 △ACF 中，
∠AFC=∠BEC=90∘,∠EBC=∠ACF,BC=AC.
∴ △ACF≌△CBE；
∴ BE=CF，CE=AF，
∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴ CD=BD，∠CDB=90∘，
∵ ∠EBD=∠DCF，
在 △BDE 与 △CDF 中，
BE=CF,∠EBD=∠FCD,BD=CF.
∴ △BDE≌△CDF，
∴ ∠EDB=∠FDC，DE=DF，
∵ ∠CDF+∠FDB=90∘，
∴ ∠EDB+∠BDF=90∘ ，
∴ ∠EDF=90∘，
∴ △EDF 是等腰直角三角形，
∴ EF=2DE，
∴ AF=CE=EF+CF=BE+2DE．
26. （1） 当 y=0 时，−12x2+52x+3=0，解得 x1=6，x2=−1，
所以 A−1,0，B6,0，
当 x=0 时，y=3，则 C0,3．
因为点 D 与点 C 关于 x 轴对称，
所以点 D 为 0,−3．
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，将 D0,−3 和 B6,0 分别代入解析式得 b=−3,6k+b=0,
解得：k=12,b=−3.
所以直线 BD 的解析式为 y=12x−3．
（2） 如图 1，设点 P 的坐标为 m,0，
则点 Qm,−12m2+52m+3，Mm,12m−3．
△QBD的面积=12OB×QM=12×6×−12m2+52m+3−12m+3=−32m−22+24,
所以当 m=2 时，△QBD 的面积有最大值，此时 Q2,6．
如图 2 所示：过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F．
在 Rt△OBD 中，OB=6，OD=3，则 BD=35，
所以 sin∠EBF=EFBE=sin∠OBD=ODBD=335=55，
所以 EF=55BE，
所以 QE+55EB=QE+EF，
所以当点 Q，E，F 在一条直线上时，QE+55EB 有最小值，
过点 Q 作 QFʹ⊥BC，垂足为 Fʹ，QFʹ 交 OB 与点 Eʹ．
设 QFʹ 的解析式为 y=−2x+b，将点 Q 的坐标代入得：−4+b=6，解得 b=10．
所以 QFʹ 的解析式为 y=−2x+10．
当 y=0 时，−2x+10=0，解得 x=5，
所以点 Eʹ 的坐标为 5,0，即点 E 的坐标为 5,0 时 QE+55EB 有最小值．
所以 QE+55EB 的最小值 =5−22+6−02+55×6−5=35+55=1655．
（3） 当 ∠QDB=90∘ 时，如图 3，
DQ 的解析式为 y=−2x−3．
将 y=−2x−3 与 y=−12x2+52x+3 联立解得：x=9+1292 或 x=9−1292．
所以点 Q 的坐标为 9+1292,−12−129 或 9−1292,−12+129，
当 ∠QBD=90∘ 时，如图 4，
DQ 的解析式为 y=−2x−7.5−3=−2x+12，
将 y=−2x+12 与 y=−12x2+52x+3 联立解得 x=3 或 x=6（舍去），
所以点 Q 的坐标为 3,6．
当 ∠BQD=90∘ 时，如图 5，
设点 Q 的坐标为 x,−12x2+52x+3，则 QD2=x2+−12x2+52x+62，BQ2=x−62+−12x2+52x+32，BD2=45，
依据勾股定理可知：x2+−12x2+52x+62+x−62+−12x2+52x+32=45，
解得：x=613 或 x=6（舍去）．
将 x=613 代入抛物线的解析式得：y=−119，
所以点 Q 的坐标为 613,−119．
综上所述，点 Q 的坐标为 9+1292,−12−129 或 9−1292,−12+129 或 3,6 或 613,−119．