2017年重庆市沙坪坝区中考一模数学试卷

这是一份2017年重庆市沙坪坝区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 6 的倒数是
A. 6B. −6C. 16D. −16

2. 下列数学符号中，是轴对称图形的是
A. ≥B. ∽C. ⊥D. ∥

3. 计算 ab32 的结果是
A. a2b6B. a2b5C. ab6D. ab5

4. 下列调查中，适宜采用普查方式的是
A. 调查热播电视剧《人民的名义》的收视率
B. 调查重庆市民对皮影表演艺术的喜爱程度
C. 调查某社区居民对重庆万达文旅城的知晓率
D. 调查我国首艘货运飞船“天舟一号”的零部件质量

5. 若 m=−1，n=2，则 m2−2n+1 的值是
A. 6B. 0C. −2D. −4

6. 在函数 y=x+2 中，自变量 x 的取值范围是
A. x≥2B. x≥−2C. x>2D. x>−2

7. 如果 △ABC 与 △DEF 的相似比为 1:5，则 △ABC 与 △DEF 的面积比为
A. 1:25B. 1:5C. 1:2.5D. 1:5

8. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，若 ∠BOC=100∘，则 ∠BAC 的度数是
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

9. 估计 32−4÷2 的运算结果在哪两个整数之间
A. 3 和 4B. 4 和 5C. 5 和 6D. 6 和 7

10. 观察下列一组图形，图 1 中共有 4 个三角形，图 2 中共有 8 个三角形，⋯，按此规律，则图 2017 中三角形的个数是 个．
A. 2017B. 4034C. 6051D. 8068

11. 游歌乐山森林公园最佳路线推荐：如图，先从 A 沿登山步道走到 C，再乘坐索道缆车到 B，已知在 A 处观测 B，测得仰角 ∠FAB=31∘，且 A，C 的水平距离 AD=150 米，A，C 的竖直距离 CD=40 米，索道 BC 的坡度 i=2:3，则索道 BC 的长约为 米（参考数据：sin31∘≈0.5，tan31∘≈0.6，13≈3.6）．
A. 1200B. 1100C. 1000D. 900

12. 若关于 x 的不等式组 123x−2≤x+1,5x+3>a−2x 有且仅有五个整数解，且关于 x 的分式方程 xx−1−a−21−x=3 有整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是
A. −4B. −3C. −1D. 0

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 重庆市沙坪坝火车站综合交通枢纽改造工程总投资额约为 760000 万元，数字 760000 用科学记数法表示为 ．

14. 计算：∣−2∣+1−3270+12−1= ．

15. 如图，以 等边△AOB 的顶点 O 为圆心的弧与边 AB 相切，与边 OA，OB 分别交于 C，D 两点，若 AB=2，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 π）．

16. 为积极响应沙坪坝区创建全国文明城区活动，某校举行了以“弘扬社会主义核心价值观”为主题的征文比赛，校德育处对全校每班的投稿篇数进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，则在本次征文比赛中，平均每班投稿篇数为 篇．

17. 小鹏早晨到校发现作业忘带，就打电话叫爸爸立即把作业送到学校，小鹏也同时往家赶，两人相遇后，小鹏以原速度返回学校，爸爸则以原速度的 23 返回家．设爸爸行走的时间为 x 分钟，小鹏和爸爸两人之间的距离为 y 米，y 与 x 的函数关系如图所示，则当小鹏回到学校时，爸爸还需要 分钟才能到家．

18. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=2，BD=6，将 △AOD 沿 AD 翻折得到 △AED，延长 EA 交 BD 于点 F，交 BC 于点 G．连接 OG，则 △FOG 的面积是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，已知 l1∥l2，Rt△ABC 的两个顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，∠C=90∘，若 l2 平分 ∠ABC，交 AC 于点 D，∠1=26∘，求 ∠2 的度数．

20. 为更好地开展选修课，戏剧社的张老师统计了近五年该社团学生参加市级比赛的获奖情况，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）该社团 2017 年获奖学生人数占近五年获奖总人数的百分比为 ，补全折线统计图；
（2）该社团 2017 年获奖学生中，初一、初二年级各有一名学生，其余全是初三年级学生，张老师打算从 2017 年获奖学生中随机抽取两名学生参加学校的艺术节表演，请你用列表法或画树状图的方法，求出所抽取两名学生恰好都来自初三年级的概率．

21. 计算：
（1）2aa−b−a−b2；
（2）1+3a−2÷a+1a2−4．

22. 如图，直线 y=k1x+1k1≠0 与双曲线 y=k2xk2≠0 交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴交于点 D，E，tan∠ADO=1，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，若点 O 是 CD 的中点，连接 OA．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求 cs∠OAC 的值．

23. 沙坪坝区三峡广场水系工程改造将于 2017 年 5 月竣工，某施工单位在某工段改造中，计划购进A，B两种不同标号的水泥，其中A种标号 40 吨，B种标号 20 吨，共需 28000 元，已知A种标号水泥的售价比B种标号水泥的售价高 100 元/吨．
（1）求A，B两种标号水泥的售价；
（2）在实际购买时，销售商为支持沙坪坝区城市建设，将A，B两种标号水泥的售价均降低 a% 进行销售，同时因为实际需要，施工单位决定在原计划的基础上多购买 0.4a 吨A种标号水泥，这样购买水泥的总费用恰好比原计划减少 1000 元，求 a 的值．

24. 已知 △ABC 和 △DEB 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90∘．
（1）如图 1，若点 E，B，C 在同一直线上，连接 AE，当 ∠AEC=30∘，BC=4 时，求 EB 的长；
（2）如图 2，将图 1 中的 △DEB 绕点 B 顺时针旋转，当点 C 在 ED 的延长线上时，EC 交 AB 于点 H，求证：∠EAH=2∠HCB．

25. 一个形如 cbabc 的五位自然数（其中 c 表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a 表示百位上的数字．且 c≠0），若有 a+c=b，则把该自然数叫做“M 数”，例如在自然数 25352 中，3+2=5，则 25352 是一个“M 数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数 n 整除的最大“M 数”记为 P，与各数位数字之和的差能被自然数 n 整除的最小“M 数”记为 Q．
（1）求证：若 4c+3a 能被 9 整除，则任意一个“M 数”都能被 9 整数；
（2）若“M 数”与它各数位数字之和的差能被 7 整除，请求出 P 和 Q．

26. 如图 1，抛物线 y=−12x2+32x+2 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，连接 BC．
（1）求直线 BC 的解析式；
（2）如图 2，点 D 是 CB 上方抛物线上一动点，连接 DC，DB，过点 A 作 CB 的平行线，交对称轴于点 E，交 DB 的延长线于点 F，连接 CF，当 △CDF 的面积最大时，在对称轴上找一点 R，使得 DR+255RE 的值最小，求出此时点 R 的坐标；
（3）如图 3，将抛物线平移，与 x 轴，y 轴分别交于点 G，H，且满足点 G 与点 B 关于原点 O 对称，CH=CO，∠OHG 的平分线交 x 轴于点 P，PQ⊥GH 于点 Q，将 △PQH 绕点 O 逆时针旋转 α0∘<α<180∘，记旋转中的 △PQH 为 △PʹQʹHʹ，在旋转过程中，直线 PʹQʹ，PʹHʹ 分别与直线 GH 交于点 M，N，△PʹMN 能否成为等腰三角形?若能，请直接写出所有满足条件的 α 的值；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】6 的倒数是 16．
2. C【解析】A．不是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．不是轴对称图形．
3. A【解析】ab32=a2b6．
4. D【解析】A、调查热播电视剧《人民的名义》的收视率适宜采用抽样调查方式；
B、调查重庆市民对皮影表演艺术的喜爱程度适宜采用抽样调查方式；
C、调查某社区居民对重庆万达文旅城的知晓率适宜采用抽样调查方式；
D、调查我国首艘货运飞船“天舟一号”的零部件质量适宜采用普查方式．
5. C
【解析】当 m=−1，n=2 时，
原式=1−4+1=−2.
6. B【解析】∵x+2≥0，
∴x≥−2．
7. A【解析】∵△ABC 与 △DEF 的相似比为 1:5，
∴△ABC 与 △DEF 的面积比为 1:25．
8. B【解析】因为 BC 所对的圆心角是 ∠BOC，圆周角是 ∠BAC，∠BOC=100∘，所以 ∠BAC=100∘×12=50∘．
9. B【解析】原式化简得：32−4÷2=32−1，
∵5<32<6，
∴4<32−1<5，
∴32−4÷2 的运算结果在 4 和 5 之间．
10. D
【解析】∵ 图 1 中三角形个数（单位：个）4=4×1，
图 2 中三角形个数（单位：个）8=4×2，
⋯
∴ 图 2017 中三角形个数为 4×2017=8068（个）．
11. D【解析】∵ 索道 BC 的坡度 i=2:3，
∴ 设 BE=2x 米，则 CE=3x 米．
∵BF⊥AF，CD⊥AF，CE⊥BF，CD=40 米，AD=150 米，
∴EF=CD=40 米，CE=DF=3x，
∴BF=BE+EF=2x+40 米，AF=DF+AD=3x+150 米，
∵∠FAB=31∘，
∴BFAF=tan31∘，即 2x+403x+150≈0.6，解得 x≈250，
∴BC=BE2+CE2=4x2+9x2=13x≈3.6×250=900（米）．
12. A【解析】由不等式组可知：x≤4 且 x>a−37，
∵ 不等式组有且只有 5 个整数解，
∴−1≤a−37<0，
∴−4≤a<3，
由分式方程可知：x=a+12，
将 x=a+12 代入 x−1≠0，
∴a≠1，
∵ 关于 x 的分式方程有整数解，
∴a+1 能被 2 整除，
∵a 是整数，
∴a=−3或−1，
∴ 所有满足条件的整数 a 之和为 −4．
第二部分
13. 7.6×105
【解析】数字 760000 用科学记数法表示为 7.6×105．
14. 5
【解析】原式=2+1+2=5．
15. 3−π2
【解析】如图，连接 OE，
∵ 以等边 △AOB 的顶点 O 为圆心的弧与边 AB 相切，
∴OE⊥AB，
∵OA=OB，
∴E 为 AB 中点，即 AE=BE=12AB=1，∠AOE=∠BOE=30∘，
∴OA=2AE=2，
根据勾股定理得：OE=OA2−AE2=3，
则 S阴影=34×4−60π×3360=3−π2．
16. 8
【解析】根据题意得：7×8+8×5+9×6+10×18+5+6+1=8（篇）．
17. 2.5
【解析】设爸爸从家到与小鹏相遇的过程中的速度为 a 米/分钟，
由题意和图象可得，13a×5=1350−1150，
解得，a=120，
∴ 当小鹏回到学校时，爸爸还需要：1350−115023×120=2.5（分钟）．
18. 940
【解析】如图，作 AH⊥CD 于 H，GN⊥AC 于 N．
∵ 四边形 ABCD 是菱形．
∴AC⊥BD，OA=OC=1，OB=OD=3，
∴CD=12+32=10，
∴12⋅AC⋅BD=CD⋅AH，
∴AH=3510，
∴DH=AD2−AH2=4510，
∵∠CAG+2∠DAC=180∘，∠ADC+2∠DAC=180∘，
∴∠CAG=∠ADC，
∵∠ACG=∠ACD=∠CAD，
∴∠AGC=∠ACG，
∴AG=AC=2，
∵∠ANG=∠AHD，
∴△AGN∽△DAH，
∴GNAH=AGAD=ANDH，
∴GN=65，AN=85，
∵OF∥GN，
∴OFGN=AOAN，
∴OF=34，
∴S△OFG=12⋅OF⋅ON=12×34×35=940．
第三部分
19. ∵l1∥l2，∠1=26∘，
∴∠1=∠ABD=26∘，
又 ∵l2 平分 ∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=52∘，
∵∠C=90∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，∠2=90∘−∠ABC=38∘．
20. （1） 20%
【解析】近五年获奖总人数 =7÷35%=20（名），
该社团 2013 年获奖占近五年获奖总人数的百分比 =120=5%，
所以该社团 2017 年获奖占近五年获奖总人数的百分比 =25%−5%=20%，
所以该社团 2017 年获奖总人数 =20×20%=4（名），
补全折线统计图如图 1 所示：
（2） 画树状图如图 2 所示：（用 A 表示初一学生、用 B 表示初二学生，用 C1，C2 表示初三学生）
共有 12 种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好都来自初三年级的结果数为 2 种，
所以所抽取两名学生恰好都来自初三年级的概率 =212=16．
21. （1） 原式=2a2−2ab−a2−2ab+b2=a2−b2.
（2） 原式=a+1a−2×a2−4a+1=a+2.
22. （1） 在 y=k1x+1 中令 x=0，解得 y=1，
则 E 的坐标是 0,1，则 OE=1．
∵tan∠ADO=OEOD=1，
∴OD=OE=1，
又 ∵O 是 CD 的中点，
∴OC=OD=1，CD=2．
∵tan∠ADC=ACCD=1，
∴AC=2，
∴A 的坐标是 1,2．
把点 1,2 代入 y=k2x 得 k=2，
则反比例函数的解析式是 y=2x．
（2） 在 Rt△AOC 中，OA=AC2+OC2=22+12=5，
则 cs∠OAC=ACOA=25=255．
23. （1） 设B种标号水泥的售价为 x 元/吨，则A种标号水泥的售价为 x+100 元/吨，
根据题意得：
40x+100+20x=28000.
解得：
x=400.x+100=500.
答：A种标号水泥的售价为 500 元/吨，B种标号水泥的售价为 400 元/吨．
（2） 根据题意得：
28000×a%−0.4a×5001−a%=1000.
整理得：
a2+40a−500=0.
解得：
a1=10,a2=−50舍去.
答：a 的值为 10．
24. （1） 如图 1，作 AH⊥BC 于 H．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，AH⊥BC，
∴AH=BH=HC=2，
在 Rt△AEH 中，
∵∠AHE=90∘，AH=2，∠AEH=30∘，
∴EH=AHtan30∘=23，
∴EB=EH−BH=23−2．
（2） 如图 2，连接 AD．
∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，
∴△BHD∽△CHA，
∴DHAH=BHCH，
∴DHBH=AHCH，
∵∠AHD=∠CHB，
∴△AHD∽△CHB，
∴∠ADH=∠CBH=45∘，∠DAH=∠BCH，
∴∠ADB=90∘+45∘=135∘，
∴∠ADE=360∘−90∘−135∘=135∘，
∴∠ADE=∠ADB，
在 △ADE 和 △ADB 中，
AD=AD,∠ADE=∠ADB,DE=DB,
∴△ADE≌△ADB，
∴∠DAE=∠DAB，
∵∠DAB=∠BCH，
∴∠EAH=2∠HCB．
25. （1） 由题意可知：cbabc=10000c+1000b+100a+10b+c=10001c+1010b+100a，
∵a+c=b，
∴cbabc=10001c+1010b+100a=11011c+1110a=370×4c+3a+9531c=370×4c+3a+1059c×9.
∵4c+3a 能被 9 整除，
∴370×4c+3a+1059c×9 也能被 9 整除，
∴ 任意一个“M 数”都能被 9 整数．
（2） “M 数”与它各数位数字之和的差为：
11011c+1110a−a+2b+2c=11011c+1110a−a−2b−2c=11011c+1110a−a−2a+c−2c=11007c+1107a=7×1572c+7×158a+a+3c=71572c+158a+a+3c,
∵“M 数”与它各数位数字之和的差能被 7 整除，
∴a+3c 为 7 的倍数，
当 a+3c=21，且 c=7，a=0 时，取得与各数位数字之和的差能被自然数 7 整除的最大“M 数”即 P=77077；
当 a+3c=7，且 c=1，a=4 时，取得与各数位数字之和的差能被自然数 7 整除的最小“M 数”即 Q=15451．
26. （1） 对于抛物线 y=−12x2+32x+2，令 y=0，得到 −12x2+32x+2=0，解得 x1=−1，x2=4，
∴A−1,0，B4,0，令 x=0，得到 y=2，
∴C0,2，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则有 b=2,4k+b=0, 解得 k=−12,b=2.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−12x+2．
（2） 如图 1 中，连接 OD，作 DH⊥AF 于 H，RQ⊥AF 于 Q，DH 交对称轴于 Rʹ．
∵AF∥BC，
∴S△BCF=S△ABC= 定值，
∵S△CDF=S△BCD+S△BCF，
∴△BCD 的面积最大时，△CDF 的面积最大，设 Dm,−12m2+32m+2，
则
S△BCD=S△OBD+S△OCD−S△BCO=12×4×−12m2+32m+2+12×2×m−12×4×2=−m2+4m=−m−22+4.
∵−1<0，
∴m=2 时，S△BCD 的值最大，此时 D2,3，易知 ∠CBO=∠BAF=∠QRE，
∴cs∠QRE=cs∠CBO=255，
在 Rt△RQE 中，RQ=RE⋅cs∠QRE=255RE，
∴DR+255RE=DR+RQ，
∴ 当 Q 与 H 重合，且 D，R，Q 共线时，DR+255RE 定值最小．（此时 R 与 Rʹ 重合）．
∵DH⊥AF，AF∥BC，
∴DH⊥BC，
∴ 直线 DH 的解析式为 y=2x−1，
∴Rʹ32,2．
（3） 能成为等腰三角形，由题意可知 H0,4，G−4,0，
∴OH=OG，
∴∠OHG=∠OGH=45∘．
∵PH 平分 ∠OHG，
∴∠OHP=∠PHQ=22.5∘，
∴∠HPO=∠HPQ=∠HʹPʹQʹ=67.5∘．
①如图 2 中，
当 PʹHʹ∥OH 时，易证 ∠NMPʹ=∠MPʹN=67.5∘，此时旋转角 α=22.5∘．
②如图 3 中，
当 PʹM∥OG 时，易证 ∠MNPʹ=∠MPʹN=67.5∘，此时旋转角 α=45∘．
③如图 3 中，
当 PʹM=PʹN 时，∠PʹMN=∠PʹNM=56.25∘，
可得旋转角为 ∠POPʹ=180∘−67.5∘−180∘−45∘−56.25∘=33.75∘．
④如图 4 中，
当 PʹM=PʹN 时，易知 ∠PʹNM=∠PʹMN=33.75∘，∠OKP=33.75∘+45∘=78.75∘，
∴∠KOPʹ=180∘−78.75∘−67.5∘=33.75∘，此时旋转角 α=123.75∘．
综上所述，当旋转角为 22.5∘ 或 45∘ 或 33.75∘ 或 123.75∘ 时，△PʹMN 是等腰三角形．