第05讲 幂函数与二次函数（解析版）练习题

第5讲   幂函数与二次函数

 [A级　基础练]

1．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)

解析：选C.因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0.只有选项C适合，故选C.

2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分．若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　　)

A．y＝x2　　　　　　　　　 B．y＝

C．y＝x   D．y＝x－2

解析：选B.因为函数y＝xα的图象过④⑧部分，所以函数y＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0.又易知当x＝2时，y>，所以只有B选项符合题意．

3．（2020春•诸暨市校级期中）若不等式的解集为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】对进行分类讨论，当时，恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出不等关系式，求解即可得答案，最后求两种情况的并集即可．

【解答】解：不等式的解集为，

①当，即时，不等式为恒成立，

故符合题意；

②当，即时，不等式的解集为，即不等式的解集为，

则，解得，

故符合题意．

综合①②可得，实数的取值范围是，．

故选：．

4．（2020•五华区校级模拟）函数满足，且，则与的大小关系是　　

A．与有关，不确定 B． 

C． D．

【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得、的值，则有，，由指数的性质分情况讨论的值，比较和的大小，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数满足，则有，即，

又由，则，

，，

若，则有，而在上为减函数，此时有，

若，则有，此时有，

若，则有，而在上为增函数，此时有，

综合可得，

故选：．

5．（多选）（2020秋•滨州期末）已知函数，则下列结论正确的是　　

A．函数的最小值为 

B．函数在上单调递增 

C．函数为偶函数 

D．若方程在上有4个不等实根，，，，则

【分析】由二次函数的性质，可判断选项，真假，根据奇偶性定义，可判断选项真假，作出的图象，结合对称性，可判断选项真假．

【解答】解：二次函数在对称轴处取得最小值，且最小值（1），故选项正确；

二次函数的对称轴为，其在上有增有减，故选项错误；

由得，，显然为偶函数，故选项正确；

令，方程的零点转化为与 的交点，

作出图象如右图所示：

图象关于 对称，当 与 有四个交点时，

两两分别关于对称，所以，

故选项正确．

故选：．

6．(2021·四川攀枝花模拟)已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则m－n＝________．

解析：函数y＝mxn(m，n∈R)为幂函数，则m＝1；又函数y＝xn的图象经过点(4，2)，则4n＝2，解得n＝.所以m－n＝1－＝.

答案：

7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”)

解析：因为a<0，－>0，c>0，所以b>0，ac<0.

设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，

则a－b＋c＝f(－1)<0.

答案：>　<　<

8．如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝________．

解析：因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．

因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.

答案：1

9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，

所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；

当x＝－5时，f(x)取得最大值37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，

因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，

所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

10．(2021·山西平遥中学第一次月考)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．

解：(1)因为二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，

所以f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2.

因为x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.

所以或

设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．

由f(0)＝3a＝3得a＝1，所以f(x)＝x2＋4x＋3.

(2)由(1)得g(x)＝＝＝(x>0)，

因为x>0，所以≤＝1－，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．

所以g(x)的最大值是1－.

[B级　综合练]

11．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)

A．f(－1)   B．f(1)

C．f(2)   D．f(5)

解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2.当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．故选ACD.

12．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(　　)

A．a＋b>0，ab<0   B．a＋b>0，ab>0

C．a＋b<0，ab<0   D．以上都可能

解析：选C.由于函数f(x)为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝，当m＝2时，f(x)＝x3.由于“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0”，故函数在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝x3.由于f(－x)＝－f(x)，故函数是单调递增的奇函数．由f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab<0(0<b<－a)，ab＝0(b＝0)，ab>0(b<0)均有可能成立．故选C.

13．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

对称轴为x＝－∈[－2，3]，

所以f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

所以函数f(x)在[－2，3]上的值域为.

(2)对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；

②当－>1，即a<－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

所以－2a－1＝1，

即a＝－1满足题意．

综上可知，实数a的值为－或－1.

14．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．

(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；

(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，

所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，

即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.

(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.

所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，

又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，

又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，

所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.

因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，

所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]

[C级　创新练]

15．(多选)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下说法，其中正确的是(　　)

A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0

B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0

C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n

D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n

解析：选AD.任取x1≠x2，则m＝＝＝2>0，A正确；

由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，

在上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，

则n＝＝＝＝0，B错误；

m＝2，n＝＝

＝

＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；

m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，

只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．

16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，

设x0为均值点，

所以＝m＝f(x0)，

即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，

解方程得x0＝1或x0＝m－1.

所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，

所以实数m的取值范围是(0，2)．

答案：(0，2)