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新高考数学一轮复习课时讲练 第2章 第4讲 二次函数与幂函数 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第2章 第4讲 二次函数与幂函数 (含解析)，共19页。试卷主要包含了幂函数，二次函数等内容，欢迎下载使用。
第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．
解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0
解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.
所以g(x)的值域为[－1，3]．
答案：[－1，3]
[易错纠偏]
(1)二次函数图象特征把握不准；
(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；
(3)幂函数的图象掌握不到位．
1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．
解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．
答案：③
2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，
所以，即m≤－.
答案：
3．当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
幂函数的图象及性质
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
(2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0
【答案】 (1)C (2)
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.
答案：1
2．当0
答案：h(x)>g(x)>f(x)
求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为
f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4，3)，
所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为
f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
二次函数的图象与性质(高频考点)
高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：
(1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题．
角度一 二次函数图象的识别问题
已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【解析】 A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，
所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】 D
角度二 二次函数的单调性问题
函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】 [－3，0]
(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以，解得a＝－3.
角度三 二次函数的最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；
(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，
则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.
(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，
当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，
当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，
当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，
则g(a)＝
可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.
(1)确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
(2)二次函数最值的求法
二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．
1．若函数f(x)＝x2＋ ax＋b在区间[0, 1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：选B.f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B.
2．若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为a＞0，所以二次函数f(x)＝ax2＋20x＋14的图象开口向上．
在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，
使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，
只需t＝－时f(t＋1)－f(t)≥8，
即a(t＋1)2＋20(t＋1)＋14－(at2＋20t＋14)≥8，
即2at＋a＋20≥8，将t＝－代入得a≥8.
所以a的最小值为8.
故答案为8.
答案：8
三个“二次”间的转化
(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当a＝－6时，函数f(x)的定义域和值域都是，求b的值；
(2)当a＝－1时在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2b－1的图象上方，试确定实数b的范围．
【解】 (1)当a＝－6时，函数f(x)＝x2－6x＋b，函数对称轴为x＝3，故函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．
①当2
由题意可知x2－x＋b>2x＋2b－1对x∈[－1，1]恒成立，
化简得b
(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[提醒] 当二次项系数a是否为0不明确时，要分类讨论．
1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0，(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，
所以3x2＋a≥0，2x＋b≥0或3x2＋a≤0，2x＋b≤0，
①若2x＋b≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b≥0，即b≥－2a>0，此时当x＝0时，3x2＋a＝a≥0不成立，
②若2x＋b≤0在(a，b)上恒成立，则2b＋b≤0，即b≤0，
若3x2＋a≤0在(a，b)上恒成立，则3a2＋a≤0，即－≤a≤0，故b－a的最大值为.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1 .
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[基础题组练]
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选C.因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；选C.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是( )
A．f(0)
A．－ B．－
C．－ D．0
解析：选A.当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝(x2＋3x＋2)＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，故选A.
5．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为( )
A．[－3，3] B．[－1，3]
C．{－3，3} D．{－1，－3，3}
解析：选C.因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为x＝1，因为在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1时，即a≤－1，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c，t≥k，
函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集，
即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，
可得k≤2，即有k的最大值为2.
故选C.
7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
答案：－1或3
9．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，若存在x0使|f(x0)|≤，|f(x0＋1)|≤同时成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由f(x)＝＋，考察g(x)＝x2＋h，当h＝0时，有≤，≤同时成立；当h＝－时，有≤，|g(－＋1)|≤同时成立．所以－≤h≤0，即－≤≤0，解得－≤a≤－2或2≤a≤.
答案：[－，－2]∪[2，]
10．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依据题意，得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立．
当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
答案：∪
11．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，
所以m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝，
若g(x)在[1，3]上不是单调函数，
则1<<3，解得2
(1)求f(x)的解析式；
(2)若m＜3，求函数f(x)在区间[m，3]上的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)，且关于直线x＝1对称，
所以，解得b＝－2，c＝0，
所以f(x)＝x2－2x.
(2)当1≤m＜3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m，
f(x)max＝f(3)＝9－6＝3，
所以f(x)的值域为[m2－2m，3]；
当－1≤m＜1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，
f(x)max＝f(－1)＝1＋2＝3，
所以f(x)的值域为[－1，3]．
当m＜－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，
f(x)max＝f(m)＝m2－2m，
所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]．
[综合题组练]
1．(2020·台州质检)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
C．②③ D．①③
解析：选B.因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
A. B.
C. D.
解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；
当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；
当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.
综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，
观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.
3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________．
解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数，
所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－处取得．
若在x＝0处取得，则b＝±2，
若在x＝－处取得，则|b－|＝2，
若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2.
若b＝2，则|b－|≤2，|c2＋ac＋b|≤2，
解得a＝0，c＝0，符合要求，
若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．
可得a＋b＋c＝2.故答案为2.
答案：2
4．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝x2－3x＋4，若f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则a＋b＝________．
解析：因为f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，所以x＝2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b<2时，函数在区间[a，b]上递减，又因为值域也是[a，b]，所以得方程组，
即，两式相减得(a＋b)(a－b)－3(a－b)＝b－a，又因为a≠b，所以a＋b＝，
由a2－3a＋4＝－a，得3a2－8a＋＝0，所以a＝，所以b＝，故舍去．
②当a<2≤b时，得f(2)＝1＝a，又因为f(1)＝<2，所以f(b)＝b，得b2－3b＋4＝b，所以b＝(舍)或b＝4，
所以a＋b＝5.
③当a≥2时，函数在区间[a，b]上递增，又因为值域是[a，b]，所以得方程组，
即a，b是方程x2－3x＋4＝x的两根，即a，b是方程3x2－16x＋16＝0的两根，所以，但a≥2，故应舍去．综上得a＋b＝5.
答案：5
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．
6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M.
(1)若b＝2，试求出M；
(2)若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
解：(1)当b＝2时，f(x)＝－x2＋4x＋c在区间[－1，1]上是增函数，
则M是g(－1)和g(1)中较大的一个，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
则M＝.
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
(ⅰ)当|b|>1时，y＝g(x)在区间[－1，1]上是单调函数，
则M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.
(ⅱ)当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，
此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
①当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
②当0
综上可知，对任意的b、c都有M≥.
而当b＝0，c＝时，g(x)＝在区间[－1，1]上的最大值M＝，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为.
第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．
解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0
解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.
所以g(x)的值域为[－1，3]．
答案：[－1，3]
[易错纠偏]
(1)二次函数图象特征把握不准；
(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；
(3)幂函数的图象掌握不到位．
1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．
解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．
答案：③
2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，
所以，即m≤－.
答案：
3．当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
幂函数的图象及性质
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
(2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0
【答案】 (1)C (2)
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.
答案：1
2．当0
答案：h(x)>g(x)>f(x)
求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为
f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4，3)，
所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为
f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
二次函数的图象与性质(高频考点)
高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：
(1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题．
角度一 二次函数图象的识别问题
已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【解析】 A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，
所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】 D
角度二 二次函数的单调性问题
函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】 [－3，0]
(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以，解得a＝－3.
角度三 二次函数的最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；
(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，
则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.
(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，
当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，
当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，
当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，
则g(a)＝
可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.
(1)确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
(2)二次函数最值的求法
二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．
1．若函数f(x)＝x2＋ ax＋b在区间[0, 1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：选B.f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B.
2．若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为a＞0，所以二次函数f(x)＝ax2＋20x＋14的图象开口向上．
在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，
使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，
只需t＝－时f(t＋1)－f(t)≥8，
即a(t＋1)2＋20(t＋1)＋14－(at2＋20t＋14)≥8，
即2at＋a＋20≥8，将t＝－代入得a≥8.
所以a的最小值为8.
故答案为8.
答案：8
三个“二次”间的转化
(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当a＝－6时，函数f(x)的定义域和值域都是，求b的值；
(2)当a＝－1时在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2b－1的图象上方，试确定实数b的范围．
【解】 (1)当a＝－6时，函数f(x)＝x2－6x＋b，函数对称轴为x＝3，故函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．
①当2
由题意可知x2－x＋b>2x＋2b－1对x∈[－1，1]恒成立，
化简得b
(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[提醒] 当二次项系数a是否为0不明确时，要分类讨论．
1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0，(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，
所以3x2＋a≥0，2x＋b≥0或3x2＋a≤0，2x＋b≤0，
①若2x＋b≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b≥0，即b≥－2a>0，此时当x＝0时，3x2＋a＝a≥0不成立，
②若2x＋b≤0在(a，b)上恒成立，则2b＋b≤0，即b≤0，
若3x2＋a≤0在(a，b)上恒成立，则3a2＋a≤0，即－≤a≤0，故b－a的最大值为.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1 .
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[基础题组练]
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选C.因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；选C.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是( )
A．f(0)
A．－ B．－
C．－ D．0
解析：选A.当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝(x2＋3x＋2)＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，故选A.
5．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为( )
A．[－3，3] B．[－1，3]
C．{－3，3} D．{－1，－3，3}
解析：选C.因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为x＝1，因为在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1时，即a≤－1，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c，t≥k，
函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集，
即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，
可得k≤2，即有k的最大值为2.
故选C.
7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
答案：－1或3
9．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，若存在x0使|f(x0)|≤，|f(x0＋1)|≤同时成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由f(x)＝＋，考察g(x)＝x2＋h，当h＝0时，有≤，≤同时成立；当h＝－时，有≤，|g(－＋1)|≤同时成立．所以－≤h≤0，即－≤≤0，解得－≤a≤－2或2≤a≤.
答案：[－，－2]∪[2，]
10．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依据题意，得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立．
当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
答案：∪
11．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，
所以m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝，
若g(x)在[1，3]上不是单调函数，
则1<<3，解得2
(1)求f(x)的解析式；
(2)若m＜3，求函数f(x)在区间[m，3]上的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)，且关于直线x＝1对称，
所以，解得b＝－2，c＝0，
所以f(x)＝x2－2x.
(2)当1≤m＜3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m，
f(x)max＝f(3)＝9－6＝3，
所以f(x)的值域为[m2－2m，3]；
当－1≤m＜1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，
f(x)max＝f(－1)＝1＋2＝3，
所以f(x)的值域为[－1，3]．
当m＜－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，
f(x)max＝f(m)＝m2－2m，
所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]．
[综合题组练]
1．(2020·台州质检)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
C．②③ D．①③
解析：选B.因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
A. B.
C. D.
解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；
当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；
当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.
综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，
观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.
3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________．
解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数，
所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－处取得．
若在x＝0处取得，则b＝±2，
若在x＝－处取得，则|b－|＝2，
若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2.
若b＝2，则|b－|≤2，|c2＋ac＋b|≤2，
解得a＝0，c＝0，符合要求，
若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．
可得a＋b＋c＝2.故答案为2.
答案：2
4．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝x2－3x＋4，若f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则a＋b＝________．
解析：因为f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，所以x＝2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b<2时，函数在区间[a，b]上递减，又因为值域也是[a，b]，所以得方程组，
即，两式相减得(a＋b)(a－b)－3(a－b)＝b－a，又因为a≠b，所以a＋b＝，
由a2－3a＋4＝－a，得3a2－8a＋＝0，所以a＝，所以b＝，故舍去．
②当a<2≤b时，得f(2)＝1＝a，又因为f(1)＝<2，所以f(b)＝b，得b2－3b＋4＝b，所以b＝(舍)或b＝4，
所以a＋b＝5.
③当a≥2时，函数在区间[a，b]上递增，又因为值域是[a，b]，所以得方程组，
即a，b是方程x2－3x＋4＝x的两根，即a，b是方程3x2－16x＋16＝0的两根，所以，但a≥2，故应舍去．综上得a＋b＝5.
答案：5
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．
6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M.
(1)若b＝2，试求出M；
(2)若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
解：(1)当b＝2时，f(x)＝－x2＋4x＋c在区间[－1，1]上是增函数，
则M是g(－1)和g(1)中较大的一个，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
则M＝.
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
(ⅰ)当|b|>1时，y＝g(x)在区间[－1，1]上是单调函数，
则M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.
(ⅱ)当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，
此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
①当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
②当0
综上可知，对任意的b、c都有M≥.
而当b＝0，c＝时，g(x)＝在区间[－1，1]上的最大值M＝，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为.
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