第04讲 三角函数的图象与性质（第1课时 三角函数的单调性与最值）（解析版）练习题

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第1课时　三角函数的单调性与最值  [A级　基础练]1．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　)A.　　　　　　　　 B.C.   D.解析：选C.方法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C.方法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B.故选C.2．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在及上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在及上是增函数，在上是减函数解析：选B.函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.3．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选A.f(x)＝sin2x＋sin2＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＝＋＋sin 2x＝1＋＝1＋sin≥1－＝，故选A.4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)  B.(k∈Z)C.(k∈Z)  D.(k∈Z)解析：选B.因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈的值域是，则ω的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.解析：选B.通解：因为x∈，ω>0，所以ωx－∈.又当x∈时，f(x)∈，所以≤－≤，解得≤ω≤3，故选B.优解：当ω＝2时，f(x)＝sin.因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，满足题意，故排除A，C，D，选B.6．比较大小：sin________sin.解析：因为y＝sin x在上为增函数且－＞－>－，故sin＞sin.答案：＞7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的单调递增区间为和.答案：和8．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值为1，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，0≤x≤，所以0≤ωx＜，所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又因为0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝.答案：9．已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.令≤2x－≤π，则≤x≤.因为－≤x≤，所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．当x＝时，f(x)取得最大值为1.因为f＝－<f＝，所以当x＝－时，f(x)min＝－.所以f(x)的值域为.[B级　综合练]11．若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上(　　)A．是增函数   B．是减函数C．可以取得最大值2   D．可以取得最小值－2解析：选D.f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，g(x)＝cos x－sin x＝2cos＝2sin.f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，不妨令a＋＝，b＋＝，则a＋＋＝π，b＋＋＝2π，故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在[a，b]上可以取得最小值－2，故选D.12．(多选)关于函数f(x)＝sin|x|－|cos x|，下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)在区间上单调递减C．f(x)的最大值为D．当x∈时，f(x)＜0恒成立解析：选ABD.因为f(－x)＝sin|－x|－|cos(－x)|＝sin|x|－|cos x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝sin|x|－|cos x|＝sin x＋cos x＝sin，又x∈，所以令t＝x＋，则t∈，y＝sin t单调递减，所以B正确；因为f(x)为偶函数，所以求函数f(x)的最大值可只考虑当x≥0时的情况，又易知当x≥0时，2π是其一个周期，所以只需研究x∈[0，2π]时的情况，则f(x)＝sin x－|cos x|＝＝，则函数f(x)的值域为[－，1]，因此C错误；当x∈时，f(x)＝sin x－cos x＝sin，则x－∈，所以sin＜0，即f(x)＜0在x∈上恒成立，因为f(x)为偶函数，所以x∈时，f(x)＜0恒成立，故D正确．综上可知，正确结论是ABD.13．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，且sin＜sin，所以f(x)≥sin＝－，得证．14．已知f(x)＝2sin＋a＋1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)当x＝时，f(x)取得最大值4，即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1.(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，可得sin＝－，则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，解得x＝－，－，，，所以x的取值集合为.[C级　创新练]15．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为(　　)A．   B．C．   D．[4π，6π)解析：选C.因为x∈[0，1]，ω>0，所以ωx＋∈.因为f(x)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，所以4π＋≤ω＋<6π＋，解得≤ω<.16.如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________．解析：由题意可知y1＝sin α，y2＝sin β＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sin α－sin＝sin α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，即f(α)的取值范围是.答案：