第02讲 函数的单调性与最值（解析版）练习题

第2讲   函数的单调性与最值

 [A级　基础练]

1．（2021春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；

对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；

故选：．

2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A．   B．－

C．－2   D．2

解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.

3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A．(1，2)   B．(－1，2)

C．[1，2)   D．[－1，2)

解析：选D.因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．　

4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)

B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)

D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)

解析：选A.因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a.所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，结合选项，可知选A.

5．（多选）（2020秋•临高县校级期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是正比例函数，在区间上单调递增，符合题意；

对于，，是二次函数，在区间上单调递增，符合题意；

对于，，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意；

对于，，是指数函数，在区间上单调递减，不符合题意；

故选：．

6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．

解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．

答案：[1，2]

7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.

综上，实数a的取值范围是.

答案：

8．（2020秋•咸阳期末）已知函数在上是减函数，且（2），则满足的实数的取值范围是　　       ．

【分析】根据（2）可以由得出（2），再根据在上是减函数即可得出，解出的范围即可．

【解答】解：（2），

由得，（2），且在上是减函数，

，解得，

满足的实数的取值范围是．

故答案为：．

9．求下列函数的值域．

(1)f(x)＝

(2)y＝x－.

解：(1)当x<1时，x2－x＋1＝＋≥；当x>1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，＋∞)．

(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.

10．（2021•浔阳区校级期末）已知函数

（1）用函数单调性的定义证明在区间，上为增函数

（2）解不等式：（7）

【分析】（1）任取，，，且，通过作差比较与的大小，根据增函数的定义，只需说明即可；

（2）根据函数的单调性得到，求出不等式的解集即可．

【解答】（1）证明：任取，，，且，

则，

因为，所以，，

所以，即，

所以在，上为增函数．

（2）解：，

结合（1）得在，递增，

所以，

解得：，

故不等式的解集是，．

[B级　综合练]

11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　)

A．sgn[g(x)]＝sgn x

B．sgn[g(x)]＝－sgn x

C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

解析：选B.因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)<f(ax)，即g(x)<0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x<0时，f(x)>f(ax)，即g(x)>0.由符号函数sgn x＝知，sgn [g(x)]＝＝－sgn x.

12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．

解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.

答案：[0，2]

13．已知函数f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．

解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)设1＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，

只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，

所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(0，1]．

14．设是定义在上的单调递增函数，满足，（2）．

（1）求（1）；

（2）解不等式．

【分析】（1）根据可令，，从而可求出（1）的值；

（2）根据条件可求出（4），从而由可得出（4），再根据是定义在上的单调递增函数可得出，解出的范围即可．

【解答】解：（1），

（1）（1）（1），

（1）；

（2），（2），

（4）（2）（2），，

由得，（4），且是定义在上的单调递增函数，

，解得，

故原不等式的解集是，．

[C级　创新练]

15．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)

A．f(－3.9)＝f(4.1)

B．函数f(x)的最大值为1

C．函数f(x)的最小值为0

D．方程f(x)－＝0有无数个根

解析：选ACD.根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.画函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示：

根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f(x)与y＝的图象有无数个交点，即f(x)＝有无数个根，所以D正确．故选ACD.

16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝

(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；

(2)求F(x)的最小值m(a)．

解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，

当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．

由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a.

所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．

(2)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，

所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即

m(a)＝