高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 （讲）原卷版

这是一份高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 （讲）原卷版，共4页。

【课标解读】
1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.
2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.
【备考策略】
1.确定函数的最值（值域）
2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.
【核心知识】
知识点一 函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二 函数的最值
【特别提醒】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的单调增区间为(－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a)].
【高频考点】
高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)
例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减
【方法技巧】确定函数单调性的方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
【举一反三】（2021·陕西省咸阳中学模拟）求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【变式探究】（2021·四川省遂宁中学模拟）函数f (x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))和[2，＋∞)
高频考点二 确定含参函数的单调性(区间)
例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；
【变式探究】（2021·安徽蚌埠模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋eq \f(1,x)(其中1高频考点三 解函数不等式
例3.（2021·河北承德模拟）定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．
【举一反三】（2021·湖南省娄底市二中模拟）已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【变式探究】（2021·湖北省黄冈模拟）已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
高频考点四 利用函数的单调性求参数取值范围
例4.（2021·河南省许昌模拟）函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(f x1－f x2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为________．
【方法技巧】利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
【举一反三】（2021·山东省日照模拟）若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
【变式探究】（2021·江西省吉安三中模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点五 函数的最值（值域）
例5.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cs x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D．π
【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【变式探究】（2021·河南新乡模拟）当－3≤x≤－1时，函数y＝eq \f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．
【举一反三】（2021·福建省福鼎市一中模拟）已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值