第一章 第四节 基本不等式原卷版

这是一份第一章 第四节 基本不等式原卷版，共8页。试卷主要包含了基本不等式，几个重要的不等式，算术平均数与几何平均数，利用基本不等式求最值问题等内容，欢迎下载使用。
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
课前检测
1．设a、b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)0，且x＋2y＝1，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
变式7.（2020·山东省聊城二中高一月考）已知，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
变式8.（2020届山东师范大学附中高二月考）若，，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
5.消元法
例5．（1）若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．
（2） 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
变式9.(2020·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b)在直线x＋y＋c＝2上，则eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)的最小值为________．
变式10.已知为正实数，且，则的最小值为_______.
考点二．利用基本不等式证明不等式
例1.已知a，b，c都是实数．求证：a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.
变式1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
变式2．已知a、b、c为正数，a＋b＋c＝1，且不全相等，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
变式3．若、，，求证：．
变式4．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0) B．sinx＋eq \f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
考点三.基本不等式的综合应用
例1（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
变式1.（2020·济南市历城第二中学高一期末）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式2.（河南省新乡市高二年级上学期期末考试）已知，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
变式3.（河南省林州市第一中学高二上学期期末考试）已知， ， ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
变式4.（浙江省亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测）已知，则的最小值为__________．
变式5.（2020·上海华师大二附中高一期末），则的最大值
为________.
考点四.利用基本不等式解决实际问题
例1．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售，（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；
（
变式1.（2020·济南市历城第二中学高一期末）有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.
变式2．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）
（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
课后习题
一．单选
1．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab) B．a＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞b C．a＞eq \f(a＋b,2)＞b＞eq \r(ab) D．a＞eq \r(ab)＞eq \f(a＋b,2)＞b
3．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值是( )
A.eq \f(1,4) B．1 C．4 D．8
4．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A．3eq \r(3,9) B．1＋2eq \r(2) C．6 D．7
5．已知x＞0，y＞0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2，4) D．(－4，2)
6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
7．若x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值eq \f(1,64) C．最小值eq \f(1,2) D．最小值64
8．已知函数f(x)＝x＋eq \f(p,x－1)(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为( )
A．2 B.eq \f(9,4) C．4 D.eq \f(9,8)
9．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4eq \r(2) C．2eq \r(6)D．8
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－eq \f(5,2) D．－3
二．多选题
11．若，，则（ ）
A．B．C． D．
12．有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
13．已知正实数满足，，则的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
14．设都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
三．填空题
15．设x，y为正数，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为
16．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
17．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．
18．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；
④a2＋9＞6a，其中恒成立的是________(填序号)．
四．解答题
19．(1)已知0＜x＜eq \f(1,2)，求y＝eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值．
(2)已知x＜3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值．
(3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值；
20. 如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．
21．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
22．已知函数y＝eq \f(x＋2,x2＋x＋1)(x>－2)．
(1)求eq \f(1,y)的取值范围．(2)当x为何值时，y取何最大值？