专题16 基本不等式（原卷及解析版）

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知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
知识点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【题型归纳目录】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【典型例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
2．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4
（多选题）3．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，，则
（多选题）4．（2022·安徽蚌埠·高一期末）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值1B．有最小值2
C．有最小值4D．有最小值4
（多选题）5．（2022·湖北武汉·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．
题型二：利用基本不等式比较大小
1．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．，的大小无法确定
4．（2022·湖南·高一课时练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
（多选题）5．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）6．（2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）7．（2022·江西·高一期末）已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
（多选题）8．（2022·广东·高一期末）下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
（多选题）9．（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）10．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：利用基本不等式证明不等式
1．（2022·湖南·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则．
2．（2022·湖南·高一课时练习）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件：
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则；
(4)若，则；
(5)对任意实数和，．
3．（2022·湖南·高一课时练习）设，为正实数，求证：．
4．（2022·湖南·高一课时练习）已知a，b，c为任意实数，求证：．
5．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：
（2）已知.求证：<的充要条件为x>y
6．（2022·湖北黄冈·高一期中）证明：
(1)已知a>b>0，c(2)已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：.
7．（2022·全国·高一课前预习）已知，求证：.
8．（2022·全国·高一专题练习）已知，，，求证：.
9．（2022·全国·高一专题练习）已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.
10．（2022·全国·高一课时练习）已知，求证：．
题型四：利用基本不等式求最值
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
2．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
3．（2022·湖北·高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
（多选题）5．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
（多选题）6．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知正数，满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为8D．的最小值为2
7．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
8．（2022·北京·高一期末）已知实数满足，则的最大值为___________.
9．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）若，且，则的最小值为_________．
10．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
11．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）若正数a，b满足，则的最小值为_______．
12．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）若实数，，且，则的最小值为______．
13．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x，y满足，则的最小值为_________
14．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
15．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的最大值．
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
1．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一开学考试）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
4．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
（多选题）6．（2022·浙江嘉兴·高一期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A．B．C．1D．3
7．（2022·湖南·长郡中学高一期末）设，若恒成立，则k的最大值为___________.
8．（2022·全国·高一）已知为正实数且，若不等式对任意正实数恒成立，则的取值范围是_________．
9．（2022·江苏·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
1．（2022·江苏南通·高一期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
2．（2022·河北保定·高一期末）如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．
(1)若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；
(2)若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．
3．（2022·贵州铜仁·高一期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
4．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.
5．（2022·湖南·高一课时练习）如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
(1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
6．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，蔬菜的种植面积为.
(1)用、表示；
(2)求蔬菜种植面积的最大值.
7．（2022·上海金山·高一期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数.
(1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？
(2)若时，求该公司市场占有率的最大值.
8．（2022·湖南·长郡中学高一期末）设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.
9．（2022·新疆·乌市一中高一期中）某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；
（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加______辆/小时.