物理必修 第二册3 万有引力理论的成就教案

64 万有引力理论的成就

〖精讲精练〗

〖知识精讲〗

知识点1、万有引力和重力

（1）重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不就是万有引力.

（2）在地球两极上的物体所受重力等于地球对它的万有引力，mg=;

（3）在地球赤道上随地球自转的物体所受的重力为mg= -;

上式中是物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力，由地球对物体m的万有引力的一个分力来提供。

（4）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受重力mg等于地球对物体的引力，即：mg= 式中M为地球质量，R为地球半径。则：M=.

若地球平均密度为ρ，则：

ρ= =.

若物体在离地高度为h处，设该处重力加速度为g1，则：

m g1= ， g1= .

〖例1〗已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用以上各量表示地球质量M=                    。

〖思路分析〗本题考查的是地面上的物体重力mg近似等于地球对它的万有引力，即：

mg= 所以M=

〖答案〗M=

〖总结〗在中学中能与地球质量或密度相联系的应先想到万有引力定律。

〖变式训练1〗若取地球表面处的重力加速度g=9。8m/s2，地球半径取R=6。4×106m，根据万有引力定律计算地球的平均密度ρ。

〖答案〗ρ=5。48×103kg/m3

知识点2、计算中心天体的质量

解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。

式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天体的轨道半径.

(1)天体质量的估算

通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有,得

注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.

用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积,进而还可求得天体的密度.

如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为

规律总结:

①       掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.

②       物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.

③       注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径.

(2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律

研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：

根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即

（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星

〖例2〗已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？

〖思路分析〗

（1）          设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，

则：    ，

（2）地球平均密度为

答案：  ；

总结：①已知运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。

②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。

〖变式训练2〗人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T。

（1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T1，则行星平均密度为多少？

答案：（1）；  （2）

〖难点精析〗

〖例3〗一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，进行预定的考察工作，宇航员能不能仅用一只秒表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。

〖思路分析〗使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，测出飞船运行周期为T，飞船轨道半径近似等于行星半径r，

所以又行星的体积V=，所以：，只需测出T即可。

〖变式训练3〗某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运动的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量M=                       。

答案：

〖难点精析1〗〖例4〗宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起。

（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。

（2）设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，试写出它们角速度的表达式？

〖思路分析〗两天体做圆周运动的向心力就是

它们之间的万有引力,两天体做圆周运动的

角速度ω一定相同,二者轨迹圆的圆心为O,

圆半径分别为R1和R2由万有引力定律可分别列出

  ①

　　②

所以,因为v=ωR所以

(2)由①式得：　　③

由②式得：  ④

由③④得

方法总结：关于“双星”问题及类似“双星”问题，要抓住角速度相等这一特点；“双星”做圆周运动的向心力是它们间的万有引力，即它们向心力是大小相等的。还应注意“双星”做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以“双星”做圆周运动的半径都小于它们间的距离，它们的圆轨道半径之和等于它们间的距离。

〖变式训练4〗如图所示,两颗靠得很近的恒星称为双星,这两颗星必须各以一定速率绕某一中心O匀速转动才不至于因万有引力作用吸引在一起,那么：

A、它们做圆周运动的角速度与其质量成反比。

A、  它们做圆周运动的线速度与其质量成反比。

B、  它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

C、  它们所受的向心力与其质量成反比。

答案：BD

〖综合拓展〗本节内容是历年高考的必考内容之一，选择、填空、计算等各种形式的题都可能出现，万有引力定律与牛顿第二定律，圆周运动等综合命题，用以求天体、卫星等的运动，与实际问题、现代科技相联系，具有创新性。

一、   基本方法

万有引力定律在天文学中的应用的基本方法是：将天体运动近似看作匀速圆周运动，其所需要的向心力都来自于万有引力，然后结合心力公式：，应用时应根据题目中所给的实际情况，选择适当的形式进行分析和求解。

二、基本规律

（1）天体质量M，密度ρ的估算，测出行星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由

得，注意M为中心天体的质量，而不是绕天体运动的行星的质量。，R为中心天体的半径（当行星或卫星绕中心天体表面运行时，）

（2）当卫星在行星表面附近运行时，卫星做圆周运动的轨道半径近似等于行星的半径R，故有，由此方程可以计算行星或恒星的密度、质量以及发现新星等。

〖例5〗已知地球半径R =6。4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约为                      。

〖思路分析〗题目已明确给出“月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动，即地球对月球的万有引力提供月球绕地球做圆周运动的向心力，设地球质量为M，月球质量为m，月球绕地球运行周期为T，轨道半径为r，则有：

上式中月球绕地球运动的周期为一个月，这是常识。即T=30×24×3600=2。6×106s，而M未知，但M与已知量R有联系，即M=。把T、M代入得R==4×108m

答案：月地间的距离约为4×108m

〖方法总结〗估算是物理问题解答的方法之一，天体问题估算一般思路大致有这样几步：

（1）认真审题，了解题目所给的物理情景。

（2）抓住主要因素，忽略次要因素，建立物理模型。

（3）寻找已知条件和待求量之间的关系，选择合适的规律列方程。

（4）在保证数量级不出错的前提下，进行合理的近似估算。

〖活学活练〗

〖基础达标〗

1、已知引力常数G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，利用这三个数据，可以估算出的物理量有：

A、月球的质量   B、地球的质量

C、地球的半径  D、月球绕地球运行速度的大小。

2、在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，则：

A、卫星运动的速度为   B、卫星运动的周期为T=

C、卫星运动的加速度为g/2   D、卫星的动能为mgR/4

3、下列有关行星运动的说法中，正确的是：

A、由，行星轨道半径越大，角速度越小。

B、由，行星轨道半径越大，行星的加速度越大。

C、由，行星轨道半径越大，行星的加速度越小。

D、由，行星轨道半径越大，线速度越小。

4、若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是：

A、  卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大。

B、卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小。

C、卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大。

D、卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小。

5、某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运行，若要计算行星的密度，惟一要测量的物理量是：

A、  行星的半径  B、卫星的半径  C、卫星运行的线速度  D、卫星运行的周期

6、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M（引力常量G已知）

A、  月球绕地球运动的周期T及月球到地球的中心的距离R。

B、地球绕太阳运行周期T及地球到太阳中心的距离R。

C、人造卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T。

D、地球绕太阳的运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R。

7、有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的：

A、1/4   B、4倍  C、16倍   D、64倍

8、设士星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量为G，根据这些数据，能够求出的量有：

A、土星线速度的大小  B、土星加速度的大小  C、土星的质量 D、太阳的质量

9、设火星和地球都是球体，火星质量和地球质量之比为p，火星半径和地球半径之比为q，则火星表面重力加速度和地面重力加速度之比等于：

A、p/q2   B、pq2   C、p/q     D、pq

10、设行星A、B是两个均匀球体，A与B的质量比mA：mB=2：1，A与B的半径之比RA：RB=1：2，行星A的卫星a沿圆周轨道运行的周期为Ta，行星B的卫星b沿圆轨道运动的周期为Tb，两卫星的圆轨道都非常接近各自的行星表面，它们运行的周期之比为：

A、Ta：Tb=1：4  B、Ta：Tb=1：2  C、Ta：Tb=2：1  D、Ta：Tb=4：1

11、最近科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍，假定行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有：

A、  恒星质量与太阳质量之比。B、恒星密度与太阳密度之比。

B、  行星质量与地球质量之比。 D、行星运行速度与地球公转速度之比。

12、已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍，不考虑地球月球自转的影响，由以上数据可推算出：

A、  地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9：8。

B、  地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9：4。

C、  靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面轨道运行的航天器的周期之比约为8：9。

D、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面轨道运行的航天器的线速度之比约为81：4。

13、土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等，线度从1μm到10M的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7。3×104km延伸到1。4×105km，已知环的外缘颗粒土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6。67×10-11N·m2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）。

A、9×1016kg  B、6。4×1017kg       C、 9×1025kg       D、6。4×1026kg

14、我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为：

A、  B、  C、  D、

15、组成星球的物质是靠引力吸在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了这个速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体的圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是：

Ａ、 B、 C、 D、

〖基础达标答案〗

1、   BD  2、BD  3、D 4、BD  5、D  6、AC  7、D  8、ABD  9、A  10、A

11、AD  12、C  13、D  14、D  15、AD

〖能力提升〗

1、万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律，以下说法正确的是：

A、  物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的。

B、  人造地球卫星离地球越远，受到的万有引力越大。

C、人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供。

D、宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用。

2、宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。根据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速度为：

A、  B、      C、    D、

3、在天体演变过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星（电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子），中子星具有极高的密度。（1）若已知中子星的密度为1017kg/m3，该中子星的卫星绕它做圆周运动，试求该中子星的卫星运行的最小周期？

（2）中子星也在绕自转轴自转，若某中子星的自转角速度为6。28×30rad/s，若想使该中子星不因自转而被瓦解，则其密度至少为多大？（假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球状星体的，引力常量G=6。67×10-11N·m2/kg2。

4、经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心（银心）的圆轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年（约等于2。8×1020ｍ），转动周期约为２亿年（约为６。３×１０１５ｓ），太阳做圆周运动的向心力来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题，从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量。

５、一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为ｇ行，行星的质量Ｍ与卫星的质量ｍ之比为Ｍ／ｍ＝８１，行星的半径Ｒ行与卫星的半径Ｒ卫之比为Ｒ行：Ｒ卫＝３。６，行星与卫星之间的距离ｒ与行星的轨道半径Ｒ行之比ｒ／Ｒ行＝６０，设卫星表面的重力加速度为ｇ卫，则在卫星表面有：，经过计算得出卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600，上述结果是否正确？列式证明；若错误，求出正确的结果。

〖能力提升答案〗

1、C  2、B

3、思路分析：设中子星质量为M，半径为R，密度为ρ，自转角速度为ω，

（1）          假设有一颗质量为m的卫星绕中子星运行，运行半径为r，则有：

，要使T最小，即要求r=R，此时有：

，所以有： 所以

所以T=1。2×10-3s。

（2）在中子星表面取一质量微小的部分m，故中子星剩余部分的质量仍认为是M，要使中子星不被瓦解，即要求M与m间万有引力大于m绕自转轴自转的向心力，则：

，又因：所以：

答案：T=1。2×10-3s。

4、解析：太阳绕银河中心做圆周运动的向心力由万有引力充当，有：

所以=3。3×1041kg

答案：3。3×1041kg

5、解析：从数据中可以看出行星、卫星间距离比行星、卫星自身的尺寸要大得多，

为行星给卫星的万有引力，所以，其中g卫是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度，并不是卫星表面的重力加速度。

   ①

   ②

由

①②相比g卫=0。16g行