2021学年第4章 锐角三角函数综合与测试单元测试精练

这是一份2021学年第4章 锐角三角函数综合与测试单元测试精练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第4章 锐角三角形测试卷
(考试时间：90分钟，赋分：100分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于(　　)
A. B. C. D.
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则tan∠ABC的值为(　　)
A. B. C. D．1

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.已知α为锐角，且sin(90°－α)＝，则α的度数为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
4.将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是(　　)

A. cm B. cm C. cm D．2 cm
5.如图，直线y＝x＋3分别与x轴，y轴交于A，B两点，则cos∠BAO的值是(　　)
A. B. C. D.
6.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　　)
A. B.－1 C．2－ D.
7.在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，其示意图如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度(或坡比)为i＝1 ∶2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，(其中点A，B，C，D均在同一平面内)则垂直升降电梯AB的高度约为(　　)
A．10米 B．(10－12)米 C．12米 D．(10＋12)米

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图，小强和小明去测量一棵古树的高度，他们在离古树60 m的A处，用测角仪测得古树顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5 m，则古树BE的高为(　　)
A．(20－1.5)m B．(20＋1.5)m C．31.5 m D．28.5 m
9.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　)
A．4 km B．(2＋) km C．2 km D．(4－) km
10. 【绵阳中考】如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.计算：cos30°＋sin30°＝________．
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为________．

第12题图 第13题图 第15题图 第16题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是直角边BC上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB的值为________．
14.如图，港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为_____米．

15.如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为__________海里(结果保留整数)．(参考数据sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.90，tan 26.5°≈0.50，≈2.24)
16.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA＝10，DE＝12，则sin ∠MON＝________．
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；
(2)已知a＝，c＝，求b；
(3)已知c＝28，∠B＝30°，求a；
(4)已知a＝2，cosB＝，求b.







18.某地一座人行天桥如图所示，天桥高为6 m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m(PB的长)处的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．









19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．




20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos∠ABE的值．





21.如图，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)


参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于(　B　)
A. B. C. D.
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则tan∠ABC的值为(　B　)
A. B. C. D．1

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.已知α为锐角，且sin(90°－α)＝，则α的度数为(　A　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
4.将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是(　B　)

A. cm B. cm C. cm D．2 cm
5.如图，直线y＝x＋3分别与x轴，y轴交于A，B两点，则cos∠BAO的值是(　A　)
A. B. C. D.
【点拨】当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4，∴A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，则cos∠BAO＝＝.
6.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　A　)
A. B.－1 C．2－ D.
7.在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，其示意图如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度(或坡比)为i＝1 ∶2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，(其中点A，B，C，D均在同一平面内)则垂直升降电梯AB的高度约为(　B　)
A．10米 B．(10－12)米
C．12米 D．(10＋12)米

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图，小强和小明去测量一棵古树的高度，他们在离古树60 m的A处，用测角仪测得古树顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5 m，则古树BE的高为(　B　)
A．(20－1.5)m B．(20＋1.5)m C．31.5 m D．28.5 m
9.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　B　)
A．4 km B．(2＋) km C．2 km D．(4－) km
10. 【绵阳中考】如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为(　C　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.计算：cos30°＋sin30°＝________．
【点拨】cos 30°＋sin 30°＝＋×＝.
【答案】
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为________．
【答案】

第12题图 第13题图 第15题图 第16题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是直角边BC上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB的值为________．
【答案】
14.如图，港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为_____米．

【答案】
15.如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为__________海里(结果保留整数)．(参考数据sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.90，tan 26.5°≈0.50，≈2.24)
【答案】22
16.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA＝10，DE＝12，则sin ∠MON＝________．
【答案】
【点拨】如图，连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由题意可得OD是∠MON的平分线，OA＝OB，
∴OH⊥AB，AH＝BH.
∵DE⊥OC，∴DE∥AB.
又∵AD∥ON，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE＝12，
∴AH＝6，
∴OH＝＝＝8.
∵S△AOB＝OB·AG＝AB·OH，
∴AG＝＝＝，
∴sin∠MON＝＝.

三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；
解：∵tanA＝，∴a＝b·tanA＝4·tan60°＝4×＝4.
(2)已知a＝，c＝，求b；
∵a2＋b2＝c2，∴b＝＝＝.
(3)已知c＝28 ，∠B＝30°，求a；
解：∵cosB＝，∴a＝ccosB＝28×＝14.
(4)已知a＝2，cos B＝，求b.
∵cosB＝，∴c＝＝＝6.
又∵b2＝c2－a2，∴b＝＝＝4.
18.某地一座人行天桥如图所示，天桥高为6 m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；

解：由题意得tan α＝＝，∴α＝30°.
(2)原天桥底部正前方8 m(PB的长)处的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

解：不需要拆除．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D.
∵坡面BC的坡度为1∶1，
新坡面的坡度为1∶，CD＝6 m，
∴BD＝6 m，AD＝6m，
∴AB＝AD－BD＝(6－6)m<8 m，
∴文化墙PM不需要拆除．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．

解：∵sinB＝，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sinB＝＝＝．
设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，
∴CB＝8k，∴AC＝6k，AB＝10k．
∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9，
∴k＝1，∴DE＝3，DB＝5，BC＝8，
∴BE＝＝4．
过点C作CF⊥AB于点F，如图，
则CF∥DE，∴△BDE∽△BCF．
∴＝＝＝，
∴CF＝，BF＝，∴EF＝．
在Rt△CEF中，CE＝＝．

20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos∠ABE的值．

解：(1)在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝.
∵BC＝8，∴AB＝10.
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC.
∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC.∴BE＝＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为.
21.如图，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)

解：方法1：如图①所示，延长DA，CB交于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°.
在Rt△ABE中，
AE＝AB·tan 60°＝30×＝90，
BE＝＝＝60.
∴CE＝BE＋BC＝60＋50＝110.

在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝110×＝110.
∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝DC·CE－AB·AE＝×110×110 －×30×90＝4 700 .
方法2：如图②所示，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，∴EF＝AB，AF＝BE.
∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，
∠D＝360°－90°－90°－120°＝60°.
在Rt△BCE中，BE＝＝＝＝100，
EC＝BC·tan∠CBE＝50×tan30°＝50×＝50.
在Rt△DEF中，DF＝＝＝＝30.
∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.
∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC＝×(130＋100)×30＋×50×50＝4 700.